登录
9. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BC,BD于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧交于点P,作射线BP,过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M,N,则MN的长为
$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
.答案
9.$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
解析
【分析】
首先根据作图步骤判断BP是∠DBC的角平分线，结合CN⊥BP可证△BPM≌△BPC，得到BM=BC=8；再利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长，进而得到DM的长度；接着根据AD//BC推出△NMD∽△CMB，得到相似比；最后通过面积法和勾股定理求出MC的长，结合相似比即可求出MN的长度。
【解析】
1. 由作图可知BP是∠DBC的角平分线，即$∠ MBP=∠ CBP$。
$\because CN⊥ BP$，$\therefore ∠ BPM=∠ BPC=90°$。
在$△ BPM$和$△ BPC$中：
$\begin{cases}∠ MBP=∠ CBP \\BP=BP \\∠ BPM=∠ BPC\end{cases}$
$\therefore △ BPM≌△ BPC(\mathrm{ASA})$，得$BM=BC=8$。
2. $\because$四边形ABCD是矩形，$AB=6$，$BC=8$，
$\therefore CD=AB=6$，$∠ BCD=90°$，$AD// BC$。
由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
$\therefore DM=BD-BM=10-8=2$。
3. $\because AD// BC$，$\therefore ∠ NDM=∠ CBM$，$∠ DNM=∠ BCM$，
$\therefore △ NMD∽△ CMB$，相似比$k=\frac{DM}{BM}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，即$\frac{MN}{MC}=\frac{1}{4}$。
4. 过点C作$CH⊥ BD$于点H，
$△ BCD$的面积$=\frac{1}{2}× BC× CD=\frac{1}{2}× BD× CH$，代入得$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× CH$，解得$CH=\frac{24}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{8^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{32}{5}$，
$\therefore MH=BM-BH=8-\frac{32}{5}=\frac{8}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ MCH$中，$MC=\sqrt{MH^2+CH^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{24}{5})^2}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$。
5. $\therefore MN=\frac{1}{4}× MC=\frac{1}{4}×\frac{8\sqrt{10}}{5}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
角平分线尺规作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题综合了尺规作图、图形性质、全等与相似的应用，需要逐步推导线段关系，对逻辑推理能力有一定要求，解题关键是先根据角平分线加垂线得到等腰三角形，再结合相似求解线段长。
【难度系数】
0.6
首先根据作图步骤判断BP是∠DBC的角平分线，结合CN⊥BP可证△BPM≌△BPC，得到BM=BC=8；再利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长，进而得到DM的长度；接着根据AD//BC推出△NMD∽△CMB，得到相似比；最后通过面积法和勾股定理求出MC的长，结合相似比即可求出MN的长度。
【解析】
1. 由作图可知BP是∠DBC的角平分线，即$∠ MBP=∠ CBP$。
$\because CN⊥ BP$，$\therefore ∠ BPM=∠ BPC=90°$。
在$△ BPM$和$△ BPC$中：
$\begin{cases}∠ MBP=∠ CBP \\BP=BP \\∠ BPM=∠ BPC\end{cases}$
$\therefore △ BPM≌△ BPC(\mathrm{ASA})$，得$BM=BC=8$。
2. $\because$四边形ABCD是矩形，$AB=6$，$BC=8$，
$\therefore CD=AB=6$，$∠ BCD=90°$，$AD// BC$。
由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
$\therefore DM=BD-BM=10-8=2$。
3. $\because AD// BC$，$\therefore ∠ NDM=∠ CBM$，$∠ DNM=∠ BCM$，
$\therefore △ NMD∽△ CMB$，相似比$k=\frac{DM}{BM}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，即$\frac{MN}{MC}=\frac{1}{4}$。
4. 过点C作$CH⊥ BD$于点H，
$△ BCD$的面积$=\frac{1}{2}× BC× CD=\frac{1}{2}× BD× CH$，代入得$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× CH$，解得$CH=\frac{24}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{8^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{32}{5}$，
$\therefore MH=BM-BH=8-\frac{32}{5}=\frac{8}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ MCH$中，$MC=\sqrt{MH^2+CH^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{24}{5})^2}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$。
5. $\therefore MN=\frac{1}{4}× MC=\frac{1}{4}×\frac{8\sqrt{10}}{5}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
角平分线尺规作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题综合了尺规作图、图形性质、全等与相似的应用，需要逐步推导线段关系，对逻辑推理能力有一定要求，解题关键是先根据角平分线加垂线得到等腰三角形，再结合相似求解线段长。
【难度系数】
0.6
10.(2025·青岛)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为CD,AD的中点,连接BF并延长交AE于点G,交CD的延长线于点M,H为BE的中点,连接GH,CH,CG.下列结论:
①$CH// AE$;②$∠ M=30°$;③$S_{△ CGH}=\dfrac{3}{20}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$;
④$AG· MF=CD· AF$.其中正确的是$\underline{\hspace{5em}}$(填序号).
