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9.若$\odot A$的半径为5，圆心A的坐标是$(1,2)$，点P的坐标是$(5,2)$，则点P的位置为
（
A.在$\odot A$内
B.在$\odot A$上
C.在$\odot A$外
D.不能确定
（
A
）A.在$\odot A$内
B.在$\odot A$上
C.在$\odot A$外
D.不能确定
答案
9.A
解析
【分析】
要判断点P与⊙A的位置关系，需先求出点P到圆心A的距离d，再将d与圆的半径r比较大小：若d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。本题可先根据两点坐标求出AP的长度，再与半径5对比即可得到结论。
【解析】
已知圆心A的坐标为$(1,2)$，点P的坐标为$(5,2)$，根据两点间距离公式可得：
$AP=\sqrt{(5-1)^2+(2-2)^2}=\sqrt{4^2+0}=4$
∵$\odot A$的半径$r=5$，且$4＜5$，即$d＜r$
∴点P在$\odot A$内。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定，平面直角坐标系两点间距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点与圆位置关系的判定规则，只要掌握距离计算方法和判定逻辑即可快速得出答案，是对基础概念应用能力的考察。
【难度系数】
0.9
要判断点P与⊙A的位置关系，需先求出点P到圆心A的距离d，再将d与圆的半径r比较大小：若d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。本题可先根据两点坐标求出AP的长度，再与半径5对比即可得到结论。
【解析】
已知圆心A的坐标为$(1,2)$，点P的坐标为$(5,2)$，根据两点间距离公式可得：
$AP=\sqrt{(5-1)^2+(2-2)^2}=\sqrt{4^2+0}=4$
∵$\odot A$的半径$r=5$，且$4＜5$，即$d＜r$
∴点P在$\odot A$内。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定，平面直角坐标系两点间距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点与圆位置关系的判定规则，只要掌握距离计算方法和判定逻辑即可快速得出答案，是对基础概念应用能力的考察。
【难度系数】
0.9
10.设P为$\odot O$外一点,若点P到$\odot O$上的点的最短距离为3,最长距离为7,则$\odot O$的半径为（
A.1
B.2
C.4
D.5
B
）A.1
B.2
C.4
D.5
答案
10.B
解析
【分析】
遇到圆外一点到圆上点的最短、最长距离问题，首先要明确这两个最值对应的点都在该点与圆心的连线所在直线上：最短距离是点到圆心的距离减去半径，最长距离是点到圆心的距离加上半径，两者的差值就是圆的直径，据此即可求出半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心$O$的距离为$d$。
$\because$ 点$P$在$\odot O$外，$\therefore d ＞ r$。
由题意可知：点$P$到$\odot O$上点的最短距离为$d - r = 3$，最长距离为$d + r = 7$。
用最长距离的式子减去最短距离的式子，得：
$(d + r) - (d - r) = 7 - 3$
化简得$2r = 4$，解得$r = 2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.点与圆的位置关系
2.圆的基本性质
【点评】
本题考查圆外一点到圆上点的距离最值规律，解题的核心是明确最值对应的线段与点到圆心距离、半径的数量关系，属于基础题型，熟练掌握相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
遇到圆外一点到圆上点的最短、最长距离问题，首先要明确这两个最值对应的点都在该点与圆心的连线所在直线上：最短距离是点到圆心的距离减去半径，最长距离是点到圆心的距离加上半径，两者的差值就是圆的直径，据此即可求出半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心$O$的距离为$d$。
$\because$ 点$P$在$\odot O$外，$\therefore d ＞ r$。
由题意可知：点$P$到$\odot O$上点的最短距离为$d - r = 3$，最长距离为$d + r = 7$。
用最长距离的式子减去最短距离的式子，得：
$(d + r) - (d - r) = 7 - 3$
化简得$2r = 4$，解得$r = 2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.点与圆的位置关系
2.圆的基本性质
【点评】
本题考查圆外一点到圆上点的距离最值规律，解题的核心是明确最值对应的线段与点到圆心距离、半径的数量关系，属于基础题型，熟练掌握相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
