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1. 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是（
A.$x^2 - x = x^2 + 5$
B.$ax^2 + bx + c = 0$
C.$(x - 3)(x - 2) = 2$
D.$3x^2 - 2xy - 3y^2 = 0$
C
）A.$x^2 - x = x^2 + 5$
B.$ax^2 + bx + c = 0$
C.$(x - 3)(x - 2) = 2$
D.$3x^2 - 2xy - 3y^2 = 0$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣三个核心判定条件：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时先明确判定标准，再逐一分析每个选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需满足三个条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。对各选项逐一判断：
选项A：对等式化简，移项得$x^2 - x - x^2 - 5 = 0$，整理为$-x -5 = 0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求。
选项B：$ax^2 + bx + c =0$未说明$a≠0$，若$a=0$，方程最高次数不是2，不符合一元二次方程要求。
选项C：先展开左边得$x^2 -5x +6 =2$，移项整理为$x^2 -5x +4 =0$，满足只含未知数$x$、最高次数为2、是整式方程的要求，属于一元二次方程。
选项D：方程中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元二次方程，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程判定、整式方程化简
【点评】
本题考查对一元二次方程定义的掌握，解题时要注意先将方程化简为最简形式再判断，同时不要忽略二次项系数不为0的隐含条件，避免误选B选项。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣三个核心判定条件：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时先明确判定标准，再逐一分析每个选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需满足三个条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。对各选项逐一判断：
选项A：对等式化简，移项得$x^2 - x - x^2 - 5 = 0$，整理为$-x -5 = 0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求。
选项B：$ax^2 + bx + c =0$未说明$a≠0$，若$a=0$，方程最高次数不是2，不符合一元二次方程要求。
选项C：先展开左边得$x^2 -5x +6 =2$，移项整理为$x^2 -5x +4 =0$，满足只含未知数$x$、最高次数为2、是整式方程的要求，属于一元二次方程。
选项D：方程中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元二次方程，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程判定、整式方程化简
【点评】
本题考查对一元二次方程定义的掌握，解题时要注意先将方程化简为最简形式再判断，同时不要忽略二次项系数不为0的隐含条件，避免误选B选项。
【难度系数】
0.8
2.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（
A.对角线互相平分
B.对边平行且相等
C.对角线相等
D.对角相等
C
）A.对角线互相平分
B.对边平行且相等
C.对角线相等
D.对角相等
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先要明确矩形和菱形都是特殊的平行四边形，先梳理二者的共性和各自独有的特性，再逐个分析选项，判断哪个性质是矩形具备但菱形不普遍具备的。首先回忆：平行四边形的通性是对角线互相平分、对边平行且相等、对角相等，矩形独有的性质有对角线相等、四个角都是直角；菱形独有的性质有四条边相等、对角线互相垂直且平分每组对角，接下来逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 对角线互相平分：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形都具有对角线互相平分的性质，因此矩形和菱形都有该性质，不符合题意；
B. 对边平行且相等：这也是平行四边形的通性，矩形和菱形都满足，不符合题意；
C. 对角线相等：矩形的对角线一定相等，而普通菱形的对角线仅互相垂直，不相等，只有当菱形是特殊的正方形时对角线才相等，因此该性质是矩形具有而菱形不一定具有的，符合题意；
D. 对角相等：属于平行四边形的通性，矩形和菱形都具备，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；菱形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的核心是准确区分特殊平行四边形的共性和特性，记忆相关性质时可以对比二者的差异点，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确矩形和菱形都是特殊的平行四边形，先梳理二者的共性和各自独有的特性，再逐个分析选项，判断哪个性质是矩形具备但菱形不普遍具备的。首先回忆：平行四边形的通性是对角线互相平分、对边平行且相等、对角相等，矩形独有的性质有对角线相等、四个角都是直角；菱形独有的性质有四条边相等、对角线互相垂直且平分每组对角，接下来逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 对角线互相平分：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形都具有对角线互相平分的性质，因此矩形和菱形都有该性质，不符合题意；
B. 对边平行且相等：这也是平行四边形的通性，矩形和菱形都满足，不符合题意；
C. 对角线相等：矩形的对角线一定相等，而普通菱形的对角线仅互相垂直，不相等，只有当菱形是特殊的正方形时对角线才相等，因此该性质是矩形具有而菱形不一定具有的，符合题意；
D. 对角相等：属于平行四边形的通性，矩形和菱形都具备，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；菱形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的核心是准确区分特殊平行四边形的共性和特性，记忆相关性质时可以对比二者的差异点，避免混淆。
