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3.如图,三角形的底与长方形的长相等且都为6,三角形的高为2,长方形的宽为x。
(1)用含x的代数式表示图形的面积y；
(2)当长方形的宽是三角形高的2倍时,求该图形的面积；
(3)当x每增加2时,面积y如何变化?为什么?
(1)用含x的代数式表示图形的面积y；
(2)当长方形的宽是三角形高的2倍时,求该图形的面积；
(3)当x每增加2时,面积y如何变化?为什么?
答案
(1) $y=6x+6$
(2) 30
(3) 当x每增加2时,面积y增加12,理由略。
(2) 30
(3) 当x每增加2时,面积y增加12,理由略。
解析
【分析】
本题可拆分组合图形分步求解：
(1) 该图形由三角形和长方形拼接而成，总面积为两个图形面积之和，分别代入三角形、长方形的面积公式，即可得到y关于x的代数式；
(2) 先根据“长方形的宽是三角形高的2倍”求出x的取值，再代入(1)中得到的代数式计算面积即可；
(3) 将x替换为(x+2)，求出变化后的面积，再与原面积作差，即可得到面积的变化量。
【解析】
(1) 分别计算两部分的面积：
三角形面积：$\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×6×2=6$
长方形面积：$长×宽=6x$
因此总面积$y=6x+6$。
(2) 由题意得，长方形的宽$x=2×2=4$，
将$x=4$代入$y=6x+6$得：
$y=6×4+6=30$。
(3) 当x增加2时，新的自变量取值为$x+2$，
此时新的面积$y'=6(x+2)+6=6x+12+6=6x+18$，
面积变化量为$y'-y=(6x+18)-(6x+6)=12$，
因此当x每增加2时，面积y增加12。
【答案】
(1) $y=6x+6$
(2) 30
(3) 当x每增加2时，面积y增加12
【知识点】
组合图形面积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题，将几何面积计算与代数式知识相结合，核心是掌握常见图形的面积公式，能够正确拆分组合图形计算总面积，同时熟练掌握代数式的代入求值和运算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题可拆分组合图形分步求解：
(1) 该图形由三角形和长方形拼接而成，总面积为两个图形面积之和，分别代入三角形、长方形的面积公式，即可得到y关于x的代数式；
(2) 先根据“长方形的宽是三角形高的2倍”求出x的取值，再代入(1)中得到的代数式计算面积即可；
(3) 将x替换为(x+2)，求出变化后的面积，再与原面积作差，即可得到面积的变化量。
【解析】
(1) 分别计算两部分的面积：
三角形面积：$\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×6×2=6$
长方形面积：$长×宽=6x$
因此总面积$y=6x+6$。
(2) 由题意得，长方形的宽$x=2×2=4$，
将$x=4$代入$y=6x+6$得：
$y=6×4+6=30$。
(3) 当x增加2时，新的自变量取值为$x+2$，
此时新的面积$y'=6(x+2)+6=6x+12+6=6x+18$，
面积变化量为$y'-y=(6x+18)-(6x+6)=12$，
因此当x每增加2时，面积y增加12。
【答案】
(1) $y=6x+6$
(2) 30
(3) 当x每增加2时，面积y增加12
【知识点】
组合图形面积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题，将几何面积计算与代数式知识相结合，核心是掌握常见图形的面积公式，能够正确拆分组合图形计算总面积，同时熟练掌握代数式的代入求值和运算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.在一定弹性限度内,弹簧悬挂上物体后会伸长。现测得一弹簧长度 y(单位:cm)与悬挂物体质量 x(单位:kg)有如下关系(已知在弹性限度内,该弹簧悬挂物体后的最大长度为21 cm):
(1)有下列说法:①x 与 y 都是变量;②所挂物体质量为6 kg时,弹簧伸长了3 cm;③弹簧不挂重物时的长度为6 cm;④物体质量每增加1 kg,弹簧长度 y 增加0.5 cm。上述说法错误的是
(2)请用含 x 的代数式表示 y。
(3)当所悬挂物体质量为10 kg时,弹簧长度是多少?
(4)悬挂物体的质量为20 kg是否可以?请说明理由。
(1)有下列说法:①x 与 y 都是变量;②所挂物体质量为6 kg时,弹簧伸长了3 cm;③弹簧不挂重物时的长度为6 cm;④物体质量每增加1 kg,弹簧长度 y 增加0.5 cm。上述说法错误的是
③④
(填序号)。(2)请用含 x 的代数式表示 y。
(3)当所悬挂物体质量为10 kg时,弹簧长度是多少?