变式训练
点在圆外→点在平面内
平面内，一个点到圆上的点的最小距离是4，最大距离是9，则圆的半径为
点在圆外→点在平面内
平面内，一个点到圆上的点的最小距离是4，最大距离是9，则圆的半径为
2.5或6.5
。答案
变式训练 2.5或6.5
解析
【分析】
解题时首先要明确平面内的点与圆存在3种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内，本题中点到圆上点有最小距离4和最大距离9，说明点不可能在圆上，因此分点在圆外、点在圆内两种情况讨论：无论点在圆内还是圆外，点到圆上点的最大、最小距离都在点与圆心的连线所在直线上，据此列等式计算半径即可。
【解析】
设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，分两种情况讨论：
1. 当点在圆外时：
点到圆上点的最小距离为$d - r = 4$，最大距离为$d + r = 9$，
用第二个式子减第一个式子得：$(d + r) - (d - r) = 9 - 4$，
化简得$2r = 5$，解得$r = 2.5$。
2. 当点在圆内时：
点到圆上点的最小距离为$r - d = 4$，最大距离为$r + d = 9$，
两个式子相加得：$(r - d) + (r + d) = 4 + 9$，
化简得$2r = 13$，解得$r = 6.5$。
综上，圆的半径为2.5或6.5。
【答案】
2.5或6.5
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆的半径计算
【点评】
本题的易错点是只考虑点在圆外的情况，忽略点在圆内的可能，解题时要结合几何特征全面分类讨论，明确点到圆上点的最大、最小距离均在过圆心的连线上是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确平面内的点与圆存在3种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内，本题中点到圆上点有最小距离4和最大距离9，说明点不可能在圆上，因此分点在圆外、点在圆内两种情况讨论：无论点在圆内还是圆外，点到圆上点的最大、最小距离都在点与圆心的连线所在直线上，据此列等式计算半径即可。
【解析】
设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，分两种情况讨论：
1. 当点在圆外时：
点到圆上点的最小距离为$d - r = 4$，最大距离为$d + r = 9$，
用第二个式子减第一个式子得：$(d + r) - (d - r) = 9 - 4$，
化简得$2r = 5$，解得$r = 2.5$。
2. 当点在圆内时：
点到圆上点的最小距离为$r - d = 4$，最大距离为$r + d = 9$，
两个式子相加得：$(r - d) + (r + d) = 4 + 9$，
化简得$2r = 13$，解得$r = 6.5$。
综上，圆的半径为2.5或6.5。
【答案】
2.5或6.5
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆的半径计算
【点评】
本题的易错点是只考虑点在圆外的情况，忽略点在圆内的可能，解题时要结合几何特征全面分类讨论，明确点到圆上点的最大、最小距离均在过圆心的连线上是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
11. 如图，OA是$\odot O$的半径，B为OA上一点（不与点O，A重合），过点B作OA的垂线交$\odot O$于点C，以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD。若$BD=10$，$BC=8$，则AB的长为（
A.8
B.6
C.4
D.2
C
）A.8
B.6
C.4
D.2
答案
11.C
解析
【分析】
解题时首先观察图形，已知四边形OBCD是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可将已知的BD长度转化为圆的半径OC的长度；再结合BC⊥OA的条件，可知△OBC是直角三角形，利用勾股定理即可求出OB的长度；最后根据OA是半径，长度等于OC，用OA减去OB就能得到AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形OBCD是矩形，
∴矩形的对角线相等，即$OC=BD=10$，
∵OC是$\odot O$的半径，OA也是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=10$，
∵$BC⊥OA$，
∴$∠ OBC=90°$，即$△ OBC$是直角三角形，