【难度系数】
0.8
3. 用配方法解方程$x^2 +6x +2=0$时，配方结果正确的是（
A.$(x+3)^2=7$
B.$(x+3)^2=11$
C.$(x-3)^2=7$
D.$(x-3)^2=11$
A
）A.$(x+3)^2=7$
B.$(x+3)^2=11$
C.$(x-3)^2=7$
D.$(x-3)^2=11$
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再根据完全平方公式的结构，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，计算右侧结果后即可得到配方后的方程，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 +6x +2=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 +6x = -2$
第二步，配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为6，一半是3，平方为$3^2=9$：
$x^2 +6x +9 = -2 +9$
第三步，将左侧整理为完全平方式，计算右侧结果：
$(x+3)^2=7$
因此配方结果正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意完全平方式中的符号与一次项系数符号保持一致，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.85
本题考查用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再根据完全平方公式的结构，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，计算右侧结果后即可得到配方后的方程，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 +6x +2=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 +6x = -2$
第二步，配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为6，一半是3，平方为$3^2=9$：
$x^2 +6x +9 = -2 +9$
第三步，将左侧整理为完全平方式，计算右侧结果：
$(x+3)^2=7$
因此配方结果正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意完全平方式中的符号与一次项系数符号保持一致，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.85
4. 已知$2x=3y$,则下列比例式成立的是（
A.$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$
B.$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$
C.$\frac{x+y}{y}=\frac{4}{3}$
D.$\frac{x+y}{x}=\frac{3}{5}$
B
）A.$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$
B.$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$
C.$\frac{x+y}{y}=\frac{4}{3}$
D.$\frac{x+y}{x}=\frac{3}{5}$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查比例式的判断，解题核心是利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）。我们可以有两种解题思路：一是将已知的等积式$2x=3y$转化为比例式，和选项对比；二是将每个选项的比例式交叉相乘还原为等积式，和已知$2x=3y$比对是否一致，第二种逐个验证的方法更不容易出错。
【解析】
根据比例的基本性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$ad=bc$，我们逐个验证选项：
选项A：对$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$交叉相乘得$xy=6$，与已知$2x=3y$不相符，故A错误；
选项B：对$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$交叉相乘得$2x=3y$，与已知条件完全一致，故B正确；
选项C：对$\frac{x+y}{y}=\frac{4}{3}$交叉相乘得$3(x+y)=4y$，化简得$3x=y$，与已知$2x=3y$不相符，故C错误；
选项D：对$\frac{x+y}{x}=\frac{3}{5}$交叉相乘得$5(x+y)=3x$，化简得$2x=-5y$，与已知$2x=3y$不相符，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.比例的基本性质
2.比例式与等积式的互化
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，熟练掌握比例的基本性质，通过交叉相乘验证的方法可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8
本题考查比例式的判断，解题核心是利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）。我们可以有两种解题思路：一是将已知的等积式$2x=3y$转化为比例式，和选项对比；二是将每个选项的比例式交叉相乘还原为等积式，和已知$2x=3y$比对是否一致，第二种逐个验证的方法更不容易出错。
【解析】
根据比例的基本性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$ad=bc$，我们逐个验证选项：
选项A：对$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$交叉相乘得$xy=6$，与已知$2x=3y$不相符，故A错误；
选项B：对$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$交叉相乘得$2x=3y$，与已知条件完全一致，故B正确；
选项C：对$\frac{x+y}{y}=\frac{4}{3}$交叉相乘得$3(x+y)=4y$，化简得$3x=y$，与已知$2x=3y$不相符，故C错误；
选项D：对$\frac{x+y}{x}=\frac{3}{5}$交叉相乘得$5(x+y)=3x$，化简得$2x=-5y$，与已知$2x=3y$不相符，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.比例的基本性质
2.比例式与等积式的互化
