9. 如图，点$P(a,a)$是反比例函数$y=\frac{16}{x}$在第一象限内图象上的一点，以$P$为顶点作等边$△ PAB$，使点$A$，$B$落在$x$轴上，则$△ POA$的面积是（）


A.$3$
B.$4$
C.$4-\frac{4\sqrt{3}}{3}$
D.$8-\frac{8\sqrt{3}}{3}$

9.D

【分析】
首先根据点P在反比例函数图象上的特征，代入坐标求出P点的具体坐标；再过P作x轴的垂线，结合等边三角形三线合一的性质，求出等边三角形的边长，进而得到线段OA的长度；最后利用三角形面积公式计算△POA的面积即可。
【解析】
1. 求点P的坐标
∵点$P(a,a)$在反比例函数$y=\frac{16}{x}$第一象限的图象上
∴将$P(a,a)$代入函数解析式得：$a=\frac{16}{a}$，即$a^2=16$
∵点P在第一象限，$a＞0$，
∴$a=4$，即$P(4,4)$
2. 求等边$△ PAB$的相关线段长度
过点P作$PC⊥ x$轴于点C，则$PC=4$（P点的纵坐标），$OC=4$（P点的横坐标）
∵$△ PAB$是等边三角形，$PC⊥ AB$
∴PC是等边$△ PAB$的高，根据等边三角形高与边长的关系：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}× 边长$
可得$AB=\frac{2PC}{\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
由等边三角形三线合一的性质，得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
3. 计算OA的长度和$△ POA$的面积
$OA=OC-AC=4-\frac{4\sqrt{3}}{3}$
$△ POA$的底为OA，高为$PC=4$，则：
$S_{△ POA}=\frac{1}{2}× OA× PC=\frac{1}{2}×(4-\frac{4\sqrt{3}}{3})×4=8-\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；等边三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的综合题，解题关键是先确定P点坐标，再利用等边三角形的性质求出底边长，对学生的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

10. 在$△ ABC$中，$AB=6\sqrt{3}$，$AC=6$，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$BC$边的长为（）

A.9
B.12
C.12或6
D.12或9

10.C

【分析】首先根据特殊角的三角函数值由$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$得出$∠ B=30°$，通过过点A作$AD⊥ BC$于点D，将斜三角形转化为两个直角三角形，先在$Rt△ ABD$中求出$BD$和$AD$的长度，再在$Rt△ ADC$中用勾股定理求出$DC$的长度，最后分高AD在三角形内部、高AD在三角形外部两种情况计算BC的长度，即可得到答案。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ BC$，交BC（或BC的延长线）于点D。
1. 求$∠ B$的度数：
$\because \cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$∠ B$是三角形内角，
$\therefore ∠ B=30°$。
2. 在$Rt△ ABD$中计算BD、AD的长度：
已知$AB=6\sqrt{3}$，$∠ B=30°$，
$\therefore AD=AB·\sin B=6\sqrt{3}×\frac{1}{2}=3\sqrt{3}$，
$BD=AB·\cos B=6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=9$。
3. 在$Rt△ ADC$中计算DC的长度：
已知$AC=6$，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{36-27}=\sqrt{9}=3$。
4. 分情况计算BC的长度：
① 当垂足D在线段BC上时，$BC=BD+DC=9+3=12$；
② 当垂足D在线段BC的延长线上时，$BC=BD-DC=9-3=6$。
综上，BC边的长为12或6。
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理
【点评】本题解题的关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解，需要注意分类讨论高的位置，避免遗漏其中一种情况导致漏解。
【难度系数】0.6

11.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$\cos A=\frac{3}{5}$,$BC=12$,$D$是$AB$的中点,过点$B$作线段$CD$的垂线,垂足为点$E$,则$\cos ∠ DBE$的值为.