(4)悬挂物体的质量为20 kg是否可以?请说明理由。
答案
(1) ③④
(2) $y=0.5x+12$
(3) 17 cm
(4) $x=20$时,$y=12+0.5×20=22$。因为$22＞21$,所以不可以。
(2) $y=0.5x+12$
(3) 17 cm
(4) $x=20$时,$y=12+0.5×20=22$。因为$22＞21$,所以不可以。
解析
【分析】
解题思路：(1)先结合表格数据，明确x为所挂物体质量、y为弹簧长度，先确定弹簧不挂重物时的原长，再分析相邻数据的变化规律，同时结合弹性限度的限制条件，逐个判断4个说法的正误；(2)根据“弹簧总长度=弹簧原长+悬挂物体后伸长的长度”的等量关系，结合每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm的规律，写出y关于x的代数式；(3)将x=10代入(2)中得到的代数式，计算即可得到对应弹簧长度；(4)先将x=20代入代数式计算对应弹簧长度，再和题干给出的弹簧最大长度21cm比较，判断是否超出弹性限度即可。
【解析】
(1)逐个判断说法：
①x（所挂物体质量）变化时，y（弹簧长度）也随之变化，二者都是变量，该说法正确；
②所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为15cm，弹簧不挂重物时长度为12cm，因此弹簧伸长了15-12=3cm，该说法正确；
③弹簧不挂重物时，x=0，对应y=12cm，不是6cm，该说法错误；
④该变化规律仅在弹簧弹性限度内成立，超出弹性限度后，物体质量增加，弹簧长度不再按照每1kg增加0.5cm的规律变化，该说法未限定条件，错误。
因此错误的是③④。
(2)由表格可知，弹簧原长为12cm，在弹性限度内，每悬挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm，因此悬挂x kg物体时，弹簧伸长量为0.5x cm，因此弹簧长度为：
$y=0.5x+12$
(3)当所悬挂物体质量为10kg时，将$x=10$代入$y=0.5x+12$，得：
$y=0.5×10+12=17$
即弹簧长度为17cm。
(4)当悬挂物体质量为20kg时，将$x=20$代入$y=0.5x+12$，得：
$y=0.5×20+12=22$
已知弹簧最大长度为21cm，$22＞21$，超出了弹簧的弹性限度，因此不可以悬挂20kg的物体。
【答案】
(1) $\boxed{③④}$
(2) $\boxed{y=0.5x+12}$
(3) $\boxed{17\ \mathrm{cm}}$
(4) 不可以，理由：当$x=20$时，$y=12+0.5×20=22$，因为$22＞21$，超出弹簧弹性限度，因此不能悬挂质量为20kg的物体。
【知识点】
变量与常量；代数式表示数量关系；代数式求值
【点评】
本题结合弹簧伸长的生活情景，考查了从表格中提取信息、分析数量变化规律的能力，解题的关键是找准弹簧长度和所挂质量的变化关系，同时要注意实际问题中的限制条件，避免忽略弹性限度导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解题思路：(1)先结合表格数据，明确x为所挂物体质量、y为弹簧长度，先确定弹簧不挂重物时的原长，再分析相邻数据的变化规律，同时结合弹性限度的限制条件，逐个判断4个说法的正误；(2)根据“弹簧总长度=弹簧原长+悬挂物体后伸长的长度”的等量关系，结合每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm的规律，写出y关于x的代数式；(3)将x=10代入(2)中得到的代数式，计算即可得到对应弹簧长度；(4)先将x=20代入代数式计算对应弹簧长度，再和题干给出的弹簧最大长度21cm比较，判断是否超出弹性限度即可。
【解析】
(1)逐个判断说法：
①x（所挂物体质量）变化时，y（弹簧长度）也随之变化，二者都是变量，该说法正确；
②所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为15cm，弹簧不挂重物时长度为12cm，因此弹簧伸长了15-12=3cm，该说法正确；
③弹簧不挂重物时，x=0，对应y=12cm，不是6cm，该说法错误；
④该变化规律仅在弹簧弹性限度内成立，超出弹性限度后，物体质量增加，弹簧长度不再按照每1kg增加0.5cm的规律变化，该说法未限定条件，错误。
因此错误的是③④。
(2)由表格可知，弹簧原长为12cm，在弹性限度内，每悬挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm，因此悬挂x kg物体时，弹簧伸长量为0.5x cm，因此弹簧长度为：
$y=0.5x+12$
(3)当所悬挂物体质量为10kg时，将$x=10$代入$y=0.5x+12$，得：
$y=0.5×10+12=17$
即弹簧长度为17cm。
(4)当悬挂物体质量为20kg时，将$x=20$代入$y=0.5x+12$，得：
$y=0.5×20+12=22$
