如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”。例如：
$8=3^2 - 1^2$，$16=5^2 - 3^2$，$24=7^2 - 5^2$，因此8，16，24都是“登高数”。
(1)特例感知：判断40是否为“登高数”，并说明理由。
(2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为$2k-1$和$2k+1$，其中k是正整数，那么“登高数”都能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，举例说明。
(3)拓展应用：求不超过2000的所有“登高数”的和。

(1)40是“登高数”.
理由:设40=(2n+1)²-(2n-1)²,
解得n=5.
∴ 40=11²-9².
∴ 40是“登高数”.
(2)“登高数”都能被8整除.
理由:(2k+1)²-(2k-1)²
=[(2k+1)+(2k-1)][(2k+1)-(2k-1)]
=(2k+1+2k-1)(2k+1-2k+1),
=4k×2
=8k,
∵ k是正整数,
∴ 8k能被8整除.
∴ (2k+1)²-(2k-1)²能被8整除.
∴ “登高数”都能被8整除.
(3)由(2)可知“登高数”能被8整除.
∵ 2 000=250×8,
∴ 不超过2 000的所有“登高数”有8,16,24,…,1 992,2 000.
∴ 8+16+24+…+1 992+2 000
=8×1+8×2+8×3+…+8×249+8×250
=8×(1+2+3+…+249+250)
=8×$\frac{1+250}{2}$×250
=251 000.

【分析】
(1) 判断40是否为“登高数”，可依据定义设40为两个连续正奇数的平方差，列方程求解，若得到正整数解则说明40是登高数；
(2) 要验证登高数是否都能被8整除，直接对给定的两个连续正奇数的平方差用平方差公式展开化简，结合k是正整数判断化简结果是否为8的倍数即可；
(3) 由第二问结论可知登高数都是8的正整数倍，先确定不超过2000的所有登高数的构成规律，再用等差数列求和公式计算总和即可。
【解析】
(1) 40是“登高数”，理由如下：
设$40=(2n+1)^2-(2n-1)^2$（n为正整数），
化简得：$40=8n$，解得$n=5$，
此时两个连续正奇数为$2×5-1=9$，$2×5+1=11$，即$40=11^2-9^2$，因此40是“登高数”。
(2) “登高数”都能被8整除，理由如下：
利用平方差公式化简两个连续正奇数的平方差：
$\begin{aligned}(2k+1)^2-(2k-1)^2&=[(2k+1)+(2k-1)][(2k+1)-(2k-1)]\\&=4k×2\\&=8k\end{aligned}$
∵k是正整数，
∴8k是8的正整数倍，能被8整除，因此所有“登高数”都能被8整除。
(3) 由(2)可知“登高数”均为8的正整数倍，
不超过2000的最大“登高数”为$2000=8×250$，
因此不超过2000的“登高数”依次为$8×1,8×2,8×3,\dots,8×250$，
它们的和为：
$\begin{aligned}8+16+24+\dots+2000&=8×(1+2+3+\dots+250)\\&=8×\frac{(1+250)×250}{2}\\&=8×31375\\&=251000\end{aligned}$
【答案】
(1) 40是“登高数”，理由见解析；
(2) “登高数”都能被8整除，理由见解析；
(3) 251000
【知识点】
平方差公式应用；整式化简；等差数列求和
【点评】
本题以新定义为载体，层层递进考查了平方差公式的运用、数的整除判断和数列求和能力，既检验基础知识的掌握程度，也锻炼了逻辑推理和规律探究的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7

1. 分解因式$(4x-5)^2 -9y^2$的结果是 （）

A.$(4x-5+3y)(4x-5-3y)$
B.$(4x-5+3y)(4x+5-3y)$
C.$(4x-5+3y)(4x-2-3y)$
D.$(4x-8+3y)(4x-2-3y)$

1. A

【分析】
首先观察待分解的式子，可发现它是两个平方项作差的结构，符合平方差公式的使用条件，因此优先考虑用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解因式。第一步先确定公式中对应的$a$和$b$：其中$(4x-5)^2$是第一个平方项，因此$a=4x-5$；$9y^2$可变形为$(3y)^2$，是第二个平方项，因此$b=3y$。第二步将$a$和$b$代入平方差公式展开，再和选项对比即可得到正确结果。
【解析】
解：先将原式转化为平方差的标准形式：
$(4x-5)^2 -9y^2=(4x-5)^2 - (3y)^2$
对照平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=4x-5$，$b=3y$，代入得：
$(4x-5)^2 - (3y)^2=(4x-5+3y)(4x-5-3y)$
与选项比对，对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式、乘方的意义
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对平方差公式结构特征的识别能力，解题的关键是准确将原式转化为平方差的标准形式，找准公式对应的两个底数，避免对平方项的底数判断错误即可快速解答。
【难度系数】
0.9

