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1. (★)计算:
(1)$(x+2)^2=$;
(2)$(x-6)^2=$;
(3)$(2x+3y)^2=$.
(1)$(x+2)^2=$;
(2)$(x-6)^2=$;
(3)$(2x+3y)^2=$.
答案
解：
(1) $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$
(2) $(x-6)^2 = x^2 - 12x + 36$
(3) $(2x+3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
(1) $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$
(2) $(x-6)^2 = x^2 - 12x + 36$
(3) $(2x+3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
2. (★)把下列多项式分解因式：
(1)$x^2 + 4x + 4 =$；
(2)$x^2 - 12x + 36 =$；
(3)$4x^2 + 12xy + 9y^2 =$。
(1)$x^2 + 4x + 4 =$；
(2)$x^2 - 12x + 36 =$；
(3)$4x^2 + 12xy + 9y^2 =$。
答案
解：
(1) $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2· x· 2 + 2^2 = \boldsymbol{(x+2)^2}$
(2) $x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2· x· 6 + 6^2 = \boldsymbol{(x-6)^2}$
(3) $4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x)^2 + 2· 2x· 3y + (3y)^2 = \boldsymbol{(2x+3y)^2}$
(1) $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2· x· 2 + 2^2 = \boldsymbol{(x+2)^2}$
(2) $x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2· x· 6 + 6^2 = \boldsymbol{(x-6)^2}$
(3) $4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x)^2 + 2· 2x· 3y + (3y)^2 = \boldsymbol{(2x+3y)^2}$
3. (★)两个数的平方和加上(或减去)这两个数的,等于这两个数的,即$a^2+2ab+b^2=$,$a^2-2ab+b^2=$.
我们把满足$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$这样的式子叫作完全平方式.
我们把满足$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$这样的式子叫作完全平方式.
答案
解：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即$a^2+2ab+b^2=\boldsymbol{(a+b)^2}$，$a^2-2ab+b^2=\boldsymbol{(a-b)^2}$。
4. (★★)若$x^2+mx+9$是一个完全平方式，
则$m$的值是 【 】
A.6
B.-3
C.$\pm6$
D.-6
则$m$的值是 【 】
A.6
B.-3
C.$\pm6$
D.-6
答案
C
解析
根据完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对比式子$x^2+mx+9$，可知$x^2$对应$a^2$，9对应$3^2$，因此$mx=\pm2· x·3=\pm6x$，解得$m=\pm6$。
5. (★★)用完全平方公式分解因式：
(1)$x^2 + 8x + 16$；
(2)$4x^2 - 12xy + 9y^2$。
(1)$x^2 + 8x + 16$；
(2)$4x^2 - 12xy + 9y^2$。
答案
解：
(1) 原式$=x^2 + 2· x· 4 + 4^2$
$=(x+4)^2$
(2) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 3y + (3y)^2$
$=(2x-3y)^2$
(1) 原式$=x^2 + 2· x· 4 + 4^2$
$=(x+4)^2$
(2) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 3y + (3y)^2$
$=(2x-3y)^2$
6. (★★)已知$9x^2 + mxy + 16y^2$是完全平方式，则m的值为 【 】
A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
答案
D
解析
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得$9x^2=(3x)^2$，$16y^2=(4y)^2$，则中间项满足$mxy=\pm2·3x·4y=\pm24xy$，因此$m=\pm24$。
7. (★★) 对于下列多项式: ①$x^2 + x + \frac{1}{4}$；②$x^2 - 2x -1$；③$4x^2 -2x +1$；④$x^2 -4x +4$. 其中是完全平方式的有(填序号).
答案
解：
根据完全平方式的结构特征：三项多项式中，两项是两个数的平方和，剩余一项是这两个数乘积的2倍（符号可正可负），逐一判断：
① $x^2 + x + \frac{1}{4} = x^2 + 2· x· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方式的特征；
② $x^2 - 2x - 1$的常数项为$-1$，不能表示为某个实数的平方，不符合完全平方式的特征；
③ $4x^2 - 2x + 1$中，若首项$4x^2=(2x)^2$，末项$1=1^2$，则两数乘积的2倍应为$2×2x×1=4x$，与中间项$-2x$不符，不是完全平方式；
④ $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2· x· 2 + 2^2$，符合完全平方式的特征。
综上，是完全平方式的有$\boldsymbol{①④}$。
根据完全平方式的结构特征：三项多项式中，两项是两个数的平方和，剩余一项是这两个数乘积的2倍（符号可正可负），逐一判断：
① $x^2 + x + \frac{1}{4} = x^2 + 2· x· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方式的特征；
② $x^2 - 2x - 1$的常数项为$-1$，不能表示为某个实数的平方，不符合完全平方式的特征；
③ $4x^2 - 2x + 1$中，若首项$4x^2=(2x)^2$，末项$1=1^2$，则两数乘积的2倍应为$2×2x×1=4x$，与中间项$-2x$不符，不是完全平方式；
④ $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2· x· 2 + 2^2$，符合完全平方式的特征。
综上，是完全平方式的有$\boldsymbol{①④}$。
8. (★★)把多项式$16x^2 -24x +9$分解因式得 【 】
A.$(16x-3)^2$
B.$(4x-3)^2$
C.$(16x+3)(16x-3)$
D.$(4x+3)(4x-3)$
A.$(16x-3)^2$
B.$(4x-3)^2$
C.$(16x+3)(16x-3)$
D.$(4x+3)(4x-3)$
答案
B
解析
利用完全平方差公式$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，观察多项式可得：$16x^2=(4x)^2$，$9=3^2$，中间项$-24x=-2×4x×3$，符合完全平方式的特征，因此$16x^2 -24x +9=(4x-3)^2$。
9. (★★)分解因式:
(1)$y^2+12y+36$;
(2)$x^2-4xy+4y^2$;
(3)$-2xy-x^2-y^2$;
(4)$4x^2+25y^2-20xy$.
(1)$y^2+12y+36$;
(2)$x^2-4xy+4y^2$;
(3)$-2xy-x^2-y^2$;
(4)$4x^2+25y^2-20xy$.
答案
解：
(1) 原式$=y^2 + 2· y· 6 + 6^2$
$=(y+6)^2$
(2) 原式$=x^2 - 2· x· 2y + (2y)^2$
$=(x-2y)^2$
(3) 原式$=-(x^2 + 2xy + y^2)$
$=-(x+y)^2$
(4) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 5y + (5y)^2$
$=(2x-5y)^2$
(1) 原式$=y^2 + 2· y· 6 + 6^2$
$=(y+6)^2$
(2) 原式$=x^2 - 2· x· 2y + (2y)^2$
$=(x-2y)^2$
(3) 原式$=-(x^2 + 2xy + y^2)$
$=-(x+y)^2$
(4) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 5y + (5y)^2$
$=(2x-5y)^2$