在$Rt△ OBC$中，$OC=10$，$BC=8$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{OC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$AB=OA-OB=10-6=4$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的突破口是利用矩形对角线相等的性质快速得到圆的半径，再结合直角三角形的勾股定理计算相关线段长度，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，已知四边形OBCD是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可将已知的BD长度转化为圆的半径OC的长度；再结合BC⊥OA的条件，可知△OBC是直角三角形，利用勾股定理即可求出OB的长度；最后根据OA是半径，长度等于OC，用OA减去OB就能得到AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形OBCD是矩形，
∴矩形的对角线相等，即$OC=BD=10$，
∵OC是$\odot O$的半径，OA也是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=10$，
∵$BC⊥OA$，
∴$∠ OBC=90°$，即$△ OBC$是直角三角形，
在$Rt△ OBC$中，$OC=10$，$BC=8$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{OC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$AB=OA-OB=10-6=4$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的突破口是利用矩形对角线相等的性质快速得到圆的半径，再结合直角三角形的勾股定理计算相关线段长度，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
12.[与T14互为孪生题]如图，AB是半径为2的$\odot O$的弦，C是$\odot O$上的一个动点。若M，N分别是AB，BC中点，则MN的最大值是
2
。答案
12.2
解析
【分析】
解题时先观察中点条件，M、N分别是AB、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AC的数量关系；要找MN的最大值，只需转化为求AC的最大值，结合圆的性质，圆中最长的弦是直径，据此求出AC的最大值，即可得到MN的最大值。
【解析】
解：
∵M是AB的中点，N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}AC}$。
∵点C在$\odot O$上，AC是$\odot O$的弦，圆内最长的弦为直径，
已知$\odot O$的半径为2，
∴$\odot O$的直径为$2×2=4$，即AC的最大值为4，
∴MN的最大值为$\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中位线定理；圆的弦的性质；最值求解
【点评】
本题结合三角形中位线性质和圆的基本性质考查，解题核心是将MN的最值转化为圆的弦AC的最值，体现了转化的数学思想，需牢记圆中最长的弦为直径这一核心结论。
【难度系数】
0.7
解题时先观察中点条件，M、N分别是AB、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AC的数量关系；要找MN的最大值，只需转化为求AC的最大值，结合圆的性质，圆中最长的弦是直径，据此求出AC的最大值，即可得到MN的最大值。
【解析】
解：
∵M是AB的中点，N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}AC}$。
∵点C在$\odot O$上，AC是$\odot O$的弦，圆内最长的弦为直径，
已知$\odot O$的半径为2，
∴$\odot O$的直径为$2×2=4$，即AC的最大值为4，
∴MN的最大值为$\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中位线定理；圆的弦的性质；最值求解
【点评】
本题结合三角形中位线性质和圆的基本性质考查，解题核心是将MN的最值转化为圆的弦AC的最值，体现了转化的数学思想，需牢记圆中最长的弦为直径这一核心结论。
【难度系数】
0.7
13.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，$CD ⊥ AB$于点D，$AD ＜ BD$.若$CD = 2\ \mathrm{cm}$，$AB = 5\ \mathrm{cm}$，求AD，AC的长.
答案
13. 连接OC. $\because AB=5,\therefore OC=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$.
在$\mathrm{Rt}△CDO$中,$DO=\sqrt{OC^2-CD^2}=\frac{3}{2}$,
$\therefore AD=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1,\therefore AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{5}$.
