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1.用简便方法计算：
(1)$\frac{7}{13} × (-9) + \frac{7}{13} × (-18) + \frac{7}{13}$；
(2)$(-6)^2 × ( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} ) - 2^3$；
(3)$-13 × \frac{2}{3} - 0.68 × \frac{1}{7} + \frac{1}{3} × (-13) - \frac{5}{7} × 0.34$。
(1)$\frac{7}{13} × (-9) + \frac{7}{13} × (-18) + \frac{7}{13}$；
(2)$(-6)^2 × ( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} ) - 2^3$；
(3)$-13 × \frac{2}{3} - 0.68 × \frac{1}{7} + \frac{1}{3} × (-13) - \frac{5}{7} × 0.34$。
答案
1.解:(1)原式$=\frac{7}{13}×(-9-18+1)=\frac{7}{13}×(-26)=-14.$
(2)原式$=36×(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})-8=36×\frac{1}{2}-36×\frac{2}{3}-8=18-24-8=-14.$
(3)$-13×\frac{2}{3}-0.68×\frac{1}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34$
$=-13×\frac{2}{3}-\frac{1}{3}×13-\frac{5}{7}×0.34-0.34×\frac{2}{7}$
$=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-(\frac{5}{7}+\frac{2}{7})×0.34$
$=-13×1-1×0.34$
$=-13-0.34$
$=-13.34.$
(2)原式$=36×(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})-8=36×\frac{1}{2}-36×\frac{2}{3}-8=18-24-8=-14.$
(3)$-13×\frac{2}{3}-0.68×\frac{1}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34$
$=-13×\frac{2}{3}-\frac{1}{3}×13-\frac{5}{7}×0.34-0.34×\frac{2}{7}$
$=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-(\frac{5}{7}+\frac{2}{7})×0.34$
$=-13×1-1×0.34$
$=-13-0.34$
$=-13.34.$
解析
【分析】
这三道有理数简便计算题核心是运用乘法分配律简化计算：
1. 第(1)题三个项均含有公因数$\frac{7}{13}$，直接逆用乘法分配律提取公因数，将剩余的系数合并计算即可，无需逐项相乘；
2. 第(2)题先计算乘方，再利用乘法分配律将36分别乘括号内的两个分数，避免通分计算括号内的结果，减少计算量；
3. 第(3)题先分类分组，将含有因数-13的项归为一组，把$0.68×\frac{1}{7}$转化为$0.34×\frac{2}{7}$后，将含有因数0.34的项归为另一组，两组分别逆用乘法分配律提取公因数，凑整后计算更简便。
【解析】
(1) 逆用乘法分配律提取公因数：
原式$=\frac{7}{13}×(-9-18+1)$
$=\frac{7}{13}×(-26)$
$=-14$
(2) 先算乘方，再用乘法分配律展开计算：
原式$=36×(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})-8$
$=36×\frac{1}{2}-36×\frac{2}{3}-8$
$=18-24-8$
$=-14$
(3) 调整项的位置，分组提取公因数计算：
原式$=-13×\frac{2}{3}-\frac{1}{3}×13-\frac{5}{7}×0.34-0.34×\frac{2}{7}$
$=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-0.34×(\frac{5}{7}+\frac{2}{7})$
$=-13×1-0.34×1$
$=-13-0.34$
$=-13.34$
【答案】
(1) $\boxed{-14}$；(2) $\boxed{-14}$；(3) $\boxed{-13.34}$
【知识点】
乘法分配律、有理数简便运算、有理数乘方运算
【点评】
这组题主要考察有理数运算的简便技巧，核心是灵活识别公因数、合理分组凑整，通过运用乘法分配律及其逆运算大幅降低计算量，减少硬算带来的错误率，是有理数运算的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
这三道有理数简便计算题核心是运用乘法分配律简化计算：
1. 第(1)题三个项均含有公因数$\frac{7}{13}$，直接逆用乘法分配律提取公因数，将剩余的系数合并计算即可，无需逐项相乘；
2. 第(2)题先计算乘方，再利用乘法分配律将36分别乘括号内的两个分数，避免通分计算括号内的结果，减少计算量；
