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3.有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则ab的值（
A.大于0
B.小于0
C.小于a
D.大于b
B
）。A.大于0
B.小于0
C.小于a
D.大于b
答案
B
解析
【分析】
解题时首先根据数轴的性质判断a、b的正负：数轴上原点左侧的数是负数，右侧的数是正数，可得到a＜0，b＞0；再结合有理数乘法的符号判断法则，异号两数相乘的积为负数，即可推出ab的符号，对应选项选出答案即可。
【解析】
由数轴可知：a在原点左侧，因此a＜0；b在原点右侧，因此b＞0。
根据有理数乘法法则：异号两数相乘，积为负，因此ab＜0。
逐一判断选项：
A. ab大于0，不符合推导结果，错误；
B. ab小于0，符合推导结果，正确；
C. 举例验证：若a=-3，b=1，则ab=-3=a，并不小于a，错误；
D. ab是负数，b是正数，负数一定小于正数，错误。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；有理数乘法法则
【点评】
本题是基础题型，主要考查数轴的性质和有理数乘法的符号规律，掌握数轴上数的分布特点和有理数乘法的符号判断规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据数轴的性质判断a、b的正负：数轴上原点左侧的数是负数，右侧的数是正数，可得到a＜0，b＞0；再结合有理数乘法的符号判断法则，异号两数相乘的积为负数，即可推出ab的符号，对应选项选出答案即可。
【解析】
由数轴可知：a在原点左侧，因此a＜0；b在原点右侧，因此b＞0。
根据有理数乘法法则：异号两数相乘，积为负，因此ab＜0。
逐一判断选项：
A. ab大于0，不符合推导结果，错误；
B. ab小于0，符合推导结果，正确；
C. 举例验证：若a=-3，b=1，则ab=-3=a，并不小于a，错误；
D. ab是负数，b是正数，负数一定小于正数，错误。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；有理数乘法法则
【点评】
本题是基础题型，主要考查数轴的性质和有理数乘法的符号规律，掌握数轴上数的分布特点和有理数乘法的符号判断规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.若$|a|=5$，$b=-3$，且$a ＜ b$，则$ab$的值为
15
。答案
15
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质求出a的所有可能取值，再结合题目给出的a＜b的大小限制条件，筛选出符合要求的a的值，最后将a和b的取值代入有理数乘法运算即可求出结果。
【解析】
1. 求a的可能取值：
因为$\vert a\vert=5$，根据绝对值的性质，绝对值为正数的数有两个且互为相反数，所以$a=5$或$a=-5$。
2. 筛选符合条件的a：
已知$b=-3$，且$a＜b$。
当$a=5$时，$5＞-3$，不符合$a＜b$的要求，舍去；
当$a=-5$时，$-5＜-3$，符合要求，所以确定$a=-5$。
3. 计算$ab$的值：
将$a=-5$，$b=-3$代入得：$ab=(-5)×(-3)=15$。
【答案】
15
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较；有理数乘法法则
【点评】
本题属于基础题，重点考察对绝对值性质的理解和有理数运算的掌握，易错点是容易忽略$a＜b$的限制条件，未对a的取值进行筛选，或是计算有理数乘法时符号判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的性质求出a的所有可能取值，再结合题目给出的a＜b的大小限制条件，筛选出符合要求的a的值，最后将a和b的取值代入有理数乘法运算即可求出结果。
【解析】
1. 求a的可能取值：
因为$\vert a\vert=5$，根据绝对值的性质，绝对值为正数的数有两个且互为相反数，所以$a=5$或$a=-5$。
2. 筛选符合条件的a：
已知$b=-3$，且$a＜b$。
当$a=5$时，$5＞-3$，不符合$a＜b$的要求，舍去；
当$a=-5$时，$-5＜-3$，符合要求，所以确定$a=-5$。
3. 计算$ab$的值：
将$a=-5$，$b=-3$代入得：$ab=(-5)×(-3)=15$。
【答案】
15
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较；有理数乘法法则
【点评】
本题属于基础题，重点考察对绝对值性质的理解和有理数运算的掌握，易错点是容易忽略$a＜b$的限制条件，未对a的取值进行筛选，或是计算有理数乘法时符号判断错误。
【难度系数】
0.7
5.在有理数$-2,2,0,4,-5$中,任意取两个数相乘,最大的积为$a$,最小的积为$b$,则$a-b=$
30
。答案
30