2. 分解因式：
(1)$2x^2 - 8$；
(2)$4a - a^3$；
(3)$ax^2 - ay^2$；
(4)$9 - (x - 2y)^2$；
(5)$(x + y)^2 - (x - y)^2$。

2. (1)$2(x+2)(x-2)$
(2)$a(2+a)(2-a)$
(3)$a(x+y)(x-y)$
(4)$(3+x-2y)(3-x+2y)$
(5)$4xy$

【分析】
这组因式分解题核心考查提公因式法与平方差公式的结合运用，解题遵循两步思路：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式，将多项式化简；第二步观察提取公因式后的多项式是否符合平方差公式的结构特征：即形如$a^2 - b^2$的二项式，若符合则套用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$进一步分解，最后检查结果是否化为最简整式乘积的形式，注意去括号时的符号处理和同类项合并。
【解析】
(1) 先提取公因式2，再套用平方差公式：
$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x^2 - 2^2) = 2(x+2)(x-2)$
(2) 先提取公因式$a$，再套用平方差公式：
$4a - a^3 = a(4 - a^2) = a(2^2 - a^2) = a(2+a)(2-a)$
(3) 先提取公因式$a$，再套用平方差公式：
$ax^2 - ay^2 = a(x^2 - y^2) = a(x+y)(x-y)$
(4) 把$9$看作$3^2$，将$(x-2y)$看作整体，直接套用平方差公式，再去括号化简：
$9 - (x-2y)^2 = 3^2 - (x-2y)^2 = [3 + (x-2y)][3 - (x-2y)] = (3+x-2y)(3-x+2y)$
(5) 将$(x+y)$和$(x-y)$分别看作整体，套用平方差公式，再合并同类项化简：
$(x+y)^2 - (x-y)^2 = [(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)] = (2x)(2y) = 4xy$
【答案】
(1)$2(x+2)(x-2)$；(2)$a(2+a)(2-a)$；(3)$a(x+y)(x-y)$；(4)$(3+x-2y)(3-x+2y)$；(5)$4xy$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解，整式化简
【点评】
本组题目属于因式分解的基础常规题型，核心考查因式分解的基本步骤和平方差公式的应用，解题时需注意先提取公因式再套用公式，去括号时要留意符号变化，最终结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.8

3. 小明抄在作业本上的式子$x^{\oplus}-9y^{2}$(“$\oplus$”表示漏抄的指数),不小心漏抄了$x$的指数,他只知道该数为不大于5的整数,并且能利用平方差公式分解因式,请你帮小明写出这个整式分解因式的结果:.

3. $(x+3y)(x-3y)$或$(x^2+3y)(x^2-3y)$

【分析】
解题时首先回忆平方差公式的结构：两个数的平方差可以分解为这两个数的和与差的乘积，即$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。首先将式子中的第二项变形为平方形式：$9y^2=(3y)^2$，因此第一项$x^{\oplus}$必须能写成某个整式的平方，即$\oplus$必须是正偶数；再结合题目给出的“$\oplus$为不大于5的整数”的限制，可确定$\oplus$的可能取值为2、4，最后分别代入式子分解因式即可得到结果。
【解析】
首先明确平方差公式分解因式的形式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
1. 对已知项变形：$9y^2=(3y)^2$，因此$x^{\oplus}$需为某整式的平方，即$\oplus$为偶数，且是不大于5的正整数，故$\oplus$可取2或4。
2. 当$\oplus=2$时，原式$=x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x+3y)(x-3y)$。
3. 当$\oplus=4$时，原式$=x^4 - 9y^2 = (x^2)^2 - (3y)^2 = (x^2+3y)(x^2-3y)$。
综上，分解因式的结果为上述两种情况。
【答案】
$(x+3y)(x-3y)$或$(x^2+3y)(x^2-3y)$
【知识点】
平方差公式分解因式、平方差公式结构特征
【点评】
本题重点考查对平方差公式结构的掌握，需要结合限制条件筛选出符合要求的指数，再进行因式分解，解题的核心是抓住平方差公式“两项均为平方项、符号相反”的特征，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7