3. 第(3)题先分类分组，将含有因数-13的项归为一组，把$0.68×\frac{1}{7}$转化为$0.34×\frac{2}{7}$后，将含有因数0.34的项归为另一组，两组分别逆用乘法分配律提取公因数，凑整后计算更简便。
【解析】
(1) 逆用乘法分配律提取公因数：
原式$=\frac{7}{13}×(-9-18+1)$
$=\frac{7}{13}×(-26)$
$=-14$
(2) 先算乘方，再用乘法分配律展开计算：
原式$=36×(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})-8$
$=36×\frac{1}{2}-36×\frac{2}{3}-8$
$=18-24-8$
$=-14$
(3) 调整项的位置，分组提取公因数计算：
原式$=-13×\frac{2}{3}-\frac{1}{3}×13-\frac{5}{7}×0.34-0.34×\frac{2}{7}$
$=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-0.34×(\frac{5}{7}+\frac{2}{7})$
$=-13×1-0.34×1$
$=-13-0.34$
$=-13.34$
【答案】
(1) $\boxed{-14}$；(2) $\boxed{-14}$；(3) $\boxed{-13.34}$
【知识点】
乘法分配律、有理数简便运算、有理数乘方运算
【点评】
这组题主要考察有理数运算的简便技巧，核心是灵活识别公因数、合理分组凑整，通过运用乘法分配律及其逆运算大幅降低计算量，减少硬算带来的错误率，是有理数运算的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2.(阅读理解题)先阅读下面材料,再回答问题.
计算$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}).$
解:原式的倒数为$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)$
$=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)$
$=-20+3-5+12$
$=-10,$
故原式$=-\frac{1}{10}.$
根据材料所给的方法,计算:$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}).$
计算$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}).$
解:原式的倒数为$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)$
$=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)$
$=-20+3-5+12$
$=-10,$
故原式$=-\frac{1}{10}.$
根据材料所给的方法,计算:$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}).$
答案
2.解:原式的倒数为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)$
$=-7+9-28+12=-14,$
故原式$=-\frac{1}{14}.$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)$
$=-7+9-28+12=-14,$
故原式$=-\frac{1}{14}.$
解析
【分析】
观察题目可知，被除数为单个负分数，除数是多个分数的加减混合运算，直接通分计算除数的结果再做除法计算量较大。可借鉴材料给出的简便方法：先求原式的倒数，利用“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，将倒数的除法运算转化为乘法运算，再用乘法分配律展开计算，得到倒数的结果后，再取倒数即可得到原式的结果，能大幅简化计算过程。
【解析】
解：原式的倒数为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
根据乘法分配律展开计算：
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)$
$=-7+9-28+12$
$=-14$
因此原式为上述结果的倒数，即原式$=-\frac{1}{14}$。
【答案】
$-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的应用
【点评】
本题属于阅读理解类运算题，需要先理解材料给出的简便运算思路，灵活运用倒数性质和乘法分配律简化运算，可避免通分计算的繁琐，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
观察题目可知，被除数为单个负分数，除数是多个分数的加减混合运算，直接通分计算除数的结果再做除法计算量较大。可借鉴材料给出的简便方法：先求原式的倒数，利用“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，将倒数的除法运算转化为乘法运算，再用乘法分配律展开计算，得到倒数的结果后，再取倒数即可得到原式的结果，能大幅简化计算过程。
【解析】
解：原式的倒数为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
根据乘法分配律展开计算：
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)$
$=-7+9-28+12$
$=-14$