11.$\dfrac{24}{25}$

【分析】
解题首先从已知条件的$Rt△ ABC$出发，先根据$\cos A$的值得出三边比例关系，结合$BC$的长度求出$△ ABC$的三边长；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到$BD$、$CD$的长度；接着通过面积法求出垂线段$BE$的长度；最后在$Rt△ BED$中，根据余弦的定义计算$∠ DBE$的余弦值即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\because \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\therefore$ 设$AC=3k$，$AB=5k$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=4k$，
又$\because BC=12$，
$\therefore 4k=12$，解得$k=3$，
$\therefore AC=9$，$AB=15$。
$\because D$是$AB$的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore CD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{15}{2}$。
$\because D$是$AB$中点，$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×9×12=54$，
$\therefore S_{△ BCD}=27$。
又$\because BE⊥ CD$，$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× BE$，
代入$CD=\frac{15}{2}$得：$\frac{1}{2}×\frac{15}{2}× BE=27$，
解得$BE=\frac{36}{5}$。
在$Rt△ BED$中，$∠ BED=90°$，
$\cos∠ DBE=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{36}{5}}{\frac{15}{2}}=\frac{36}{5}×\frac{2}{15}=\frac{72}{75}=\frac{24}{25}$。
【答案】
$\dfrac{24}{25}$
【知识点】
解直角三角形，直角三角形斜边中线性质，余弦的定义
【点评】
本题是解直角三角形的综合应用题，解题的核心是先求出直角三角形$ABC$的各边长度，再灵活运用面积法求出高$BE$的长度，最后结合三角函数的定义求解，解题时要注意直角三角形相关性质的运用，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.6

12. [2024·合肥瑶海区一模]如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠C=90°,E为BC边上的点,△ADE为等边三角形,BE=8,CE=2.
(1)求证:∠DEC=∠BAE;
(2)求tan∠AEB的值.

12.(1)证明略.
(2)$\dfrac{3\sqrt{3}}{5}$

【分析】
(1) 要证∠DEC=∠BAE，可利用角的和差关系推导：首先由等边三角形性质得∠AED=60°，结合平角定义得∠AEB+∠DEC=120°；再在△ABE中由三角形内角和得∠BAE+∠AEB=120°，根据同角的补角相等即可得证。
(2) 求tan∠AEB，先过A作AF⊥BC构造直角三角形，设AB=x，用三角函数表示出AF、BF的长度，结合等边三角形边相等的性质，利用同角三角函数的平方关系建立方程求解AB的长度，舍去不符合题意的解后，即可在直角三角形中求出∠AEB的正切值。
【解析】
(1) 证明：
∵△ADE为等边三角形，
∴∠AED=60°，
∵点E在BC上，∠AEB + ∠AED + ∠DEC = 180°（平角的定义），
∴∠AEB + ∠DEC = 180° - 60° = 120°，
在△ABE中，∠B=60°，由三角形内角和为180°得：
∠BAE + ∠AEB = 180° - 60° = 120°，
∴∠DEC = ∠BAE（同角的补角相等）。
(2) 解：
过点A作AF⊥BC于点F，设AB=x，
在Rt△ABF中，∠B=60°，
∴$AF = AB·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，$BF = AB·\cos60°=\frac{x}{2}$，
∴$EF = BE - BF = 8 - \frac{x}{2}$，
在△ABE中，由余弦定理得：
$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2· AB· BE·\cos60°=x^2 + 64 - 8x$，
设∠BAE=θ，由(1)知∠DEC=θ，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
在Rt△DCE中，∠C=90°，CE=2，
∴$\cosθ = \frac{CE}{DE}=\frac{2}{\sqrt{x^2 - 8x + 64}}$，
在△ABE中，由正弦定理得$\frac{BE}{\sinθ}=\frac{AE}{\sin60°}$，
整理得$\sinθ=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{x^2 - 8x + 64}}$，
由同角三角函数基本关系$\sin^2θ+\cos^2θ=1$，代入得：
$(4\sqrt{3})^2 + 2^2 = x^2 - 8x + 64$，
化简得$x^2 - 8x + 12 = 0$，解得$x_1=6$，$x_2=2$，
∵∠DEC=θ是Rt△DEC的锐角，
∴θ＜90°，即∠AEB=120°-θ＞30°，
当x=2时，代入得$\sin∠AEB=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{52}}\approx0.24$，对应∠AEB≈13.9°＜30°，不符合题意，舍去；
当x=6时，$AF=\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$，$EF=8-\frac{6}{2}=5$，
在Rt△AEF中，$\tan∠AEB=\frac{AF}{EF}=\frac{3\sqrt{3}}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\dfrac{3\sqrt{3}}{5}$
【知识点】
等边三角形的性质，三角形内角和定理，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了等边三角形性质、三角形角的关系和解直角三角形的应用，解题的关键是合理构造辅助线，结合三角函数关系建立方程求解，同时要注意对解的合理性进行判断。
【难度系数】
0.6