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于所有负数。因此最大的积一定来自同号两数相乘的结果，我们需要在同号组合中找到乘积最大的作为a；最小的积一定来自异号两数相乘的结果，我们需要在异号组合中找到乘积最小的作为b，最后计算a减b即可。解题时先列出所有符合条件的乘积，再比较大小确定a、b的值，最后按有理数减法规则计算。
【解析】
第一步：确定最大的积a
同号两数相乘的可能组合及乘积：
①两个负数相乘：$(-2) × (-5) = 10$
②两个正数相乘：$2 × 4 = 8$
其余同号组合（如含0的组合）乘积均为0，比较可得最大的积$a=10$。
第二步：确定最小的积b
异号两数相乘的结果都是负数，要找最小的积，即找绝对值最大的异号乘积：
最大的正数是4，绝对值最大的负数是-5，乘积为$4 × (-5) = -20$，其余异号组合的乘积（如$2×(-5)=-10$、$(-2)×4=-8$等）都大于-20，因此最小的积$b=-20$。
第三步：计算$a-b$
根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，可得：
$a-b = 10 - (-20) = 10 + 20 = 30$
【答案】
30
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较；有理数减法运算
【点评】
本题考查有理数乘法的实际应用，解题核心是明确最大积、最小积的来源：最大积为同号两数乘积的最大值，最小积为异号两数乘积的最小值，计算时要注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于所有负数。因此最大的积一定来自同号两数相乘的结果，我们需要在同号组合中找到乘积最大的作为a；最小的积一定来自异号两数相乘的结果，我们需要在异号组合中找到乘积最小的作为b，最后计算a减b即可。解题时先列出所有符合条件的乘积，再比较大小确定a、b的值，最后按有理数减法规则计算。
【解析】
第一步：确定最大的积a
同号两数相乘的可能组合及乘积：
①两个负数相乘：$(-2) × (-5) = 10$
②两个正数相乘：$2 × 4 = 8$
其余同号组合（如含0的组合）乘积均为0，比较可得最大的积$a=10$。
第二步：确定最小的积b
异号两数相乘的结果都是负数，要找最小的积，即找绝对值最大的异号乘积：
最大的正数是4，绝对值最大的负数是-5，乘积为$4 × (-5) = -20$，其余异号组合的乘积（如$2×(-5)=-10$、$(-2)×4=-8$等）都大于-20，因此最小的积$b=-20$。
第三步：计算$a-b$
根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，可得：
$a-b = 10 - (-20) = 10 + 20 = 30$
【答案】
30
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较；有理数减法运算
【点评】
本题考查有理数乘法的实际应用，解题核心是明确最大积、最小积的来源：最大积为同号两数乘积的最大值，最小积为异号两数乘积的最小值，计算时要注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
6. 计算：
(1) $\frac{3}{2} × (-\frac{2}{3})$；
(2) $(-\frac{3}{4}) × (-\frac{8}{7})$；
(3) $-\frac{6}{13} × (-6.5)$。
(1) $\frac{3}{2} × (-\frac{2}{3})$；
(2) $(-\frac{3}{4}) × (-\frac{8}{7})$；
(3) $-\frac{6}{13} × (-6.5)$。
答案
(1)$-1$ (2)$\frac{6}{7}$ (3)$3$
解析
【分析】
解决有理数乘法问题分两步思考：第一步先根据两个乘数的符号判断积的符号，规则是“同号得正，异号得负”；第二步计算两个乘数绝对值的乘积，计算时能约分的先约分简化运算，若乘数是小数，先转化为分数再计算更便捷。
【解析】
(1) 两个乘数异号，积为负，再计算绝对值的乘积：
原式 = $-(\frac{3}{2}×\frac{2}{3}) = -1$
(2) 两个乘数同号（均为负），积为正，再计算绝对值的乘积：
原式 = $+(\frac{3}{4}×\frac{8}{7}) = \frac{3×8}{4×7} = \frac{6}{7}$
(3) 两个乘数同号（均为负），积为正，先把$6.5$转化为分数$\frac{13}{2}$，再计算绝对值的乘积：
原式 = $+(\frac{6}{13}×\frac{13}{2}) = 3$
【答案】
(1)$-1$ (2)$\frac{6}{7}$ (3)$3$
【知识点】
有理数乘法法则、分数约分、小数与分数互化
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，核心考察有理数乘法符号规则的应用和基础计算能力，计算时遵循“先定符号，再算绝对值”的顺序能有效降低符号错误概率，小数转分数后计算可提升约分效率。
【难度系数】
0.9
解决有理数乘法问题分两步思考：第一步先根据两个乘数的符号判断积的符号，规则是“同号得正，异号得负”；第二步计算两个乘数绝对值的乘积，计算时能约分的先约分简化运算，若乘数是小数，先转化为分数再计算更便捷。
