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1. 如图,在平面直角坐标系中,C为△AOB的边OA上一点,AC:OC=1:2,过点C作CD//OB交AB于点D.若C,D两点的纵坐标分别为1,3,则点B的纵坐标为 (
A.4
B.5
C.6
D.7
C
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先观察到CD//OB，可联想到利用平行线判定两个三角形相似，得到△ACD∽△AOB；再结合已知AC:OC=1:2，可求出两个相似三角形的相似比；接着根据CD与OB均为竖直方向，利用C、D两点的纵坐标差求出CD的长度；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，即可求出OB的长度，也就是点B的纵坐标。
【解析】
解：
∵CD//OB，
∴∠ACD=∠AOB，∠ADC=∠ABO，
∴△ACD∽△AOB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵AC:OC=1:2，
∴AC:AO=AC:(AC+OC)=1:(1+2)=1:3，即△ACD与△AOB的相似比为$\frac{1}{3}$。
∵CD//OB（y轴），C、D两点横坐标相同，
∴CD的长度为两点纵坐标之差，即CD=3-1=2。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{CD}{OB}=\frac{AC}{AO}=\frac{1}{3}$，
代入CD=2得：$\frac{2}{OB}=\frac{1}{3}$，解得OB=6。
∵点B在y轴正半轴上，
∴点B的纵坐标为6。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是相似三角形与平面直角坐标系结合的基础题，解题核心是通过平行线得到相似三角形，结合坐标特征得到对应边的长度，再利用相似比求解，是相似三角形应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到CD//OB，可联想到利用平行线判定两个三角形相似，得到△ACD∽△AOB；再结合已知AC:OC=1:2，可求出两个相似三角形的相似比；接着根据CD与OB均为竖直方向，利用C、D两点的纵坐标差求出CD的长度；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，即可求出OB的长度，也就是点B的纵坐标。
【解析】
解：
∵CD//OB，
∴∠ACD=∠AOB，∠ADC=∠ABO，
∴△ACD∽△AOB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵AC:OC=1:2，
∴AC:AO=AC:(AC+OC)=1:(1+2)=1:3，即△ACD与△AOB的相似比为$\frac{1}{3}$。
∵CD//OB（y轴），C、D两点横坐标相同，
∴CD的长度为两点纵坐标之差，即CD=3-1=2。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{CD}{OB}=\frac{AC}{AO}=\frac{1}{3}$，
代入CD=2得：$\frac{2}{OB}=\frac{1}{3}$，解得OB=6。
∵点B在y轴正半轴上，
∴点B的纵坐标为6。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是相似三角形与平面直角坐标系结合的基础题，解题核心是通过平行线得到相似三角形，结合坐标特征得到对应边的长度，再利用相似比求解，是相似三角形应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$△ ABC ∽ △ A'B'C'$,且$A(1,0)$,$B(2,0)$,$A'(4,2)$,$B'(6,1)$.若$△ ABC$的面积为$1$,则$△ A'B'C'$的面积为 (
A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$\sqrt{5}$
D.$5$
D
)A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$\sqrt{5}$
D.$5$
答案
2.D
解析
【分析】
要解答本题，需利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。首先先求出一组对应边的长度，得到两个三角形的相似比，再结合已知△ABC的面积，即可算出△A'B'C'的面积。
【解析】
1. 计算AB的长度：已知A(1,0)，B(2,0)，两点都在x轴上，因此AB的长度为$2-1=1$。
2. 计算A'B'的长度：根据平面直角坐标系中两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。代入A'(4,2)、B'(6,1)得：
$A'B'=\sqrt{(6-4)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
3. 求相似比：$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，因此相似比$k=\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。
4. 利用相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=k^2=(\frac{1}{\sqrt{5}})^2=\frac{1}{5}$
已知$S_{△ ABC}=1$，代入得$S_{△ A'B'C'}=5$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，两点间距离公式
【点评】
本题核心是对相似三角形性质的应用，解题的关键是准确计算对应边的长度得到相似比，注意不要混淆相似比与面积比的关系，熟练掌握相关性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
要解答本题，需利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。首先先求出一组对应边的长度，得到两个三角形的相似比，再结合已知△ABC的面积，即可算出△A'B'C'的面积。