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，熟练掌握比例的基本性质，通过交叉相乘验证的方法可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8
5.若关于$x$的一元二次方程$kx^2 -2x -1=0$没有实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k＞-1$
B.$k＞-1$且$k≠0$
C.$k＞1$
D.$k＜-1$
D
）A.$k＞-1$
B.$k＞-1$且$k≠0$
C.$k＞1$
D.$k＜-1$
答案
5.D
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心条件：①题目说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$k≠0$；②方程没有实数根，说明一元二次方程根的判别式$\Delta＜0$。我们先代入系数计算判别式，再列不等式求解，最后结合两个条件确定k的取值范围即可。
【解析】
∵ 方程$kx^2 -2x -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=k$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k× (-1) = 4 + 4k$
∵ 方程没有实数根
∴ $\Delta ＜ 0$，即$4 + 4k ＜ 0$
解不等式：$4k ＜ -4$，得$k ＜ -1$
此时$k ＜ -1$已经满足$k≠0$的条件，因此k的取值范围是$k ＜ -1$。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.根的判别式的应用
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，需注意审题明确方程类型，计算判别式时要注意各项系数的符号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确两个核心条件：①题目说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$k≠0$；②方程没有实数根，说明一元二次方程根的判别式$\Delta＜0$。我们先代入系数计算判别式，再列不等式求解，最后结合两个条件确定k的取值范围即可。
【解析】
∵ 方程$kx^2 -2x -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=k$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k× (-1) = 4 + 4k$
∵ 方程没有实数根
∴ $\Delta ＜ 0$，即$4 + 4k ＜ 0$
解不等式：$4k ＜ -4$，得$k ＜ -1$
此时$k ＜ -1$已经满足$k≠0$的条件，因此k的取值范围是$k ＜ -1$。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.根的判别式的应用
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，需注意审题明确方程类型，计算判别式时要注意各项系数的符号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
6.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC=（
A.5
B.4
C.3.5
D.3
B
）A.5
B.4
C.3.5
D.3
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先结合图形回忆矩形的相关性质：矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分。首先在Rt△ABD中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出对角线BD的长度，再根据矩形对角线相等得到AC的长度，最后根据对角线互相平分的性质即可求出OC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=90°，AC=BD，OC=$\frac{1}{2}$AC（矩形四个角为直角，对角线相等且互相平分）
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，AB是∠ADB对应的直角边
∴BD=2AB=2×4=8
∴AC=BD=8
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是对矩形性质和特殊直角三角形性质的灵活运用，只要熟记相关性质，找准边角对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合图形回忆矩形的相关性质：矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分。首先在Rt△ABD中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出对角线BD的长度，再根据矩形对角线相等得到AC的长度，最后根据对角线互相平分的性质即可求出OC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=90°，AC=BD，OC=$\frac{1}{2}$AC（矩形四个角为直角，对角线相等且互相平分）
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，AB是∠ADB对应的直角边
∴BD=2AB=2×4=8
∴AC=BD=8
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是对矩形性质和特殊直角三角形性质的灵活运用，只要熟记相关性质，找准边角对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.8
7.如图，已知$△ ABC ∽ △ ADB$，D是AC的中点，AC=4，则AB的长为（
A.2
B.4
C.$2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
C
）A.2
B.4
C.$2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
答案
7.C
解析
【分析】
首先根据已知的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，找到关于AB的比例关系；再结合D是AC中点的条件，求出AD的长度，代入比例式即可计算出AB的长。解题时要注意先找准相似三角形的对应边，避免对应关系出错。
【解析】
解：
∵D是AC的中点，AC=4，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