13.【阅读与思考】请仔细阅读并完成相应的任务.
利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题.如图,在锐角△ABC中,∠A,∠ABC,∠C的对边分别是a,b,c,过点B作BH⊥AC于点H,则$\cos A=\frac{AH}{AB}=\frac{AH}{c}$,即$AH=c\cos A$,于是$CH=b-c\cos A$.
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中,$BH^2=AB^2-AH^2$,
在$\mathrm{Rt}△ BHC$中,$BH^2=BC^2-CH^2$,
$\therefore c^2 - c^2\cos^2 A=a^2-(b - c\cos A)^2$,
整理得$a^2=b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.

【完成任务】
(1)仿照上述材料,可得$b^2=$,$c^2=$;
(2)已知在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边分别是$a,b,c,a=\sqrt{5},b=2,\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$,求$c$.

13.(1)$a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$ $a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$
(2)$\because c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$,
$\therefore c^{2}=(\sqrt{5})^{2}+2^{2}-2×\sqrt{5}×2×\dfrac{\sqrt{5}}{5}=5$,
解得$c_{1}=\sqrt{5},c_{2}=-\sqrt{5}$(舍去),$\therefore c=\sqrt{5}$.

【分析】
(1) 首先观察材料中推导得到的$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$的结构规律：三角形任意一边的平方，等于另外两条边的平方和，减去这两条边与它们夹角的余弦值乘积的2倍。要求$b^2$，$b$是$∠ B$的对边，另外两条边为$a、c$，夹角为$∠ B$，按照规律即可写出表达式；同理$c$是$∠ C$的对边，另外两条边为$a、b$，夹角为$∠ C$，也可直接写出$c^2$的表达式。
(2) 已知$a、b$的长度和$\cos C$的值，要求边长$c$，直接代入第(1)问得到的$c^2$的公式计算即可，注意三角形边长为正数，需舍去负根。
【解析】
(1) 类比材料中$a^2$的推导规律可得：
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
(2) 将$a=\sqrt{5}，b=2，\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$代入$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$得：
$\begin{aligned}c^2&=(\sqrt{5})^2+2^2-2×\sqrt{5}×2×\frac{\sqrt{5}}{5}\\&=5+4-\frac{4×5}{5}\\&=9-4\\&=5\end{aligned}$
解得$c_1=\sqrt{5}，c_2=-\sqrt{5}$，因为三角形边长为正数，故舍去$c=-\sqrt{5}$，即$c=\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$a^2+c^2-2ac\cos B$；$a^2+b^2-2ab\cos C$
(2)$\sqrt{5}$
【知识点】
余弦定理；解三角形；二次根式运算
【点评】
本题属于阅读探究类题型，通过给出余弦定理的推导过程，考查学生的知识迁移能力和公式应用能力，整体难度不高，读懂材料中的公式规律后即可快速求解，计算时注意三角形边长为非负数，需舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7