【解析】
1. 计算AB的长度：已知A(1,0)，B(2,0)，两点都在x轴上，因此AB的长度为$2-1=1$。
2. 计算A'B'的长度：根据平面直角坐标系中两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。代入A'(4,2)、B'(6,1)得：
$A'B'=\sqrt{(6-4)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
3. 求相似比：$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，因此相似比$k=\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。
4. 利用相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=k^2=(\frac{1}{\sqrt{5}})^2=\frac{1}{5}$
已知$S_{△ ABC}=1$，代入得$S_{△ A'B'C'}=5$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，两点间距离公式
【点评】
本题核心是对相似三角形性质的应用，解题的关键是准确计算对应边的长度得到相似比，注意不要混淆相似比与面积比的关系，熟练掌握相关性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$4×4$的正方形网格中,$△ ABC$是格点三角形(三角形的三个顶点是小正方形的顶点).若以格点$P,A,B$为顶点的三角形与$△ ABC$相似(全等除外),则格点$P$的坐标是
$(1,4)$或$(3,4)$
.答案
3.$(1,4)$或$(3,4)$
解析
【分析】
解题时首先先确定已知△ABC的特征：先写出三个顶点的坐标，计算边长可知△ABC是直角三角形，两条直角边的比为1:2，且AB长为2。要构造与△ABC相似（不全等）的格点△PAB，需抓住相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，分直角顶点在A、直角顶点在B、直角顶点在P三种情况讨论，结合格点的坐标特征，排除全等和不存在的情况，即可得到P的坐标。
【解析】
由图可得点A坐标为$(1,0)$，点B坐标为$(3,0)$，点C坐标为$(1,1)$，
∴$AB=3-1=2$，$AC=1-0=1$，且$AC⊥AB$，即$∠CAB=90°$，△ABC的直角边之比$AC:AB=1:2$。
要使格点△PAB与△ABC相似（全等除外），则△PAB为直角三角形，且两条直角边的比为$1:2$，分情况讨论：
1. 若直角顶点为A：此时$AP⊥AB$，AP沿竖直方向，要满足相似且不全等，则直角边比为$AP:AB=2:1$，可得$AP=2×2=4$，因此点P的横坐标为1，纵坐标为$0+4=4$，即$P(1,4)$，符合格点要求；
2. 若直角顶点为B：此时$BP⊥AB$，BP沿竖直方向，同理可得$BP=4$，因此点P的横坐标为3，纵坐标为$0+4=4$，即$P(3,4)$，符合格点要求；
3. 若直角顶点为P：根据勾股定理，此时$PA^2+PB^2=AB^2=4$，结合直角边比$1:2$，计算可知不存在满足条件的格点P。
综上，符合条件的格点P的坐标为$(1,4)$或$(3,4)$。
【答案】
$(1,4)$或$(3,4)$
【知识点】
相似三角形的判定；平面直角坐标系的坐标；勾股定理
【点评】
本题考查网格背景下相似三角形的构造，需要结合相似三角形的性质分类讨论，解题时注意排除全等的情况，同时要熟练掌握格点的坐标特征，是相似三角形的典型基础应用题。
【难度系数】
0.6
解题时首先先确定已知△ABC的特征：先写出三个顶点的坐标，计算边长可知△ABC是直角三角形，两条直角边的比为1:2，且AB长为2。要构造与△ABC相似（不全等）的格点△PAB，需抓住相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，分直角顶点在A、直角顶点在B、直角顶点在P三种情况讨论，结合格点的坐标特征，排除全等和不存在的情况，即可得到P的坐标。
【解析】
由图可得点A坐标为$(1,0)$，点B坐标为$(3,0)$，点C坐标为$(1,1)$，
∴$AB=3-1=2$，$AC=1-0=1$，且$AC⊥AB$，即$∠CAB=90°$，△ABC的直角边之比$AC:AB=1:2$。
要使格点△PAB与△ABC相似（全等除外），则△PAB为直角三角形，且两条直角边的比为$1:2$，分情况讨论：
1. 若直角顶点为A：此时$AP⊥AB$，AP沿竖直方向，要满足相似且不全等，则直角边比为$AP:AB=2:1$，可得$AP=2×2=4$，因此点P的横坐标为1，纵坐标为$0+4=4$，即$P(1,4)$，符合格点要求；
2. 若直角顶点为B：此时$BP⊥AB$，BP沿竖直方向，同理可得$BP=4$，因此点P的横坐标为3，纵坐标为$0+4=4$，即$P(3,4)$，符合格点要求；
3. 若直角顶点为P：根据勾股定理，此时$PA^2+PB^2=AB^2=4$，结合直角边比$1:2$，计算可知不存在满足条件的格点P。
综上，符合条件的格点P的坐标为$(1,4)$或$(3,4)$。
【答案】
$(1,4)$或$(3,4)$
【知识点】
相似三角形的判定；平面直角坐标系的坐标；勾股定理
【点评】
本题考查网格背景下相似三角形的构造，需要结合相似三角形的性质分类讨论，解题时注意排除全等的情况，同时要熟练掌握格点的坐标特征，是相似三角形的典型基础应用题。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=∠ C$,将$△ ABC$绕点$B$逆时针旋转得$△ DBE$,点$E$在$AC$上.若$ED=3$,$EC=1$,则$EB=$（
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
D.$2$
A
）A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
D.$2$
答案
4.A
解析
【分析】