在$\mathrm{Rt}△CDO$中,$DO=\sqrt{OC^2-CD^2}=\frac{3}{2}$,
$\therefore AD=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1,\therefore AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，AB是圆的直径，可先得到半径长度；要求AD、AC的长，结合CD垂直AB的垂直条件，可通过连接半径OC构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中用勾股定理计算：第一步先求半径OC、OA的长度；第二步在Rt△CDO中计算OD的长度；第三步结合AD＜BD的条件，用OA减OD得到AD的长；最后在Rt△ACD中计算AC的长度即可。
【解析】
连接OC，
∵AB=5cm，AB是⊙O的直径，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，
在Rt△CDO中，CD=2cm，由勾股定理得：
$DO=\sqrt{OC^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-2^2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$，
∵AD＜BD，
∴D在线段OA上，
∴$AD=OA-DO=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
AD的长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$，AC的长为$\boldsymbol{\sqrt{5}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
圆的有关概念，勾股定理
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础计算题，核心解题思路是通过连接半径构造直角三角形，将圆的性质和勾股定理结合求解，这类连接半径的辅助线做法在圆的计算类题型中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，AB是圆的直径，可先得到半径长度；要求AD、AC的长，结合CD垂直AB的垂直条件，可通过连接半径OC构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中用勾股定理计算：第一步先求半径OC、OA的长度；第二步在Rt△CDO中计算OD的长度；第三步结合AD＜BD的条件，用OA减OD得到AD的长；最后在Rt△ACD中计算AC的长度即可。
【解析】
连接OC，
∵AB=5cm，AB是⊙O的直径，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，
在Rt△CDO中，CD=2cm，由勾股定理得：
$DO=\sqrt{OC^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-2^2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$，
∵AD＜BD，
∴D在线段OA上，
∴$AD=OA-DO=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
AD的长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$，AC的长为$\boldsymbol{\sqrt{5}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
圆的有关概念，勾股定理
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础计算题，核心解题思路是通过连接半径构造直角三角形，将圆的性质和勾股定理结合求解，这类连接半径的辅助线做法在圆的计算类题型中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
14.[动态最值问题][与T12互为孪生题]如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC = 90°$，$AB = 8$，$BC = 6$，$D$是半径为4的$\odot A$上的一个动点，$M$是$CD$的中点，则$BM$的最大值是
7
.答案
14.7
解析
【分析】
本题是动点背景下的线段最值问题，解题核心是利用中点相关性质转化线段：首先结合Rt△ABC的边长求出斜边AC的长度，取AC的中点构造辅助线，利用直角三角形斜边中线的性质得到定长线段BO，再根据三角形中位线定理得到另一段定长线段OM，最后根据三角形三边关系即可推出BM的最大值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
取$AC$的中点$O$，连接$BO$、$OM$：
① 因为$O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$BO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$；
② 因为$M$是$CD$的中点，$O$是$AC$的中点，所以$OM$是$△ACD$的中位线，根据三角形中位线定理，$OM=\frac{1}{2}AD$。
已知$\odot A$的半径为4，即$AD=4$，因此$OM=\frac{1}{2}×4=2$。
根据三角形三边关系，$BM≤ BO+OM$，当且仅当$B$、$O$、$M$三点共线，且$O$位于$B$、$M$之间时，等号成立，此时$BM$取最大值：$5+2=7$。
【答案】
7
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于动态几何最值的典型题型，解题关键是通过构造中点辅助线，将动线段BM的最值转化为两个定长线段的和，结合三角形三边关系求解，需要熟练掌握与中点相关的几何性质，学会用转化的思想解决动态最值问题。
【难度系数】
0.6
本题是动点背景下的线段最值问题，解题核心是利用中点相关性质转化线段：首先结合Rt△ABC的边长求出斜边AC的长度，取AC的中点构造辅助线，利用直角三角形斜边中线的性质得到定长线段BO，再根据三角形中位线定理得到另一段定长线段OM，最后根据三角形三边关系即可推出BM的最大值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
取$AC$的中点$O$，连接$BO$、$OM$：
① 因为$O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$BO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$；
② 因为$M$是$CD$的中点，$O$是$AC$的中点，所以$OM$是$△ACD$的中位线，根据三角形中位线定理，$OM=\frac{1}{2}AD$。
已知$\odot A$的半径为4，即$AD=4$，因此$OM=\frac{1}{2}×4=2$。
根据三角形三边关系，$BM≤ BO+OM$，当且仅当$B$、$O$、$M$三点共线，且$O$位于$B$、$M$之间时，等号成立，此时$BM$取最大值：$5+2=7$。
【答案】
7
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于动态几何最值的典型题型，解题关键是通过构造中点辅助线，将动线段BM的最值转化为两个定长线段的和，结合三角形三边关系求解，需要熟练掌握与中点相关的几何性质，学会用转化的思想解决动态最值问题。
【难度系数】
0.6