①$CH// AE$;②$∠ M=30°$;③$S_{△ CGH}=\dfrac{3}{20}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$;
④$AG· MF=CD· AF$.其中正确的是$\underline{\hspace{5em}}$(填序号).
答案
10.①④
解析
【分析】
解决本题可先设正方形边长为2简化计算，结合正方形性质确定各点坐标或线段、角度关系，逐一验证4个结论：1. 要证$CH// AE$，可通过证明两者斜率相等或同位角/内错角相等；2. 判断$∠ M$是否为$30°$，可计算$∠ M$的三角函数值验证；3. 求$△ CGH$的面积，可通过坐标法求出三点坐标后计算面积，再和正方形面积对比；4. 验证$AG· MF$与$CD· AF$是否相等，可分别计算四条线段长度再比较乘积。
【解析】
设正方形$ABCD$的边长为2，则$AB=BC=CD=DA=2$，
$\because E$为$CD$中点，$F$为$AD$中点，$\therefore DE=CE=1$，$AF=FD=1$。
建立平面直角坐标系：令$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$，则$E(1,2)$，$F(0,1)$。
①验证$CH// AE$：
$BE$端点为$B(2,0)$、$E(1,2)$，$H$为$BE$中点，$\therefore H$坐标为$(\frac{2+1}{2},\frac{0+2}{2})$即$(1.5,1)$。
直线$AE$的斜率$k_{AE}=\frac{2-0}{1-0}=2$，直线$CH$的斜率$k_{CH}=\frac{1-2}{1.5-2}=2$，$k_{AE}=k_{CH}$，$\therefore CH// AE$，①正确。
②验证$∠ M=30°$：
直线$BF$过$B(2,0)$、$F(0,1)$，解析式为$y=-\frac{1}{2}x+1$。
$M$为$BF$与$CD$延长线交点，$CD$所在直线为$y=2$，代入$BF$解析式得$2=-\frac{1}{2}x+1$，解得$x=-2$，$\therefore M(-2,2)$。
在$Rt△ MDF$中，$MD=2$，$DF=1$，$\tan∠ M=\frac{DF}{MD}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore ∠ M≠30°$，②错误。
③验证$S_{△ CGH}=\frac{3}{20}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$：
联立$AE$和$BF$解析式：$AE$解析式为$y=2x$，$BF$解析式为$y=-\frac{1}{2}x+1$，解得交点$G$坐标为$(\frac{2}{5},\frac{4}{5})$即$(0.4,0.8)$。
用坐标法求$△ CGH$面积：$C(2,2)$、$G(0.4,0.8)$、$H(1.5,1)$，
$S_{△ CGH}=\frac{1}{2}\left|2×(0.8-1)+0.4×(1-2)+1.5×(2-0.8)\right|=\frac{1}{2}×1=0.5$。
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=2×2=4$，$\frac{0.5}{4}=\frac{1}{8}≠\frac{3}{20}$，③错误。
④验证$AG· MF=CD· AF$：
$AG=\sqrt{(0.4-0)^2+(0.8-0)^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$MF=\sqrt{(0+2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}$，$\therefore AG· MF=\frac{2\sqrt{5}}{5}×\sqrt{5}=2$。
$CD=2$，$AF=1$，$\therefore CD· AF=2×1=2$，$\therefore AG· MF=CD· AF$，④正确。
综上，正确结论为①④。
【答案】
①④
【知识点】
正方形的性质、一次函数的应用、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是正方形几何综合题，需要结合几何性质和代数计算逐一验证结论，既考查基础几何性质的掌握程度，也对综合运算和逻辑推理能力有一定要求，是常见的几何压轴题型。
【难度系数】
0.4
