1. 如图，OA是北偏东$30°$方向的一条射线.若射线OB与射线OA垂直，则OB的方向角是（）

A.北偏西$30°$
B.北偏西$60°$
C.东偏北$30°$
D.东偏北$60°$

1.B

【分析】
解题时先明确方向坐标“上北下南、左西右东”的规则，已知OA是北偏东30°，说明OA与正北方向的夹角为30°且在正北东侧；又因为OB与OA垂直，即∠AOB=90°，可先算出OB与正北方向的夹角，再结合OB的方位即可确定其方向角。
【解析】
首先根据方向角的定义，射线OA为北偏东30°，即正北方向线与OA的夹角为30°。
因为OB与OA垂直，所以$∠ AOB=90°$，由此可得正北方向线与OB的夹角为：$90°-30°=60°$。
观察图形可知OB位于正北方向的西侧，因此OB的方向角是北偏西60°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
方向角的识别；垂直的性质；角度的和差计算
【点评】
本题是方向角类基础题，解题核心是掌握方向角的表示规则，结合垂直的性质计算对应夹角即可，注意不要混淆方向角的方位描述。
【难度系数】
0.8

2. 如图，C地在A地的正东方向，因有大山相隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东$67°$方向上，距离A地52 km，C地位于B地南偏东$30°$方向上.若打通穿山隧道，建成两地直达的高铁，则A地到C地之间高铁线路的长约为km.（结果保留整数，参考数据：$\sin 67° \approx \frac{12}{13}, \cos 67° \approx \frac{5}{13}, \tan 67° \approx \frac{12}{5}, \sqrt{3} \approx 1.73$）

2. 60

【分析】
遇到方向角求线段长度的问题，通常通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解。我们可以过点B作BD⊥AC于点D，构造Rt△ABD和Rt△BCD：先在Rt△ABD中利用AB的长度和67°角的三角函数值求出AD、BD的长度，再在Rt△BCD中利用BD的长度和30°角的三角函数值求出CD的长度，最后AC=AD+CD即可求出A到C的距离。
【解析】
解：过点B作BD⊥AC于点D。
由题意得，∠ABD=67°，∠CBD=30°，AB=52 km。
在Rt△ABD中：
$AD = AB·\sin67° \approx 52×\frac{12}{13} = 48\ \mathrm{km}$
$BD = AB·\cos67° \approx 52×\frac{5}{13} = 20\ \mathrm{km}$
在Rt△BCD中：
$\tan∠ CBD = \frac{CD}{BD}$
$\therefore CD = BD·\tan30° = 20×\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 20×\frac{1.73}{3} \approx 11.53\ \mathrm{km}$
$\therefore AC = AD + CD \approx 48 + 11.53 \approx 60\ \mathrm{km}$
【答案】
60
【知识点】
解直角三角形的应用；方向角问题；三角函数计算
【点评】
本题是方向角类解直角三角形的基础题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合三角函数的定义计算对应边长，要注意正确理解方向角的含义，最后结果按要求取近似值即可。
【难度系数】
0.6

3. 如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200 m.点E在点A的正北方向,点B,D在点C的正北方向,BD=100 m,点B在点A的北偏东$30°$方向,点D在点E的北偏东$45°$方向,则步道AE的长度为 m.(结果保留根号)

3. $(200\sqrt{3}-100)$

【分析】
这是一道方向角背景下的解直角三角形应用题，解题思路如下：1. 首先根据方向角定义确定图中的直角，结合矩形性质可得水平线段EB的长度等于AC；2. 先在Rt△ABC中利用30°对应的三角函数求出BC的长度；3. 再根据D在E北偏东45°的条件，得到等腰直角三角形的边长关系，结合DC的总长度列等式即可求出AE的长度。
【解析】
过点E作EF⊥DC于点F，
∵ AC在A正东，AE在A正北，DC在C正北，
∴ 四边形ACFE是矩形，
∴ EF=AC=200m，FC=AE。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-30°=60°，AC=200m，
$\therefore BC=AC· \tan60°=200×\sqrt{3}=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore DC=BC+BD=200\sqrt{3}+100\ \mathrm{m}$。
∵ 点D在点E的北偏东45°方向，
∴ ∠DEF=45°，Rt△DEF为等腰直角三角形，
$\therefore EF=DF=200\ \mathrm{m}$。
又
∵ DC=DF+FC=DF+AE，
$\therefore 200\sqrt{3}+100=200+AE$，
解得$AE=200\sqrt{3}-100\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(200\sqrt{3}-100)$
【知识点】
解直角三角形的应用-方向角问题；矩形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础解直角三角形应用题，解题核心是将方向角转化为直角三角形的内角，梳理清楚各线段的长度关系，只要掌握解直角三角形的基本方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.6

4.如图,某学校利用空地ABCD建成劳动实践基地.已知空地南北边界$AB// CD$,西边界$BC⊥ AB$,经测量得到如下数据:点A在点C的北偏东$58°$方向、在点D的北偏东$48°$方向,$BC=40\ \mathrm{m}$,则该空地的面积为$\mathrm{m}^2$.
(参考数据:$\tan 48°\approx1.1$,$\tan 58°\approx1.6$)