因此原式为上述结果的倒数，即原式$=-\frac{1}{14}$。
【答案】
$-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的应用
【点评】
本题属于阅读理解类运算题，需要先理解材料给出的简便运算思路，灵活运用倒数性质和乘法分配律简化运算，可避免通分计算的繁琐，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
计算：
(1)$-87.22 + 53\frac{19}{21} - 12.78 + 43\frac{2}{21}$；
(2)$3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{5} - 4\frac{2}{5} - (+1\frac{1}{6})$。
(1)$-87.22 + 53\frac{19}{21} - 12.78 + 43\frac{2}{21}$；
(2)$3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{5} - 4\frac{2}{5} - (+1\frac{1}{6})$。
答案
3.解:(1)原式$=(-87.22-12.78)+(53\frac{19}{21}+43\frac{2}{21})$
$=-100+97=-3.$
(2)原式$=3\frac{1}{6}-1\frac{3}{5}-4\frac{2}{5}-1\frac{1}{6}$
$=3\frac{1}{6}-1\frac{1}{6}-(1\frac{3}{5}+4\frac{2}{5})$
$=2-6$
$=-4.$
$=-100+97=-3.$
(2)原式$=3\frac{1}{6}-1\frac{3}{5}-4\frac{2}{5}-1\frac{1}{6}$
$=3\frac{1}{6}-1\frac{1}{6}-(1\frac{3}{5}+4\frac{2}{5})$
$=2-6$
$=-4.$
解析
【分析】
这两道是有理数加减混合运算题，可运用加法交换律、结合律进行简便计算：
(1) 观察算式可知，两个小数-87.22和-12.78相加能凑成整数-100，两个带分数的分数部分相加得1，整体相加也可凑成整数，因此将小数部分、带分数部分分别分组结合计算即可。
(2) 观察算式可知，$3\frac{1}{6}$和$-1\frac{1}{6}$分数部分相同，相减可得整数，两个减数$1\frac{3}{5}$和$4\frac{2}{5}$相加可凑成整数，因此先交换数的位置，再将同特征的数分别结合计算即可，注意减号后添加括号时，括号内的运算符号要变号。
【解析】
(1) 原式利用加法运算律变形得：
$\begin{aligned}&(-87.22 - 12.78) + (53\frac{19}{21} + 43\frac{2}{21})\\=&-100 + 97\\=&-3\end{aligned}$
(2) 先去括号，再利用加法运算律变形得：
$\begin{aligned}原式&=3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{5} - 4\frac{2}{5} - 1\frac{1}{6}\\&=(3\frac{1}{6} - 1\frac{1}{6}) - (1\frac{3}{5} + 4\frac{2}{5})\\&=2 - 6\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{-4}$
【知识点】
有理数加减混合运算，加法交换律，加法结合律
【点评】
本题考查有理数加减运算的简便技巧，解题核心是观察算式中数字的特征，合理运用加法运算律将能凑整的数优先结合计算，既可以减少运算量，也能降低计算出错的概率，是有理数运算中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.75
这两道是有理数加减混合运算题，可运用加法交换律、结合律进行简便计算：
(1) 观察算式可知，两个小数-87.22和-12.78相加能凑成整数-100，两个带分数的分数部分相加得1，整体相加也可凑成整数，因此将小数部分、带分数部分分别分组结合计算即可。
(2) 观察算式可知，$3\frac{1}{6}$和$-1\frac{1}{6}$分数部分相同，相减可得整数，两个减数$1\frac{3}{5}$和$4\frac{2}{5}$相加可凑成整数，因此先交换数的位置，再将同特征的数分别结合计算即可，注意减号后添加括号时，括号内的运算符号要变号。
【解析】
(1) 原式利用加法运算律变形得：
$\begin{aligned}&(-87.22 - 12.78) + (53\frac{19}{21} + 43\frac{2}{21})\\=&-100 + 97\\=&-3\end{aligned}$
(2) 先去括号，再利用加法运算律变形得：
$\begin{aligned}原式&=3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{5} - 4\frac{2}{5} - 1\frac{1}{6}\\&=(3\frac{1}{6} - 1\frac{1}{6}) - (1\frac{3}{5} + 4\frac{2}{5})\\&=2 - 6\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{-4}$
【知识点】
有理数加减混合运算，加法交换律，加法结合律
【点评】
本题考查有理数加减运算的简便技巧，解题核心是观察算式中数字的特征，合理运用加法运算律将能凑整的数优先结合计算，既可以减少运算量，也能降低计算出错的概率，是有理数运算中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.75