解决本题可先设正方形边长为2简化计算，结合正方形性质确定各点坐标或线段、角度关系，逐一验证4个结论：1. 要证$CH// AE$，可通过证明两者斜率相等或同位角/内错角相等；2. 判断$∠ M$是否为$30°$，可计算$∠ M$的三角函数值验证；3. 求$△ CGH$的面积，可通过坐标法求出三点坐标后计算面积，再和正方形面积对比；4. 验证$AG· MF$与$CD· AF$是否相等，可分别计算四条线段长度再比较乘积。
【解析】
设正方形$ABCD$的边长为2，则$AB=BC=CD=DA=2$，
$\because E$为$CD$中点，$F$为$AD$中点，$\therefore DE=CE=1$，$AF=FD=1$。
建立平面直角坐标系：令$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$，则$E(1,2)$，$F(0,1)$。
①验证$CH// AE$：
$BE$端点为$B(2,0)$、$E(1,2)$，$H$为$BE$中点，$\therefore H$坐标为$(\frac{2+1}{2},\frac{0+2}{2})$即$(1.5,1)$。
直线$AE$的斜率$k_{AE}=\frac{2-0}{1-0}=2$，直线$CH$的斜率$k_{CH}=\frac{1-2}{1.5-2}=2$，$k_{AE}=k_{CH}$，$\therefore CH// AE$，①正确。
②验证$∠ M=30°$：
直线$BF$过$B(2,0)$、$F(0,1)$，解析式为$y=-\frac{1}{2}x+1$。
$M$为$BF$与$CD$延长线交点，$CD$所在直线为$y=2$，代入$BF$解析式得$2=-\frac{1}{2}x+1$，解得$x=-2$，$\therefore M(-2,2)$。
在$Rt△ MDF$中，$MD=2$，$DF=1$，$\tan∠ M=\frac{DF}{MD}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore ∠ M≠30°$，②错误。
③验证$S_{△ CGH}=\frac{3}{20}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$：
联立$AE$和$BF$解析式：$AE$解析式为$y=2x$，$BF$解析式为$y=-\frac{1}{2}x+1$，解得交点$G$坐标为$(\frac{2}{5},\frac{4}{5})$即$(0.4,0.8)$。
用坐标法求$△ CGH$面积：$C(2,2)$、$G(0.4,0.8)$、$H(1.5,1)$，
$S_{△ CGH}=\frac{1}{2}\left|2×(0.8-1)+0.4×(1-2)+1.5×(2-0.8)\right|=\frac{1}{2}×1=0.5$。
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=2×2=4$，$\frac{0.5}{4}=\frac{1}{8}≠\frac{3}{20}$，③错误。
④验证$AG· MF=CD· AF$：
$AG=\sqrt{(0.4-0)^2+(0.8-0)^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$MF=\sqrt{(0+2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}$，$\therefore AG· MF=\frac{2\sqrt{5}}{5}×\sqrt{5}=2$。
$CD=2$，$AF=1$，$\therefore CD· AF=2×1=2$，$\therefore AG· MF=CD· AF$，④正确。
综上，正确结论为①④。
【答案】
①④
【知识点】
正方形的性质、一次函数的应用、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是正方形几何综合题，需要结合几何性质和代数计算逐一验证结论，既考查基础几何性质的掌握程度，也对综合运算和逻辑推理能力有一定要求，是常见的几何压轴题型。
【难度系数】
0.4
11.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC，BE，它们相交于点F，且$∠ ACB=∠ ABE$。
(1)求证：$AE^2=EF· BE$。
(2)若$AE=2$，$EF=1$，求BC的长。
(1)求证：$AE^2=EF· BE$。
(2)若$AE=2$，$EF=1$，求BC的长。
答案
11.解:(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC.