4. 若将$(2x)^n -81$分解成$(4x^2 +9)(2x+3)(2x-3)$，则$n$的值是________。

4. 4

【分析】
要确定n的值，我们可以把分解得到的几个因式相乘还原为原多项式，再和原式$(2x)^n -81$对比对应部分的次数即可。解题时先观察到因式里有$(2x+3)(2x-3)$，符合平方差公式的结构，先计算这两个的乘积，再和剩下的因式继续用平方差公式计算，最终化简后和原式比对就能求出n。
【解析】
第一步：先计算$(2x+3)(2x-3)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，此处$a=2x$，$b=3$，可得：
$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2 - 3^2=4x^2 -9$
第二步：将上述结果和$(4x^2 +9)$相乘，再次运用平方差公式，此处$a=4x^2$，$b=9$，可得：
$(4x^2 +9)(4x^2 -9)=(4x^2)^2 - 9^2=16x^4 -81$
第三步：将化简结果转化为和原式同形式的表达式，$16x^4=2^4· x^4=(2x)^4$，因此还原后的原多项式为$(2x)^4 -81$。
对比原式$(2x)^n -81$，可得$n=4$。
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算，积的乘方运算
【点评】
本题考查因式分解的逆用，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过将分解后的因式相乘还原原式，再比对对应项的参数求解，属于因式分解章节的基础题型。
【难度系数】
0.8

5. 分解因式：
(1)$x^4 - y^4 =$ ；
(2)$a^3b - ab =$ .

5. (1)$(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$
(2)$ab(a+1)(a-1)$

【分析】
分解因式的常规解题思路为：先判断多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式，再观察剩余多项式是否符合乘法公式的结构特征，对应套用公式分解，最后要保证分解到每一个因式都不能再分解为止。
(1) 对于$x^4 - y^4$，无公因式，观察可得它符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，可将$x^4$看作$(x^2)^2$，$y^4$看作$(y^2)^2$，先第一次使用平方差公式分解，再判断得到的因式是否可继续分解，对仍符合平方差结构的因式再次分解即可；
(2) 对于$a^3b - ab$，先观察到两项都含有公因式$ab$，先提取公因式，再看剩余的多项式$a^2-1$符合平方差公式结构，继续用公式分解即可。
【解析】
(1) $x^4 - y^4$
$=(x^2)^2 - (y^2)^2$
$=(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
$=(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
(2) $a^3b - ab$
$=ab · a^2 - ab · 1$
$=ab(a^2 - 1)$
$=ab(a + 1)(a - 1)$
【答案】
(1)$(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$；(2)$ab(a+1)(a-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题型，重点考查分解因式的操作步骤和平方差公式的应用，解题时要注意必须分解到每个因式都无法再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8

6. 小明是一名密码翻译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:$a-b,a+b,a^2-b^2,c-d,c+d,c^2-d^2$分别对应下列六个字:勤,奋,博,自,主,学,现将$(a^2 - b^2)c^2 - (a^2 - b^2)d^2$因式分解,结果呈现的密码信息应是（）

A.勤奋博学
B.博学自主
C.勤奋自学
D.勤奋自主

6. D

【分析】
解题思路分为两步：第一步先对给定的多项式因式分解，要遵循因式分解的规范步骤，先找公因式提取，再判断剩余部分能否用公式法继续分解，直到每个因式不能再分解为止；第二步将分解得到的因式对应题干给出的汉字映射关系，组合得到密码信息即可。
【解析】
对多项式$(a^2 - b^2)c^2 - (a^2 - b^2)d^2$进行因式分解：
1. 提取公因式：观察多项式发现两项都含有公因式$(a^2 - b^2)$，提取后得：
原式$=(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)$
2. 用平方差公式继续分解：根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，分别对两个因式分解：
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，$c^2-d^2=(c-d)(c+d)$
因此原式最终分解结果为：$(a-b)(a+b)(c-d)(c+d)$
根据题干对应关系：$a-b$对应“勤”，$a+b$对应“奋”，$c-d$对应“自”，$c+d$对应“主”，组合后得到密码信息为“勤奋自主”。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题结合趣味密码场景考查因式分解的实际应用，解题核心是掌握因式分解“先提公因式、后用公式、分解彻底”的原则，再对应匹配信息即可得出结果，出题形式较为新颖。
【难度系数】
0.8