∵$△ ABC ∽ △ ADB$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，即$AB^2=AC·AD$。
将AC=4，AD=2代入得：
$AB^2=4×2=8$，
∵AB为三角形边长，为正数，
∴$AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是准确匹配相似三角形的对应边，结合已知线段长度列比例式求解，掌握相似三角形的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，找到关于AB的比例关系；再结合D是AC中点的条件，求出AD的长度，代入比例式即可计算出AB的长。解题时要注意先找准相似三角形的对应边，避免对应关系出错。
【解析】
解：
∵D是AC的中点，AC=4，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
∵$△ ABC ∽ △ ADB$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，即$AB^2=AC·AD$。
将AC=4，AD=2代入得：
$AB^2=4×2=8$，
∵AB为三角形边长，为正数，
∴$AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是准确匹配相似三角形的对应边，结合已知线段长度列比例式求解，掌握相似三角形的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.若$S_{菱形ABCD}=24$,$BD=6$,则菱形ABCD的周长是（
A.5
B.10
C.20
D.40
C
）A.5
B.10
C.20
D.40
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确求菱形周长需要先求出菱形的边长（菱形四条边长度相等）。第一步，利用菱形面积等于对角线乘积一半的公式，结合已知的面积和BD的长度，求出另一条对角线AC的长度；第二步，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得到两条对角线一半的长度，它们与菱形的边刚好构成直角三角形；第三步，用勾股定理计算出菱形的边长，最后乘4得到周长即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ 菱形面积公式为$ S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD $，且对角线互相垂直平分，即$ AC⊥ BD $，$ AO=\frac{1}{2}AC $，$ BO=\frac{1}{2}BD $
已知$ S_{菱形ABCD}=24 $，$ BD=6 $，代入面积公式：
$ 24=\frac{1}{2}× AC×6 $
解得$ AC=8 $
∴ $ AO=\frac{1}{2}×8=4 $，$ BO=\frac{1}{2}×6=3 $
在$ Rt△ AOB $中，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5 $
∴ 菱形ABCD的周长为$ 4× AB=4×5=20 $
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握菱形的相关性质，结合勾股定理求解边长，需要牢记菱形面积的两种计算方法，根据题目给出的条件灵活选用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确求菱形周长需要先求出菱形的边长（菱形四条边长度相等）。第一步，利用菱形面积等于对角线乘积一半的公式，结合已知的面积和BD的长度，求出另一条对角线AC的长度；第二步，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得到两条对角线一半的长度，它们与菱形的边刚好构成直角三角形；第三步，用勾股定理计算出菱形的边长，最后乘4得到周长即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ 菱形面积公式为$ S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD $，且对角线互相垂直平分，即$ AC⊥ BD $，$ AO=\frac{1}{2}AC $，$ BO=\frac{1}{2}BD $
已知$ S_{菱形ABCD}=24 $，$ BD=6 $，代入面积公式：
$ 24=\frac{1}{2}× AC×6 $
解得$ AC=8 $
∴ $ AO=\frac{1}{2}×8=4 $，$ BO=\frac{1}{2}×6=3 $
在$ Rt△ AOB $中，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5 $
∴ 菱形ABCD的周长为$ 4× AB=4×5=20 $
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握菱形的相关性质，结合勾股定理求解边长，需要牢记菱形面积的两种计算方法，根据题目给出的条件灵活选用。
【难度系数】
0.8
9. 某工程队计划将一块长 64 m,宽 40 m 的矩形场地建设成绿化广场.如图,广场内部修建三条宽相等的小路,其余区域进行绿化.若使绿化区域的面积为广场总面积的 80%,求小路的宽.设小路的宽为 x m,则可列方程为 (
A.$(64-2x)(40-x)=64×40×80\%$
B.$(40-2x)(64-x)=64×40×80\%$
C.$64x+2×40x-2x^2=64×40×80\%$
D.$64x+2×40x=64×40×(1-80\%)$
A
)A.$(64-2x)(40-x)=64×40×80\%$
B.$(40-2x)(64-x)=64×40×80\%$
C.$64x+2×40x-2x^2=64×40×80\%$
D.$64x+2×40x=64×40×(1-80\%)$
答案
9.A
解析
【分析】
解决这类含小路的面积问题，常用平移法简化计算：我们可以把分散的绿化区域向中间平移，拼接成一个规则的矩形，只需要求出拼接后矩形的长和宽，就能根据绿化面积的占比列出方程。首先明确原矩形的长为64m、宽为40m，两条斜向小路在水平方向各占x的宽度，横向小路在竖直方向占x的宽度，由此可推出拼接后绿化矩形的长和宽，再结合绿化面积是总面积的80%即可列式。
【解析】
将所有绿化区域平移拼接，可得一个新的矩形：
1. 两条斜向小路各占水平宽度x，因此拼接后矩形的长为$64 - 2x$ m；
2. 横向小路占竖直宽度x，因此拼接后矩形的宽为$40 - x$ m；
3. 已知绿化区域面积为广场总面积的80%，广场总面积为$64×40$ $m^2$，因此绿化面积为$64×40×80\%$ $m^2$。
根据拼接后矩形面积等于绿化面积，可列方程：$(64 - 2x)(40 - x) = 64×40×80\%$，对应选项A。
（错误选项说明：B选项长宽对应错误；C选项左侧为小路面积的表达式，右侧为绿化面积，等式不成立；D选项计算小路面积时未减去重叠的$2x^2$，不符合实际。）