已知弹簧最大长度为21cm，$22＞21$，超出了弹簧的弹性限度，因此不可以悬挂20kg的物体。
【答案】
(1) $\boxed{③④}$
(2) $\boxed{y=0.5x+12}$
(3) $\boxed{17\ \mathrm{cm}}$
(4) 不可以，理由：当$x=20$时，$y=12+0.5×20=22$，因为$22＞21$，超出弹簧弹性限度，因此不能悬挂质量为20kg的物体。
【知识点】
变量与常量；代数式表示数量关系；代数式求值
【点评】
本题结合弹簧伸长的生活情景，考查了从表格中提取信息、分析数量变化规律的能力，解题的关键是找准弹簧长度和所挂质量的变化关系，同时要注意实际问题中的限制条件，避免忽略弹性限度导致判断错误。
【难度系数】
0.7
1.给出下列式子:①$a+b=c$;②$0$;③$a＞0$;④$a^{2n}$。其中属于代数式的是(
A.①③
B.②④
C.①③④
D.①②③④
B
)。A.①③
B.②④
C.①③④
D.①②③④
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要回忆代数式的定义：代数式是用加、减、乘、除、乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也属于代数式，且代数式中不能含有“=”“＞”“＜”等表示数量关系的符号。接下来我们逐个判断4个式子：
①含等号，是等式，不属于代数式；②是单独的数字，属于代数式；③含大于号，是不等式，不属于代数式；④是字母经乘方运算得到的式子，无关系符号，属于代数式。综上符合要求的是②④，对应选项B。
【解析】
首先明确代数式的判定规则：代数式不含等号、不等号等关系符号，单独的数或字母也属于代数式。
对各序号逐一判断：
①$a+b=c$中含有等号“=”，属于等式，不是代数式；
②$0$是单独的数字，属于代数式；
③$a＞0$中含有大于号“＞”，属于不等式，不是代数式；
④$a^{2n}$是用乘方运算连接字母得到的式子，不包含关系符号，属于代数式。
因此属于代数式的是②④，故选B。
【答案】
B
【知识点】
代数式的定义；代数式的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式的识别，解题关键是牢记代数式不含关系符号、单独的数或字母也属于代数式的判定要点，熟练掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先要回忆代数式的定义：代数式是用加、减、乘、除、乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也属于代数式，且代数式中不能含有“=”“＞”“＜”等表示数量关系的符号。接下来我们逐个判断4个式子：
①含等号，是等式，不属于代数式；②是单独的数字，属于代数式；③含大于号，是不等式，不属于代数式；④是字母经乘方运算得到的式子，无关系符号，属于代数式。综上符合要求的是②④，对应选项B。
【解析】
首先明确代数式的判定规则：代数式不含等号、不等号等关系符号，单独的数或字母也属于代数式。
对各序号逐一判断：
①$a+b=c$中含有等号“=”，属于等式，不是代数式；
②$0$是单独的数字，属于代数式；
③$a＞0$中含有大于号“＞”，属于不等式，不是代数式；
④$a^{2n}$是用乘方运算连接字母得到的式子，不包含关系符号，属于代数式。
因此属于代数式的是②④，故选B。
【答案】
B
【知识点】
代数式的定义；代数式的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式的识别，解题关键是牢记代数式不含关系符号、单独的数或字母也属于代数式的判定要点，熟练掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.85
2. 下列代数式书写规范的是(
A.$5\dfrac{1}{3}m^2n$
B.$a· b÷ c^2$
C.$\dfrac{y}{x}$
D.$cd· 3$
C
)。A.$5\dfrac{1}{3}m^2n$
B.$a· b÷ c^2$
C.$\dfrac{y}{x}$
D.$cd· 3$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查代数式的书写规范，解题时需先回忆代数式的书写要求：①带分数与字母相乘时，带分数要化为假分数；②代数式中不能出现除号，除法运算要写成分数形式；③数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号可以省略不写。接下来对照上述规则逐一判断每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$5\dfrac{1}{3}$是带分数，带分数与字母相乘时需要化为假分数，正确书写应为$\dfrac{16}{3}m^2n$，不符合书写规范；
选项B：代数式中不允许出现除号，除法运算需写成分数形式，正确书写应为$\dfrac{ab}{c^2}$，不符合书写规范；