解题第一步先利用旋转的性质：旋转前后图形全等，可得对应边相等、对应角相等，从而推出ED=AC，BC=BE；第二步结合已知∠ABC=∠C，根据等边对等角可得∠BEC=∠C，进而得到∠ABC=∠BEC；第三步观察发现△ABC和△BCE有公共角∠C，可通过两角对应相等证明两三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例列等式，代入已知数值即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴AC=ED=3，BC=BE，
∴∠BEC=∠C，
又
∵∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠BEC，
在△ABC和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠C \\∠ABC=∠BEC\end{array} $
∴△ABC∽△BEC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{EC}{BC}$，即$BC^2=AC· EC$，
∵AC=3，EC=1，且BC=BE，
∴$BE^2=3×1=3$，
∵BE为线段长度，取值为正，
∴$BE=\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合了旋转、等腰三角形、相似三角形的核心考点，解题的突破口是借助旋转性质得到相等的边和角，再通过公共角构造相似三角形，利用相似的比例关系求解未知线段，是几何综合题的常见考法。
【难度系数】
0.65
解题第一步先利用旋转的性质：旋转前后图形全等，可得对应边相等、对应角相等，从而推出ED=AC，BC=BE；第二步结合已知∠ABC=∠C，根据等边对等角可得∠BEC=∠C，进而得到∠ABC=∠BEC；第三步观察发现△ABC和△BCE有公共角∠C，可通过两角对应相等证明两三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例列等式，代入已知数值即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴AC=ED=3，BC=BE，
∴∠BEC=∠C，
又
∵∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠BEC，
在△ABC和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠C \\∠ABC=∠BEC\end{array} $
∴△ABC∽△BEC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{EC}{BC}$，即$BC^2=AC· EC$，
∵AC=3，EC=1，且BC=BE，
∴$BE^2=3×1=3$，
∵BE为线段长度，取值为正，
∴$BE=\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合了旋转、等腰三角形、相似三角形的核心考点，解题的突破口是借助旋转性质得到相等的边和角，再通过公共角构造相似三角形，利用相似的比例关系求解未知线段，是几何综合题的常见考法。
【难度系数】
0.65
5. 如图1,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=12$,$BC=9$,$D$是$AB$上一点,且$AD=3$,过点$D$作$DE // BC$交$AC$于点$E$,将$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转到图2的位置,则图2中$\frac{BD}{CE}$的值为
$\dfrac{4}{5}$
.答案
5.$\dfrac{4}{5}$
解析
【分析】
首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AC的长度；接着根据DE//BC判定△ADE∽△ABC，得到AD与AE的比值等于AB与AC的比值；再根据旋转的性质推出∠BAD=∠CAE，结合已得的边的比例关系判定△ABD∽△ACE，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{BD}{CE}$的比值。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=9，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，即 $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$。
由旋转的性质可知：$∠ DAE=∠ BAC$，
∴ $∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即 $∠ BAD=∠ CAE$。
又
∵ $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
∴ $△ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题属于几何综合题型，解题核心是通过平行线和旋转的性质找到相似三角形，将所求线段比转化为已知线段的比值，解题时要注意角的等量转化，理清边的对应关系。
【难度系数】
0.6
首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AC的长度；接着根据DE//BC判定△ADE∽△ABC，得到AD与AE的比值等于AB与AC的比值；再根据旋转的性质推出∠BAD=∠CAE，结合已得的边的比例关系判定△ABD∽△ACE，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{BD}{CE}$的比值。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=9，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，即 $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$。
由旋转的性质可知：$∠ DAE=∠ BAC$，
∴ $∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即 $∠ BAD=∠ CAE$。