∴∠EAF=∠ACB=∠ABE. 又
∵∠AEF=∠BEA,
∴△EAF∽△EBA.
∴$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{EF}{AE}$.
∴$AE^2=EF· BE$. (2)由(1),得$AE^2=EF· BE$.
∴$BE=\dfrac{AE^2}{EF}=4$.
∴$BF=BE-EF=4-1=3$.
∵∠EAF=∠BCF,∠AFE=∠CFB,
∴△AEF∽△CBF.
∴$\dfrac{AE}{BC}=\dfrac{EF}{BF}$.
∴$BC=\dfrac{AE· BF}{EF}=\dfrac{2×3}{1}=6$.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC.
∴∠EAF=∠ACB=∠ABE. 又
∵∠AEF=∠BEA,
∴△EAF∽△EBA.
∴$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{EF}{AE}$.
∴$AE^2=EF· BE$. (2)由(1),得$AE^2=EF· BE$.
∴$BE=\dfrac{AE^2}{EF}=4$.
∴$BF=BE-EF=4-1=3$.
∵∠EAF=∠BCF,∠AFE=∠CFB,
∴△AEF∽△CBF.
∴$\dfrac{AE}{BC}=\dfrac{EF}{BF}$.
∴$BC=\dfrac{AE· BF}{EF}=\dfrac{2×3}{1}=6$.
解析
【分析】
(1)要证明$AE^2=EF· BE$，可先将乘积式转化为比例式$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{AE}$，只需证明包含这四条边的$△ EAF$和$△ EBA$相似即可。首先利用平行四边形对边平行的性质得到$∠ EAF=∠ ACB$，结合已知$∠ ACB=∠ ABE$，可推出$∠ EAF=∠ ABE$，再加上公共角$∠ AEF=∠ BEA$，即可证明两三角形相似，进而得到对应比例式，整理后得证。
(2)先利用(1)的结论代入已知$AE$、$EF$的长度求出$BE$的长，再计算出$BF$的长度；然后根据平行四边形对边平行的性质，可证明$△ AEF ∽ △ CBF$，利用相似三角形对应边成比例即可求出$BC$的长度。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ EAF=∠ ACB$，
又
∵$∠ ACB=∠ ABE$，
∴$∠ EAF=∠ ABE$，
∵$∠ AEF=∠ BEA$（公共角），
∴$△ EAF ∽ △ EBA$，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{AE}$，
交叉相乘得$AE^2=EF· BE$。
(2)解：
由(1)的结论$AE^2=EF· BE$，已知$AE=2$，$EF=1$，
代入得$BE=\frac{AE^2}{EF}=\frac{2^2}{1}=4$，
∴$BF=BE-EF=4-1=3$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ EAF=∠ BCF$，$∠ AEF=∠ CBF$，
又
∵$∠ AFE=∠ CFB$（对顶角相等），
∴$△ AEF ∽ △ CBF$，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{EF}{BF}$，
代入数值得$BC=\frac{AE· BF}{EF}=\frac{2×3}{1}=6$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$BC=6$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题的核心是熟练掌握相似三角形的判定方法，遇到线段乘积式的证明时，优先将其转化为比例式，再寻找对应相似三角形求解；第二问可直接沿用第一问的结论，结合平行线得到新的相似三角形即可求出边长，解题时注意公共角、对顶角、平行线所得等角的运用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$AE^2=EF· BE$，可先将乘积式转化为比例式$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{AE}$，只需证明包含这四条边的$△ EAF$和$△ EBA$相似即可。首先利用平行四边形对边平行的性质得到$∠ EAF=∠ ACB$，结合已知$∠ ACB=∠ ABE$，可推出$∠ EAF=∠ ABE$，再加上公共角$∠ AEF=∠ BEA$，即可证明两三角形相似，进而得到对应比例式，整理后得证。