选项C：$\dfrac{y}{x}$是将除法运算写为分数形式，符合代数式书写规范；
选项D：数字与字母相乘时，数字要写在字母前面且省略乘号，正确书写应为$3cd$，不符合书写规范。
【答案】
C
【知识点】
代数式的书写规范
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对代数式书写规则的掌握，熟记相关书写要求即可快速选出正确答案，是代数式章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
本题考查代数式的书写规范，解题时需先回忆代数式的书写要求：①带分数与字母相乘时，带分数要化为假分数；②代数式中不能出现除号，除法运算要写成分数形式；③数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号可以省略不写。接下来对照上述规则逐一判断每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$5\dfrac{1}{3}$是带分数，带分数与字母相乘时需要化为假分数，正确书写应为$\dfrac{16}{3}m^2n$，不符合书写规范；
选项B：代数式中不允许出现除号，除法运算需写成分数形式，正确书写应为$\dfrac{ab}{c^2}$，不符合书写规范；
选项C：$\dfrac{y}{x}$是将除法运算写为分数形式，符合代数式书写规范；
选项D：数字与字母相乘时，数字要写在字母前面且省略乘号，正确书写应为$3cd$，不符合书写规范。
【答案】
C
【知识点】
代数式的书写规范
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对代数式书写规则的掌握，熟记相关书写要求即可快速选出正确答案，是代数式章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
3.用文字语言叙述代数式$\frac{1}{a}-b$，下列表述正确的是（
A.比a的倒数小一b的数
B.1除以a的商与b的相反数的差
C.1除以a的商与b的相反数的和
D.b与a的倒数的相反数
C
）。A.比a的倒数小一b的数
B.1除以a的商与b的相反数的差
C.1除以a的商与b的相反数的和
D.b与a的倒数的相反数
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查代数式的文字表述转换，解题思路为先将代数式$\frac{1}{a}-b$拆分解析各部分含义：$\frac{1}{a}$是1除以a的商（也叫a的倒数），减去b等价于加上b的相反数，再逐一对比每个选项的表述对应的代数式，和原式一致的即为正确选项。
【解析】
先将原式变形：$\frac{1}{a} - b = \frac{1}{a} + (-b)$，再逐一分析选项：
A选项：“比a的倒数小$-b$的数”对应的代数式为$\frac{1}{a} - (-b) = \frac{1}{a} + b$，与原式不符，错误；
B选项：“1除以a的商与b的相反数的差”对应的代数式为$\frac{1}{a} - (-b) = \frac{1}{a} + b$，与原式不符，错误；
C选项：“1除以a的商与b的相反数的和”对应的代数式为$\frac{1}{a} + (-b) = \frac{1}{a} - b$，与原式一致，正确；
D选项：表述不完整，缺少运算描述，无法对应原式，错误。
【答案】
C
【知识点】
代数式的意义、倒数的定义、相反数的定义
【点评】
本题属于基础类题型，核心是掌握文字表述与代数式运算的对应关系，解题时可先把选项表述转化为代数式，再和题干代数式比对，避免因混淆“差”“和”对应的符号出错。
【难度系数】
0.7
本题考查代数式的文字表述转换，解题思路为先将代数式$\frac{1}{a}-b$拆分解析各部分含义：$\frac{1}{a}$是1除以a的商（也叫a的倒数），减去b等价于加上b的相反数，再逐一对比每个选项的表述对应的代数式，和原式一致的即为正确选项。
【解析】
先将原式变形：$\frac{1}{a} - b = \frac{1}{a} + (-b)$，再逐一分析选项：
A选项：“比a的倒数小$-b$的数”对应的代数式为$\frac{1}{a} - (-b) = \frac{1}{a} + b$，与原式不符，错误；
B选项：“1除以a的商与b的相反数的差”对应的代数式为$\frac{1}{a} - (-b) = \frac{1}{a} + b$，与原式不符，错误；
C选项：“1除以a的商与b的相反数的和”对应的代数式为$\frac{1}{a} + (-b) = \frac{1}{a} - b$，与原式一致，正确；
D选项：表述不完整，缺少运算描述，无法对应原式，错误。
【答案】
C
【知识点】
代数式的意义、倒数的定义、相反数的定义
【点评】
本题属于基础类题型，核心是掌握文字表述与代数式运算的对应关系，解题时可先把选项表述转化为代数式，再和题干代数式比对，避免因混淆“差”“和”对应的符号出错。
【难度系数】
0.7
