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1. 如果$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，那么点O是$△ ABC$的 （
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
D
）A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先明确题干考查的是三角形内切圆圆心（即内心）的性质，可从内切圆的特点入手思考：内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离相等，再结合所学线的性质判断对应交点类型，同时逐一辨析各选项对应的交点名称，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们首先明确各选项对应的交点性质：
1. 选项A：三条中线的交点是三角形的重心，与内切圆圆心无关，排除；
2. 选项B：三条高的交点是三角形的垂心，与内切圆圆心无关，排除；
3. 选项C：三边垂直平分线的交点是三角形的外心，即外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，不符合内切圆圆心的性质，排除；
4. 选项D：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点到三边的距离都相等，这个点就是三角形内切圆的圆心（内心），符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的性质；三角形四心辨析
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查三角形各特殊交点的定义与性质区分，牢记各类“心”的对应特点是解题的关键，是这部分内容的常规基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题干考查的是三角形内切圆圆心（即内心）的性质，可从内切圆的特点入手思考：内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离相等，再结合所学线的性质判断对应交点类型，同时逐一辨析各选项对应的交点名称，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们首先明确各选项对应的交点性质：
1. 选项A：三条中线的交点是三角形的重心，与内切圆圆心无关，排除；
2. 选项B：三条高的交点是三角形的垂心，与内切圆圆心无关，排除；
3. 选项C：三边垂直平分线的交点是三角形的外心，即外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，不符合内切圆圆心的性质，排除；
4. 选项D：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点到三边的距离都相等，这个点就是三角形内切圆的圆心（内心），符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的性质；三角形四心辨析
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查三角形各特殊交点的定义与性质区分，牢记各类“心”的对应特点是解题的关键，是这部分内容的常规基础考点。
【难度系数】
0.8
2.为美化校园，学校准备在如图所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛.（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
答案
解：
△ABC内面积最大的圆形花坛是△ABC的内切圆，按要求完成作图：
1. 用尺规作任意两个内角（如∠ABC、∠ACB）的角平分线，保留尺规作角平分线的圆弧痕迹，两条角平分线的交点记为点O，即△ABC的内心；
2. 过点O作任意一边（如BC边）的垂线，保留尺规作垂线的痕迹，垂足为D，垂线段OD的长度即为内切圆半径；
3. 以点O为圆心，OD的长为半径画圆，所得的⊙O即为所求的面积最大的圆形花坛，所有辅助作图痕迹全部保留。
△ABC内面积最大的圆形花坛是△ABC的内切圆，按要求完成作图：
1. 用尺规作任意两个内角（如∠ABC、∠ACB）的角平分线，保留尺规作角平分线的圆弧痕迹，两条角平分线的交点记为点O，即△ABC的内心；
2. 过点O作任意一边（如BC边）的垂线，保留尺规作垂线的痕迹，垂足为D，垂线段OD的长度即为内切圆半径；
3. 以点O为圆心，OD的长为半径画圆，所得的⊙O即为所求的面积最大的圆形花坛，所有辅助作图痕迹全部保留。
解析
【分析】
要在三角形空地上修建面积最大的圆形花坛，该圆需尽可能大且不超出三角形边界，因此应为与三角形三边都相切的内切圆。根据内切圆的性质：内切圆的圆心（内心）是三角形内角平分线的交点，且内心到三角形三边的距离相等，该距离就是内切圆的半径。因此解题思路为：先作三角形两个内角的角平分线确定圆心，再过圆心作边的垂线得到半径，最后以圆心为中心、半径为长度画圆即可。
【解析】
△ABC内面积最大的圆形花坛是△ABC的内切圆，作图步骤如下：
1. 用尺规作任意两个内角（如∠ABC、∠ACB）的角平分线，保留尺规作角平分线的圆弧痕迹，两条角平分线的交点记为点O，即△ABC的内心；
2. 过点O作任意一边（如BC边）的垂线，保留尺规作垂线的痕迹，垂足为D，垂线段OD的长度即为内切圆半径；
3. 以点O为圆心，OD的长为半径画圆，所得的⊙O即为所求的面积最大的圆形花坛，所有辅助作图痕迹全部保留。
【答案】
作出△ABC的内切圆⊙O，保留全部尺规作图痕迹。
【知识点】
三角形内切圆的性质，角平分线的尺规作图，垂线的尺规作图
【点评】
本题结合生活实际考查几何作图能力，需要掌握三角形内切圆的相关性质，熟练运用尺规作角平分线和垂线的方法，属于基础作图类题目。
【难度系数】
0.8
要在三角形空地上修建面积最大的圆形花坛，该圆需尽可能大且不超出三角形边界，因此应为与三角形三边都相切的内切圆。根据内切圆的性质：内切圆的圆心（内心）是三角形内角平分线的交点，且内心到三角形三边的距离相等，该距离就是内切圆的半径。因此解题思路为：先作三角形两个内角的角平分线确定圆心，再过圆心作边的垂线得到半径，最后以圆心为中心、半径为长度画圆即可。