(2)先利用(1)的结论代入已知$AE$、$EF$的长度求出$BE$的长，再计算出$BF$的长度；然后根据平行四边形对边平行的性质，可证明$△ AEF ∽ △ CBF$，利用相似三角形对应边成比例即可求出$BC$的长度。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ EAF=∠ ACB$，
又
∵$∠ ACB=∠ ABE$，
∴$∠ EAF=∠ ABE$，
∵$∠ AEF=∠ BEA$（公共角），
∴$△ EAF ∽ △ EBA$，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{AE}$，
交叉相乘得$AE^2=EF· BE$。
(2)解：
由(1)的结论$AE^2=EF· BE$，已知$AE=2$，$EF=1$，
代入得$BE=\frac{AE^2}{EF}=\frac{2^2}{1}=4$，
∴$BF=BE-EF=4-1=3$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ EAF=∠ BCF$，$∠ AEF=∠ CBF$，
又
∵$∠ AFE=∠ CFB$（对顶角相等），
∴$△ AEF ∽ △ CBF$，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{EF}{BF}$，
代入数值得$BC=\frac{AE· BF}{EF}=\frac{2×3}{1}=6$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$BC=6$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题的核心是熟练掌握相似三角形的判定方法，遇到线段乘积式的证明时，优先将其转化为比例式，再寻找对应相似三角形求解；第二问可直接沿用第一问的结论，结合平行线得到新的相似三角形即可求出边长，解题时注意公共角、对顶角、平行线所得等角的运用。
【难度系数】
0.7
12. 🔥 NEW 新考向·跨学科融合 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度. 如图2，主光轴$l$垂直于凸透镜$MN$，且经过凸透镜光心$O$，将长度为8 cm的发光物箭头$AB$进行移动，使物距$OC$为32 cm，光线$AO$，$BO$的传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像$A'B'$，此时测得像距$OD$为12.8 cm.
(1)求像$A'B'$的长度.
(2)已知光线$AP$平行于主光轴$l$，经过凸透镜$MN$折射后通过焦点$F$，求凸透镜的焦距$OF$的长.
(1)求像$A'B'$的长度.
(2)已知光线$AP$平行于主光轴$l$，经过凸透镜$MN$折射后通过焦点$F$，求凸透镜的焦距$OF$的长.
答案
12.解:(1)根据题意,得$AB// MN// A'B'$,$OC=32$ cm,$OD=12.8$ cm,$AB=8$ cm.
∵$AB// A'B'$,
∴$∠BAO=∠B'A'O$,$∠ABO=∠A'B'O$.
∴$△OAB∽△OA'B'$.
∴$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{OC}{OD}$.
∴$\dfrac{8}{A'B'}=\dfrac{32}{12.8}$.
∴$A'B'=3.2$ cm. 答:像$A'B'$的长度为3.2 cm. (2)过点$A'$作$A'E// OD$交$MN$于点$E$.
∴$A'E// OD$.
∴四边形$A'EOD$为平行四边形.
∴$A'E=OD=12.8$ cm,$OE=A'D$. 同理可得,四边形$ACOP$为平行四边形.
∴$AP=OC=32$ cm.
∵$AP// CD$,$A'E// OD$,
∴$AP// A'E$.
∴$∠PAO=∠EA'O$,$∠APO=∠A'EO$.
∴$△APO∽△A'EO$.
∴$\dfrac{PO}{OE}=\dfrac{AP}{A'E}=\dfrac{32}{12.8}=\dfrac{5}{2}$.
∴$\dfrac{PO}{A'D}=\dfrac{5}{2}$.
∵$MN// A'B'$,
∴$∠FPO=∠FA'D$.
∴$△POF∽△A'DF$.
∴$\dfrac{PO}{A'D}=\dfrac{OF}{DF}=\dfrac{5}{2}$.
∴$OF=\dfrac{5}{7}OD=\dfrac{5}{7}×12.8=\dfrac{64}{7}$(cm). 答:凸透镜的焦距$OF$的长为$\dfrac{64}{7}$ cm.