又
∵ $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
∴ $△ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题属于几何综合题型，解题核心是通过平行线和旋转的性质找到相似三角形，将所求线段比转化为已知线段的比值，解题时要注意角的等量转化，理清边的对应关系。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在等边三角形ABC中,AB=6,D为BC的中点,E为射线BA上一动点,将射线DE绕点D顺时针旋转$60°$交AC于点F.若AE=3,则AF=
3或5
.答案
6.3或5
解析
【分析】
题目中E是射线BA上的动点，因此需要分E在线段AB上、E在BA的延长线上两种情况讨论。首先利用等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，BD=DC=3，再结合旋转角为60°，通过角的等量代换证明△BED∽△CDF，利用相似三角形对应边成比例求出CF的长度，最后用AC的长度减去CF即可得到AF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°。
∵D为BC的中点，
∴BD=DC=3。
由旋转的性质得∠EDF=60°，
∴∠BDE + ∠CDF = 180° - ∠EDF = 120°。
在△BED中，∠BDE + ∠BED = 180° - ∠B = 120°，
∴∠BED=∠CDF。
又
∵∠B=∠C=60°，
∴△BED∽△CDF，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{CF}$。
分两种情况讨论：
① 当E在线段AB上时，
∵AE=3，
∴BE=AB - AE=6-3=3。
代入比例式得$\frac{3}{3}=\frac{3}{CF}$，解得CF=3，
∴AF=AC - CF=6-3=3。
② 当E在BA的延长线上时，
∵AE=3，
∴BE=AB + AE=6+3=9。
代入比例式得$\frac{9}{3}=\frac{3}{CF}$，解得CF=1，
∴AF=AC - CF=6-1=5。
综上，AF的长为3或5。
【答案】
3或5
【知识点】
等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题解题的关键是注意“射线BA”包含线段AB和其延长线两种情况，避免漏解，同时要熟练掌握等边三角形性质和相似三角形的判定，建立边的比例关系求解。
【难度系数】
0.65
题目中E是射线BA上的动点，因此需要分E在线段AB上、E在BA的延长线上两种情况讨论。首先利用等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，BD=DC=3，再结合旋转角为60°，通过角的等量代换证明△BED∽△CDF，利用相似三角形对应边成比例求出CF的长度，最后用AC的长度减去CF即可得到AF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°。
∵D为BC的中点，
∴BD=DC=3。
由旋转的性质得∠EDF=60°，
∴∠BDE + ∠CDF = 180° - ∠EDF = 120°。
在△BED中，∠BDE + ∠BED = 180° - ∠B = 120°，
∴∠BED=∠CDF。
又
∵∠B=∠C=60°，
∴△BED∽△CDF，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{CF}$。
分两种情况讨论：
① 当E在线段AB上时，
∵AE=3，
∴BE=AB - AE=6-3=3。
代入比例式得$\frac{3}{3}=\frac{3}{CF}$，解得CF=3，
∴AF=AC - CF=6-3=3。
② 当E在BA的延长线上时，
∵AE=3，
∴BE=AB + AE=6+3=9。
代入比例式得$\frac{9}{3}=\frac{3}{CF}$，解得CF=1，
∴AF=AC - CF=6-1=5。
综上，AF的长为3或5。
【答案】
3或5
【知识点】
等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题解题的关键是注意“射线BA”包含线段AB和其延长线两种情况，避免漏解，同时要熟练掌握等边三角形性质和相似三角形的判定，建立边的比例关系求解。
【难度系数】
0.65
7. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G.若AE=3ED,DF=CF,则
的值是 (
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{6}{5}$
D.$\frac{7}{6}$
的值是 (C
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{6}{5}$
D.$\frac{7}{6}$
答案
7.C
解析
【分析】本题是正方形背景下的线段比值求解问题，解题思路如下：首先题目仅给出线段的比例关系，无具体边长，可先设正方形边长为便于计算的特值，简化运算；其次观察到两条线段AF、BE相交，可通过延长BE构造相似三角形，利用正方形对边平行的性质得到两组相似三角形，分别求出对应线段的长度，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出所求比值。
【解析】设正方形ABCD的边长为4，
∵AE=3ED，AD=4，
∴AE=3，ED=1，
∵DF=CF，CD=4，
∴DF=CF=2。
延长BE，交CD的延长线于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△EDM∽△BCM，
∴$\frac{ED}{BC}=\frac{DM}{CM}$。
设$DM=x$，则$CM=DM+CD=x+4$，代入得：
$\frac{1}{4}=\frac{x}{x+4}$，解得$x=\frac{4}{3}$。
∴$MF=DM+DF=\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$。
∵AB//CD，