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用、平移法求面积、矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用题的典型题型，采用平移法将不规则的分散绿化区域转化为规则矩形，可大幅降低计算难度，还能避免遗漏小路重叠部分的面积，是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解决这类含小路的面积问题，常用平移法简化计算：我们可以把分散的绿化区域向中间平移，拼接成一个规则的矩形，只需要求出拼接后矩形的长和宽，就能根据绿化面积的占比列出方程。首先明确原矩形的长为64m、宽为40m，两条斜向小路在水平方向各占x的宽度，横向小路在竖直方向占x的宽度，由此可推出拼接后绿化矩形的长和宽，再结合绿化面积是总面积的80%即可列式。
【解析】
将所有绿化区域平移拼接，可得一个新的矩形：
1. 两条斜向小路各占水平宽度x，因此拼接后矩形的长为$64 - 2x$ m；
2. 横向小路占竖直宽度x，因此拼接后矩形的宽为$40 - x$ m；
3. 已知绿化区域面积为广场总面积的80%，广场总面积为$64×40$ $m^2$，因此绿化面积为$64×40×80\%$ $m^2$。
根据拼接后矩形面积等于绿化面积，可列方程：$(64 - 2x)(40 - x) = 64×40×80\%$，对应选项A。
（错误选项说明：B选项长宽对应错误；C选项左侧为小路面积的表达式，右侧为绿化面积，等式不成立；D选项计算小路面积时未减去重叠的$2x^2$，不符合实际。）
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用、平移法求面积、矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用题的典型题型，采用平移法将不规则的分散绿化区域转化为规则矩形，可大幅降低计算难度，还能避免遗漏小路重叠部分的面积，是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
10.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG,下列结论:①$CE=DF$;②$CE⊥DF$;③$∠AGE=∠CDF$;④$∠EAG=30°$.其中正确的是 (
A.①②
B.①③
C.①②④
D.①②③
D
)A.①②
B.①③
C.①②④
D.①②③
答案
10.D
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，我们可以按以下思路推导：
1. 首先利用正方形四边相等、四个角为直角的性质，结合E、F是AB、BC的中点，得到BE=CF，证明△EBC≌△FCD，即可验证①CE=DF是否成立，再通过角的等量代换判断CE与DF是否垂直，验证②；
2. 对于③，可通过角的互余关系、四点共圆的性质，或建立平面直角坐标系计算角的三角函数值，判断∠AGE与∠CDF是否相等；
3. 对于④，可通过计算∠EAG的三角函数值，对比30°角的三角函数值判断是否成立。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2，建立平面直角坐标系：令B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，D(2,2)。
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴E(0,1)，F(1,0)。
1. 验证①：
由勾股定理得$CE=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}$，$DF=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，
∴CE=DF，①正确。
2. 验证②：
直线CE的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+1$，直线DF的解析式为$y=2x-2$，两个一次函数的k值乘积为$-\frac{1}{2} × 2=-1$，因此CE⊥DF，②正确。
3. 验证③：
联立CE、DF的解析式，解得交点G的坐标为$(\frac{6}{5},\frac{2}{5})$。
计算得$\cos∠AGE=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos∠CDF=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，两个角均为锐角，余弦值相等，故∠AGE=∠CDF，③正确。
4. 验证④：
计算得$\cos∠EAG=0.8$，而$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}≈0.866≠0.8$，故∠EAG≠30°，④错误。
综上，①②③正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合小题，既可以通过全等、角的等量代换等几何方法推导，也可以通过建立坐标系用代数方法验证，解题时注意结合已知条件选择简便方法，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
要判断四个结论是否正确，我们可以按以下思路推导：
1. 首先利用正方形四边相等、四个角为直角的性质，结合E、F是AB、BC的中点，得到BE=CF，证明△EBC≌△FCD，即可验证①CE=DF是否成立，再通过角的等量代换判断CE与DF是否垂直，验证②；
2. 对于③，可通过角的互余关系、四点共圆的性质，或建立平面直角坐标系计算角的三角函数值，判断∠AGE与∠CDF是否相等；
3. 对于④，可通过计算∠EAG的三角函数值，对比30°角的三角函数值判断是否成立。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2，建立平面直角坐标系：令B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，D(2,2)。
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴E(0,1)，F(1,0)。
1. 验证①：
由勾股定理得$CE=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}$，$DF=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，
∴CE=DF，①正确。
2. 验证②：
直线CE的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+1$，直线DF的解析式为$y=2x-2$，两个一次函数的k值乘积为$-\frac{1}{2} × 2=-1$，因此CE⊥DF，②正确。
3. 验证③：
联立CE、DF的解析式，解得交点G的坐标为$(\frac{6}{5},\frac{2}{5})$。
计算得$\cos∠AGE=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos∠CDF=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，两个角均为锐角，余弦值相等，故∠AGE=∠CDF，③正确。