∵$AB// A'B'$,
∴$∠BAO=∠B'A'O$,$∠ABO=∠A'B'O$.
∴$△OAB∽△OA'B'$.
∴$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{OC}{OD}$.
∴$\dfrac{8}{A'B'}=\dfrac{32}{12.8}$.
∴$A'B'=3.2$ cm. 答:像$A'B'$的长度为3.2 cm. (2)过点$A'$作$A'E// OD$交$MN$于点$E$.
∴$A'E// OD$.
∴四边形$A'EOD$为平行四边形.
∴$A'E=OD=12.8$ cm,$OE=A'D$. 同理可得,四边形$ACOP$为平行四边形.
∴$AP=OC=32$ cm.
∵$AP// CD$,$A'E// OD$,
∴$AP// A'E$.
∴$∠PAO=∠EA'O$,$∠APO=∠A'EO$.
∴$△APO∽△A'EO$.
∴$\dfrac{PO}{OE}=\dfrac{AP}{A'E}=\dfrac{32}{12.8}=\dfrac{5}{2}$.
∴$\dfrac{PO}{A'D}=\dfrac{5}{2}$.
∵$MN// A'B'$,
∴$∠FPO=∠FA'D$.
∴$△POF∽△A'DF$.
∴$\dfrac{PO}{A'D}=\dfrac{OF}{DF}=\dfrac{5}{2}$.
∴$OF=\dfrac{5}{7}OD=\dfrac{5}{7}×12.8=\dfrac{64}{7}$(cm). 答:凸透镜的焦距$OF$的长为$\dfrac{64}{7}$ cm.
解析
【分析】
本题是跨学科融合题型，结合凸透镜成像特点与几何相似知识求解线段长度：
(1) 求像$A'B'$的长度时，先根据发光物和像均垂直于主光轴，得到$AB// A'B'$，进而证明$△ OAB$与$△ OA'B'$相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的物长、物距、像距即可计算出像长。
(2) 求焦距$OF$时，先作辅助线$A'E// OD$构造平行四边形，结合平行四边形对边相等的性质得到对应线段的长度，再依次证明$△ APO∽△ A'EO$、$△ POF∽△ A'DF$，通过两次相似的比例关系，将$OF$与已知的像距$OD$建立联系，代入数值即可求出焦距。
【解析】
(1) 由题意得$AB⊥ l$，$A'B'⊥ l$，因此$AB// A'B'$，
$\therefore ∠ BAO=∠ B'A'O$，$∠ ABO=∠ A'B'O$，
$\therefore △ OAB∽△ OA'B'$，
$\therefore \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{OC}{OD}$。
将$AB=8\ \mathrm{cm}$，$OC=32\ \mathrm{cm}$，$OD=12.8\ \mathrm{cm}$代入得：
$\dfrac{8}{A'B'}=\dfrac{32}{12.8}$，
解得$A'B'=3.2\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点$A'$作$A'E// OD$交$MN$于点$E$，
$\because A'E// OD$，$OE// A'D$，
$\therefore$四边形$A'EOD$为平行四边形，
$\therefore A'E=OD=12.8\ \mathrm{cm}$，$OE=A'D$。
同理，$AP// OC$，$AC// OP$，四边形$ACOP$为平行四边形，
$\therefore AP=OC=32\ \mathrm{cm}$。
$\because AP// CD$，$A'E// OD$，
$\therefore AP// A'E$，
$\therefore ∠ PAO=∠ EA'O$，$∠ APO=∠ A'EO$，
$\therefore △ APO∽△ A'EO$，
$\therefore \dfrac{PO}{OE}=\dfrac{AP}{A'E}=\dfrac{32}{12.8}=\dfrac{5}{2}$，即$\dfrac{PO}{A'D}=\dfrac{5}{2}$。
$\because MN// A'B'$，
$\therefore ∠ FPO=∠ FA'D$，$∠ POF=∠ A'DF=90°$，
$\therefore △ POF∽△ A'DF$，
$\therefore \dfrac{PO}{A'D}=\dfrac{OF}{DF}=\dfrac{5}{2}$。
设$OF=5x$，则$DF=2x$，
$\because OF+DF=OD=12.8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 5x+2x=12.8$，解得$x=\dfrac{12.8}{7}$，