∴△ABG∽△FMG，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{AB}{MF}=\frac{4}{\frac{10}{3}}=\frac{6}{5}$。
故选C。
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；比例线段
【点评】本题核心是利用正方形对边平行的性质构造相似三角形，通过设特值法简化运算，考查学生对相似三角形性质的灵活应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】0.6
【解析】设正方形ABCD的边长为4，
∵AE=3ED，AD=4，
∴AE=3，ED=1，
∵DF=CF，CD=4，
∴DF=CF=2。
延长BE，交CD的延长线于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△EDM∽△BCM，
∴$\frac{ED}{BC}=\frac{DM}{CM}$。
设$DM=x$，则$CM=DM+CD=x+4$，代入得：
$\frac{1}{4}=\frac{x}{x+4}$，解得$x=\frac{4}{3}$。
∴$MF=DM+DF=\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$。
∵AB//CD，
∴△ABG∽△FMG，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{AB}{MF}=\frac{4}{\frac{10}{3}}=\frac{6}{5}$。
故选C。
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；比例线段
【点评】本题核心是利用正方形对边平行的性质构造相似三角形，通过设特值法简化运算，考查学生对相似三角形性质的灵活应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】0.6
8. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=6$，$AD=9$，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，交$DC$的延长线于点$F$，过点$B$作$AE$的垂线，垂足为$G$，$BG=4\sqrt{2}$，则$△ EFC$的周长为________。
答案
8.8
解析
【分析】
解题可按三步展开：①结合平行四边形对边平行的性质和角平分线定义，判定△ABE为等腰三角形，求出BE、EC的长度，得到△ABE与△FCE的相似比；②利用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出AE的长度，计算出△ABE的周长；③根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出△EFC的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB// DC$，$AB=CD=6$，$AD=BC=9$，
∵AE平分$∠BAD$，
∴$∠BAE=∠DAE$，
∵$AD// BC$，
∴$∠DAE=∠BEA$，
∴$∠BAE=∠BEA$，
∴$BE=AB=6$，
∴$EC=BC-BE=9-6=3$，
∵$AB// CF$，
∴$△ ABE ∽ △ FCE$，相似比$k=BE:EC=6:3=2:1$，
∵$BG⊥AE$，$△ ABE$是等腰三角形，
∴G是AE中点，$AE=2AG$，
在$Rt△ ABG$中，$AB=6$，$BG=4\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{36-32}=2$，
∴$AE=2AG=4$，
∴$△ ABE$的周长为$AB+BE+AE=6+6+4=16$，
∵相似三角形周长比等于相似比，
∴$C_{△ ABE}:C_{△ EFC}=2:1$，
∴$C_{△ EFC}=16÷2=8$。
【答案】
8
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于中等综合性题目，将平行四边形、等腰三角形、相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是先求出等腰△ABE的周长，再利用相似比计算所求三角形的周长。
【难度系数】
0.65
解题可按三步展开：①结合平行四边形对边平行的性质和角平分线定义，判定△ABE为等腰三角形，求出BE、EC的长度，得到△ABE与△FCE的相似比；②利用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出AE的长度，计算出△ABE的周长；③根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出△EFC的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB// DC$，$AB=CD=6$，$AD=BC=9$，
∵AE平分$∠BAD$，
∴$∠BAE=∠DAE$，
∵$AD// BC$，
∴$∠DAE=∠BEA$，
∴$∠BAE=∠BEA$，
∴$BE=AB=6$，
∴$EC=BC-BE=9-6=3$，
∵$AB// CF$，
∴$△ ABE ∽ △ FCE$，相似比$k=BE:EC=6:3=2:1$，
∵$BG⊥AE$，$△ ABE$是等腰三角形，
∴G是AE中点，$AE=2AG$，
在$Rt△ ABG$中，$AB=6$，$BG=4\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{36-32}=2$，
∴$AE=2AG=4$，
∴$△ ABE$的周长为$AB+BE+AE=6+6+4=16$，
∵相似三角形周长比等于相似比，
∴$C_{△ ABE}:C_{△ EFC}=2:1$，
∴$C_{△ EFC}=16÷2=8$。
【答案】
8
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于中等综合性题目，将平行四边形、等腰三角形、相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是先求出等腰△ABE的周长，再利用相似比计算所求三角形的周长。
【难度系数】
0.65