4. 验证④：
计算得$\cos∠EAG=0.8$，而$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}≈0.866≠0.8$，故∠EAG≠30°，④错误。
综上，①②③正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合小题，既可以通过全等、角的等量代换等几何方法推导，也可以通过建立坐标系用代数方法验证，解题时注意结合已知条件选择简便方法，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
11.若关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 3kx + 4 = 0$的一个根是1，则$k=$
2
.答案
11.2
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求参数k的值，解题核心是运用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们可以直接将根x=1代入原方程，把原方程转化为关于k的一元一次方程，再解方程即可求出k的值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=1代入方程$2x^2 - 3kx + 4 = 0$，得：
$2×1^2 - 3k×1 + 4 = 0$
计算化简：
$2 - 3k + 4 = 0$
$6 - 3k = 0$
移项得：
$3k = 6$
系数化为1，得：
$k = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的定义的理解与应用，解题思路清晰直接，只需将已知根代入原方程转化为关于参数的方程求解即可，是方程相关知识中的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的一个根，求参数k的值，解题核心是运用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们可以直接将根x=1代入原方程，把原方程转化为关于k的一元一次方程，再解方程即可求出k的值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=1代入方程$2x^2 - 3kx + 4 = 0$，得：
$2×1^2 - 3k×1 + 4 = 0$
计算化简：
$2 - 3k + 4 = 0$
$6 - 3k = 0$
移项得：
$3k = 6$
系数化为1，得：
$k = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的定义的理解与应用，解题思路清晰直接，只需将已知根代入原方程转化为关于参数的方程求解即可，是方程相关知识中的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
12.若$x_1,x_2$是方程$2x^2 - 3x - 4 = 0$的两个根，则$x_1x_2 + x_1 + x_2$的值为
$-\frac{1}{2}$
。答案
12.$-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题求解关于方程两根的代数式的值，无需直接计算方程的两个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速解题。首先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再根据韦达定理分别求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，最后将所求代数式变形为包含上述两个式子的形式，代入数值计算即可。
【解析】
解：已知方程$2x^2 - 3x - 4 = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-4$。
根据韦达定理，若$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根，则：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-3)}{2} = \frac{3}{2}$
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{2} = -2$
将上述结果代入所求代数式：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 = x_1x_2 + (x_1 + x_2) = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于韦达定理的基础应用题型，解题核心是准确记忆韦达定理中两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，计算时要注意符号处理，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
本题求解关于方程两根的代数式的值，无需直接计算方程的两个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速解题。首先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再根据韦达定理分别求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，最后将所求代数式变形为包含上述两个式子的形式，代入数值计算即可。
【解析】
解：已知方程$2x^2 - 3x - 4 = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-4$。
根据韦达定理，若$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根，则：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-3)}{2} = \frac{3}{2}$
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{2} = -2$
将上述结果代入所求代数式：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 = x_1x_2 + (x_1 + x_2) = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于韦达定理的基础应用题型，解题核心是准确记忆韦达定理中两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，计算时要注意符号处理，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