【解析】
△ABC内面积最大的圆形花坛是△ABC的内切圆，作图步骤如下：
1. 用尺规作任意两个内角（如∠ABC、∠ACB）的角平分线，保留尺规作角平分线的圆弧痕迹，两条角平分线的交点记为点O，即△ABC的内心；
2. 过点O作任意一边（如BC边）的垂线，保留尺规作垂线的痕迹，垂足为D，垂线段OD的长度即为内切圆半径；
3. 以点O为圆心，OD的长为半径画圆，所得的⊙O即为所求的面积最大的圆形花坛，所有辅助作图痕迹全部保留。
【答案】
作出△ABC的内切圆⊙O，保留全部尺规作图痕迹。
【知识点】
三角形内切圆的性质，角平分线的尺规作图，垂线的尺规作图
【点评】
本题结合生活实际考查几何作图能力，需要掌握三角形内切圆的相关性质，熟练运用尺规作角平分线和垂线的方法，属于基础作图类题目。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，若$∠ A=70°$，则$∠ BOC=$（
）
A.$100°$
B.$115°$
C.$125°$
D.$130°$
）A.$100°$
B.$115°$
C.$125°$
D.$130°$
答案
3.C
解析
【分析】
首先明确⊙O是△ABC的内切圆，因此点O是△ABC的内心，即三角形三个内角的角平分线交点，可得BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB。已知∠A的度数，先根据三角形内角和计算∠ABC+∠ACB的度数，再求出∠OBC与∠OCB的度数和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=70°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是基础题，解题核心是掌握三角形内心是内角角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速推导结果，是三角形内切圆相关的典型常考题。
【难度系数】
0.8
首先明确⊙O是△ABC的内切圆，因此点O是△ABC的内心，即三角形三个内角的角平分线交点，可得BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB。已知∠A的度数，先根据三角形内角和计算∠ABC+∠ACB的度数，再求出∠OBC与∠OCB的度数和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=70°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是基础题，解题核心是掌握三角形内心是内角角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速推导结果，是三角形内切圆相关的典型常考题。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，$O$为$△ ABC$的内心.若$△ ABO$的面积为20，则$△ ACO$的面积为（
A.12
B.15
C.18
D.20
B
）A.12
B.15
C.18
D.20
答案
4.B
解析
【分析】首先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。观察△ABO和△ACO，两个三角形的高都是内心O分别到AB、AC的距离，因此高相等，那么它们的面积比就等于对应底边AB和AC的长度比，我们可以先求出两个三角形的面积比，再结合已知△ABO的面积，就能算出△ACO的面积。
【解析】解：
∵O是△ABC的内心，
∴点O到AB、AC的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × h$，$S_{△ ACO}=\frac{1}{2} × AC × h$
∴$\frac{S_{△ ABO}}{S_{△ ACO}}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
已知$S_{△ ABO}=20$，代入得：
$\frac{20}{S_{△ ACO}}=\frac{4}{3}$
解得$S_{△ ACO}=20 × \frac{3}{4}=15$
【答案】B
【知识点】三角形内心的性质；三角形面积计算
【点评】本题解题的核心是利用三角形内心到三边距离相等的性质，得到两个同高三角形的面积比等于底边长的比，再通过比例计算即可求解，属于基础性质应用类题目。
【难度系数】0.7
【解析】解：
∵O是△ABC的内心，
∴点O到AB、AC的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × h$，$S_{△ ACO}=\frac{1}{2} × AC × h$
∴$\frac{S_{△ ABO}}{S_{△ ACO}}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
已知$S_{△ ABO}=20$，代入得：
$\frac{20}{S_{△ ACO}}=\frac{4}{3}$
解得$S_{△ ACO}=20 × \frac{3}{4}=15$
【答案】B
【知识点】三角形内心的性质；三角形面积计算
【点评】本题解题的核心是利用三角形内心到三边距离相等的性质，得到两个同高三角形的面积比等于底边长的比，再通过比例计算即可求解，属于基础性质应用类题目。
【难度系数】0.7
5.[新课标—数学文化题]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？其意思是：今有直角三角形，勾(短直角边)长为八步，股(长直角边)长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？如图，此问题中，该内切圆的直径长是
6
步.答案
5.6
解析
【分析】
这是一道求直角三角形内切圆直径的基础题，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理，结合已知的两条直角边长度，求出直角三角形的斜边长度；第二步，根据直角三角形内切圆半径与三边的关系（或用面积法推导内切圆半径）求出半径，半径乘2即可得到内切圆的直径。
【解析】
首先根据勾股定理计算该直角三角形的斜边长：
斜边长 $ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $（步）