4.计算：
(1)$(1+3+5+\dots+49)-(2+4+6+\dots+50);$
(2)$1-2-3+4+5-6-7+8+\dots+2\ 020+2\ 021-2\ 022-2\ 023+2\ 024.$
(1)$(1+3+5+\dots+49)-(2+4+6+\dots+50);$
(2)$1-2-3+4+5-6-7+8+\dots+2\ 020+2\ 021-2\ 022-2\ 023+2\ 024.$
答案
4.解:(1)$(1+3+5+\dots+49)-(2+4+6+\dots+50)$
$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(49-50)$
$=-1-1-\dots-1$
$=-25.$
(2)观察式子可知，
$1-2-3+4=0,5-6-7+8=0,$
归纳类推得:从第1个数开始,每4个数的运算结果都等于0,故原式$=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+\dots+(2\ 017-2\ 018-2\ 019+2\ 020)+(2\ 021-2\ 022-2\ 023+2\ 024)=506×0=0.$
$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(49-50)$
$=-1-1-\dots-1$
$=-25.$
(2)观察式子可知，
$1-2-3+4=0,5-6-7+8=0,$
归纳类推得:从第1个数开始,每4个数的运算结果都等于0,故原式$=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+\dots+(2\ 017-2\ 018-2\ 019+2\ 020)+(2\ 021-2\ 022-2\ 023+2\ 024)=506×0=0.$
解析
【分析】
(1) 观察两个括号内的数，对应位置的奇数比相邻偶数小1，可去括号后将相邻的奇偶数两两分组计算，避免分别求和的繁琐；先确定分组的数量，再计算总结果即可。
(2) 观察式子的运算符号和数字特征，可尝试从左往右每4个数分为一组，先计算出每组的结果，发现每组结果都为0，再统计总共有多少组，即可快速得到最终结果。
【解析】
(1) 先去括号，将对应项两两分组：
$(1+3+5+\dots+49)-(2+4+6+\dots+50)$
$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(49-50)$
每组的计算结果都是$-1$，1到50共有50个数，两两分组共$50÷2=25$组，因此：
原式$=-1×25=-25$
(2) 先计算前4个数的运算结果：$1-2-3+4=0$，再计算接下来4个数：$5-6-7+8=0$，可归纳得出规律：从第1个数开始，每4个数为一组，每组的运算结果均为0。
总共有2024个数，分组数量为$2024÷4=506$组，因此：
原式$=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+\dots+(2021-2022-2023+2024)$
$=0×506=0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-25}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数加减运算，分组巧算，数字规律探究
【点评】
本题考查有理数加减的简便运算，解题关键是观察数字和运算符号的特征，采用合理分组的方法抵消运算，避免逐一计算的繁琐，能有效锻炼对数字规律的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察两个括号内的数，对应位置的奇数比相邻偶数小1，可去括号后将相邻的奇偶数两两分组计算，避免分别求和的繁琐；先确定分组的数量，再计算总结果即可。
(2) 观察式子的运算符号和数字特征，可尝试从左往右每4个数分为一组，先计算出每组的结果，发现每组结果都为0，再统计总共有多少组，即可快速得到最终结果。
【解析】
(1) 先去括号，将对应项两两分组：
$(1+3+5+\dots+49)-(2+4+6+\dots+50)$
$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(49-50)$
每组的计算结果都是$-1$，1到50共有50个数，两两分组共$50÷2=25$组，因此：
原式$=-1×25=-25$
(2) 先计算前4个数的运算结果：$1-2-3+4=0$，再计算接下来4个数：$5-6-7+8=0$，可归纳得出规律：从第1个数开始，每4个数为一组，每组的运算结果均为0。
总共有2024个数，分组数量为$2024÷4=506$组，因此：
原式$=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+\dots+(2021-2022-2023+2024)$
$=0×506=0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-25}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数加减运算，分组巧算，数字规律探究
【点评】
本题考查有理数加减的简便运算，解题关键是观察数字和运算符号的特征，采用合理分组的方法抵消运算，避免逐一计算的繁琐，能有效锻炼对数字规律的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