4. 1 680

【分析】
首先判断空地ABCD是直角梯形，面积公式为$S=\frac{1}{2}(AB+CD)· BC$，已知$BC=40\ \mathrm{m}$，因此只需求出$AB$和$CD$的长度即可。我们可以利用方向角得到直角三角形的内角度数：先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中利用三角函数求出$AB$的长，再过点$D$作$DE⊥ AB$构造$\mathrm{Rt}△ ADE$，利用三角函数求出$AE$的长，结合矩形的性质可得$CD=AB-AE$，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，
$\because AB// CD$，$BC⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$BCDE$是矩形，
$\therefore DE=BC=40\ \mathrm{m}$，$CD=BE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=58°$，$∠ B=90°$，
$\tan58°=\frac{AB}{BC}$，
$\therefore AB=BC·\tan58°\approx40×1.6=64\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=48°$，$∠ AED=90°$，
$\tan48°=\frac{AE}{DE}$，
$\therefore AE=DE·\tan48°\approx40×1.1=44\ \mathrm{m}$。
$\therefore CD=BE=AB-AE=64-44=20\ \mathrm{m}$。
则空地的面积$S=\frac{1}{2}(AB+CD)· BC=\frac{1}{2}×(64+20)×40=1680\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$1680$
【知识点】
解直角三角形的应用，梯形面积计算，矩形的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查解直角三角形的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将方向角转化为直角三角形的内角，结合三角函数求出未知边长，体现了转化思想的应用，同时需要熟练掌握梯形面积公式和矩形的性质。
【难度系数】
0.7

5. [新课标—情境题]为了满足市民的需求，某市在一条小河的两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A—D—C—B—A；②A—E—B—A。经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方2 km处，点D在点C的正西方4 km处，点D在点A的北偏东$45°$方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西$60°$方向。由于时间比较宽松，小明决定选择一条较长线路进行锻炼，请计算说明小明应该选择线路①还是线路②。(参考数据：$\sqrt{2}≈1.4$，$\sqrt{3}≈1.7$)

5. 如题图,过点 D 作$DH⊥AB$于点 H.
由题意,得四边形 DHBC 为矩形,
$\therefore DH=BC=2\ \mathrm{km},BH=CD=4\ \mathrm{km}.$
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ AHD$中,$∠ DAH=90°-45°=45°,$
$\therefore AH=DH=2\ \mathrm{km},AB=AH+BH=2+4=6(\mathrm{km}),$
$\therefore AD=\dfrac{DH}{\sin 45°}=2\sqrt{2}(\mathrm{km}),$
$\therefore$ 线路①的长度为 $AD+DC+CB+BA=2\sqrt{2}+4+2+6\approx14.8(\mathrm{km}).$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$∠ ABE=90°-60°=30°,$
$\therefore AE=AB·\tan\ 30°=2\sqrt{3}\ (\mathrm{km}),BE=2AE=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ (\mathrm{km}),$
$\therefore$ 线路②的长度为 $AE+EB+BA=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+6\approx16.2(\mathrm{km}),$
$\because 14.8＜16.2,\therefore$ 小明应该选择线路②.

【分析】
要确定小明选择哪条较长的线路，需先分别计算两条线路的总长度再比较大小。首先通过作辅助线$DH⊥AB$构造矩形$DHBC$，利用矩形性质得到$DH$、$BH$的长度，再结合点D的方位角可知$△ AHD$是等腰直角三角形，可求出$AH$、$AB$、$AD$的长度，进而算出线路①的总长。然后根据点E的方位角，在$Rt△ ABE$中利用特殊角的三角函数求出$AE$、$BE$的长度，算出线路②的总长，最终比较两个长度即可得出结论。
【解析】
解：过点$D$作$DH⊥AB$于点$H$。
由题意得$BC⊥AB$，$CD// AB$，因此四边形$DHBC$为矩形，
$\therefore DH=BC=2\ \mathrm{km}$，$BH=CD=4\ \mathrm{km}$。
$\because$点$D$在点$A$的北偏东$45°$方向，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AHD$中，$∠ DAH=90°-45°=45°$，
$\therefore AH=DH=2\ \mathrm{km}$，$AB=AH+BH=2+4=6(\mathrm{km})$，
$AD=\dfrac{DH}{\sin 45°}=2\sqrt{2}(\mathrm{km})$，
$\therefore$线路①的长度为 $AD+DC+CB+BA=2\sqrt{2}+4+2+6\approx2×1.4+12=14.8(\mathrm{km})$。
$\because$点$E$在点$A$的正南方，点$B$在点$A$的正东方，$\therefore ∠EAB=90°$，
$\because$点$E$在点$B$的南偏西$60°$方向，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE=90°-60°=30°$，
$\therefore AE=AB·\tan\ 30°=6×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\ (\mathrm{km})$，$BE=\dfrac{AB}{\cos30°}=4\sqrt{3}\ (\mathrm{km})$，
$\therefore$线路②的长度为 $AE+EB+BA=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+6\approx6×1.7+6=16.2(\mathrm{km})$，
$\because 14.8＜16.2$，$\therefore$小明应该选择线路②。
【答案】
小明应该选择线路②
【知识点】
方向角问题，矩形的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活实际情境考查几何计算，解题核心是通过作辅助线将实际方位问题转化为矩形、直角三角形的计算问题，需要学生熟练掌握特殊角的三角函数值，具备将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6