$\therefore OF=5x=\dfrac{5×12.8}{7}=\dfrac{64}{7}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 像$A'B'$的长度为$\boldsymbol{3.2\ \mathrm{cm}}$；
(2) 凸透镜的焦距$OF$的长为$\boldsymbol{\dfrac{64}{7}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于跨学科融合题型，将物理中凸透镜的光学性质与数学几何知识结合考查，解题时需先结合物理现象提取平行、垂直的几何特征，再灵活运用相似、平行四边形的性质求解线段，有利于提升跨学科知识综合应用的能力。
【难度系数】
0.6
本题是跨学科融合题型，结合凸透镜成像特点与几何相似知识求解线段长度：
(1) 求像$A'B'$的长度时，先根据发光物和像均垂直于主光轴，得到$AB// A'B'$，进而证明$△ OAB$与$△ OA'B'$相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的物长、物距、像距即可计算出像长。
(2) 求焦距$OF$时，先作辅助线$A'E// OD$构造平行四边形，结合平行四边形对边相等的性质得到对应线段的长度，再依次证明$△ APO∽△ A'EO$、$△ POF∽△ A'DF$，通过两次相似的比例关系，将$OF$与已知的像距$OD$建立联系，代入数值即可求出焦距。
【解析】
(1) 由题意得$AB⊥ l$，$A'B'⊥ l$，因此$AB// A'B'$，
$\therefore ∠ BAO=∠ B'A'O$，$∠ ABO=∠ A'B'O$，
$\therefore △ OAB∽△ OA'B'$，
$\therefore \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{OC}{OD}$。
将$AB=8\ \mathrm{cm}$，$OC=32\ \mathrm{cm}$，$OD=12.8\ \mathrm{cm}$代入得：
$\dfrac{8}{A'B'}=\dfrac{32}{12.8}$，
解得$A'B'=3.2\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点$A'$作$A'E// OD$交$MN$于点$E$，
$\because A'E// OD$，$OE// A'D$，
$\therefore$四边形$A'EOD$为平行四边形，
$\therefore A'E=OD=12.8\ \mathrm{cm}$，$OE=A'D$。
同理，$AP// OC$，$AC// OP$，四边形$ACOP$为平行四边形，
$\therefore AP=OC=32\ \mathrm{cm}$。
$\because AP// CD$，$A'E// OD$，
$\therefore AP// A'E$，
$\therefore ∠ PAO=∠ EA'O$，$∠ APO=∠ A'EO$，
$\therefore △ APO∽△ A'EO$，
$\therefore \dfrac{PO}{OE}=\dfrac{AP}{A'E}=\dfrac{32}{12.8}=\dfrac{5}{2}$，即$\dfrac{PO}{A'D}=\dfrac{5}{2}$。
$\because MN// A'B'$，
$\therefore ∠ FPO=∠ FA'D$，$∠ POF=∠ A'DF=90°$，
$\therefore △ POF∽△ A'DF$，
$\therefore \dfrac{PO}{A'D}=\dfrac{OF}{DF}=\dfrac{5}{2}$。
设$OF=5x$，则$DF=2x$，
$\because OF+DF=OD=12.8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 5x+2x=12.8$，解得$x=\dfrac{12.8}{7}$，
$\therefore OF=5x=\dfrac{5×12.8}{7}=\dfrac{64}{7}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 像$A'B'$的长度为$\boldsymbol{3.2\ \mathrm{cm}}$；
(2) 凸透镜的焦距$OF$的长为$\boldsymbol{\dfrac{64}{7}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于跨学科融合题型，将物理中凸透镜的光学性质与数学几何知识结合考查，解题时需先结合物理现象提取平行、垂直的几何特征，再灵活运用相似、平行四边形的性质求解线段，有利于提升跨学科知识综合应用的能力。
【难度系数】
0.6