利用直角三角形内切圆半径公式 $ r=\frac{a+b-c}{2} $（a、b为直角边，c为斜边）
代入数据得内切圆半径 $ r=\frac{8+15-17}{2}=3 $（步）
则内切圆直径为 $ 2r=2×3=6 $（步）
也可通过面积法验证：三角形总面积为$\frac{1}{2}×8×15=60$，同时总面积等于三个以内切圆圆心为顶点的小三角形面积和，即$\frac{1}{2}r×(8+15+17)=20r$，解得$r=3$，直径仍为6步。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题结合我国古代数学名著命题，既考查了直角三角形的相关计算，又渗透了传统数学文化，解题的核心是熟练掌握直角三角形内切圆半径的计算方法，属于常规基础考题。
【难度系数】
0.7
这是一道求直角三角形内切圆直径的基础题，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理，结合已知的两条直角边长度，求出直角三角形的斜边长度；第二步，根据直角三角形内切圆半径与三边的关系（或用面积法推导内切圆半径）求出半径，半径乘2即可得到内切圆的直径。
【解析】
首先根据勾股定理计算该直角三角形的斜边长：
斜边长 $ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $（步）
利用直角三角形内切圆半径公式 $ r=\frac{a+b-c}{2} $（a、b为直角边，c为斜边）
代入数据得内切圆半径 $ r=\frac{8+15-17}{2}=3 $（步）
则内切圆直径为 $ 2r=2×3=6 $（步）
也可通过面积法验证：三角形总面积为$\frac{1}{2}×8×15=60$，同时总面积等于三个以内切圆圆心为顶点的小三角形面积和，即$\frac{1}{2}r×(8+15+17)=20r$，解得$r=3$，直径仍为6步。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题结合我国古代数学名著命题，既考查了直角三角形的相关计算，又渗透了传统数学文化，解题的核心是熟练掌握直角三角形内切圆半径的计算方法，属于常规基础考题。
【难度系数】
0.7
直角三角形的内切圆→一般三角形的内切圆
[教材P45练习第3题改编]已知三角形三边长分别为3,5,6,其面积为$2\sqrt{14}$,则该三角形内切圆的半径为（
A.$\sqrt{14}$
B.$2\sqrt{14}$
C.$\frac{\sqrt{14}}{7}$
D.$\frac{2\sqrt{14}}{7}$
[教材P45练习第3题改编]已知三角形三边长分别为3,5,6,其面积为$2\sqrt{14}$,则该三角形内切圆的半径为（
D
）A.$\sqrt{14}$
B.$2\sqrt{14}$
C.$\frac{\sqrt{14}}{7}$
D.$\frac{2\sqrt{14}}{7}$
答案
【变式训练】D
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆的相关性质：三角形内切圆的圆心到三边的距离都等于内切圆半径$r$，可将原三角形分割为3个分别以原三角形三边为底、$r$为高的小三角形，原三角形面积等于3个小三角形面积之和，由此推导得到公式$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$（$a、b、c$为三角形三边长，$S$为三角形面积，$r$为内切圆半径）。本题已经给出三边长和面积，直接代入公式求解$r$即可。
【解析】
设该三角形的内切圆半径为$r$，三边长分别为$a=3$，$b=5$，$c=6$，面积$S=2\sqrt{14}$。
根据三角形面积与内切圆半径的关系可得：
$\displaystyle S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$
对公式变形求$r$：
$\displaystyle r=\frac{2S}{a+b+c}$
代入数值计算：
先算周长$a+b+c=3+5+6=14$，
$\displaystyle r=\frac{2×2\sqrt{14}}{14}=\frac{4\sqrt{14}}{14}=\frac{2\sqrt{14}}{7}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形面积与内切圆半径关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内切圆半径的计算，只要熟练掌握对应的面积公式，代入数值准确计算即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形内切圆的相关性质：三角形内切圆的圆心到三边的距离都等于内切圆半径$r$，可将原三角形分割为3个分别以原三角形三边为底、$r$为高的小三角形，原三角形面积等于3个小三角形面积之和，由此推导得到公式$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$（$a、b、c$为三角形三边长，$S$为三角形面积，$r$为内切圆半径）。本题已经给出三边长和面积，直接代入公式求解$r$即可。
【解析】
设该三角形的内切圆半径为$r$，三边长分别为$a=3$，$b=5$，$c=6$，面积$S=2\sqrt{14}$。
根据三角形面积与内切圆半径的关系可得：
$\displaystyle S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$
对公式变形求$r$：
$\displaystyle r=\frac{2S}{a+b+c}$
代入数值计算：
先算周长$a+b+c=3+5+6=14$，
$\displaystyle r=\frac{2×2\sqrt{14}}{14}=\frac{4\sqrt{14}}{14}=\frac{2\sqrt{14}}{7}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形面积与内切圆半径关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内切圆半径的计算，只要熟练掌握对应的面积公式，代入数值准确计算即可得分。
【难度系数】
0.7