【解析】
(1) 两个乘数异号，积为负，再计算绝对值的乘积：
原式 = $-(\frac{3}{2}×\frac{2}{3}) = -1$
(2) 两个乘数同号（均为负），积为正，再计算绝对值的乘积：
原式 = $+(\frac{3}{4}×\frac{8}{7}) = \frac{3×8}{4×7} = \frac{6}{7}$
(3) 两个乘数同号（均为负），积为正，先把$6.5$转化为分数$\frac{13}{2}$，再计算绝对值的乘积：
原式 = $+(\frac{6}{13}×\frac{13}{2}) = 3$
【答案】
(1)$-1$ (2)$\frac{6}{7}$ (3)$3$
【知识点】
有理数乘法法则、分数约分、小数与分数互化
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，核心考察有理数乘法符号规则的应用和基础计算能力，计算时遵循“先定符号，再算绝对值”的顺序能有效降低符号错误概率，小数转分数后计算可提升约分效率。
【难度系数】
0.9
7.一个数的相反数是$\frac{3}{4}$，另一个数比这个数小$\frac{1}{2}$，求这两个数的积。
答案
$\frac{15}{16}$
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，根据相反数的定义，已知一个数的相反数，可直接求出这个数；第二步，根据“另一个数比这个数小$\frac{1}{2}$”的数量关系，用减法求出第二个数；第三步，根据有理数乘法法则计算两个数的乘积，注意做好符号判断。
【解析】
1. 求第一个数：
互为相反数的两个数符号相反、绝对值相等，已知一个数的相反数是$\frac{3}{4}$，因此这个数为$-\frac{3}{4}$。
2. 求第二个数：
另一个数比$-\frac{3}{4}$小$\frac{1}{2}$，则第二个数为：
$-\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{5}{4}$
3. 计算两个数的积：
根据有理数乘法法则，同号相乘得正，再把绝对值相乘：
$(-\frac{3}{4}) × (-\frac{5}{4}) = \frac{3 × 5}{4 × 4} = \frac{15}{16}$
【答案】
$\frac{15}{16}$
【知识点】
相反数的概念；有理数的减法；有理数的乘法
【点评】
本题属于基础运算综合题，解题核心是准确掌握相反数的定义、有理数的运算法则，计算时注意符号判断即可避免错误。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：第一步，根据相反数的定义，已知一个数的相反数，可直接求出这个数；第二步，根据“另一个数比这个数小$\frac{1}{2}$”的数量关系，用减法求出第二个数；第三步，根据有理数乘法法则计算两个数的乘积，注意做好符号判断。
【解析】
1. 求第一个数：
互为相反数的两个数符号相反、绝对值相等，已知一个数的相反数是$\frac{3}{4}$，因此这个数为$-\frac{3}{4}$。
2. 求第二个数：
另一个数比$-\frac{3}{4}$小$\frac{1}{2}$，则第二个数为：
$-\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{5}{4}$
3. 计算两个数的积：
根据有理数乘法法则，同号相乘得正，再把绝对值相乘：
$(-\frac{3}{4}) × (-\frac{5}{4}) = \frac{3 × 5}{4 × 4} = \frac{15}{16}$
【答案】
$\frac{15}{16}$
【知识点】
相反数的概念；有理数的减法；有理数的乘法
【点评】
本题属于基础运算综合题，解题核心是准确掌握相反数的定义、有理数的运算法则，计算时注意符号判断即可避免错误。
【难度系数】
0.8
8. $a,b,c$为非零有理数，它们的积一定为正数的是(
A.$a,b,c$同号
B.$a＞0,b$与$c$同号
C.$b＜0,a$与$c$同号
D.$a＞b＞0＞c$
B
)。A.$a,b,c$同号
B.$a＞0,b$与$c$同号
C.$b＜0,a$与$c$同号
D.$a＞b＞0＞c$
答案
B
解析
【分析】
要判断三个非零有理数的积是否为正数，需依据有理数乘法的符号法则：多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负。我们逐一分析每个选项，排除存在乘积为负的情况的选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据有理数乘法符号法则，逐个分析选项：
A选项：a、b、c同号，若三者均为负数，负因数共3个（奇数），乘积为负数，不符合要求，排除；
B选项：a＞0是正数，b与c同号，根据“同号两数相乘得正”，可知b×c为正数，因此三者乘积为正数×正数=正数，符合要求；
C选项：b＜0是负数，a与c同号，则a×c为正数，因此三者乘积为正数×负数=负数，不符合要求，排除；
D选项：由a＞b＞0＞c可知，c为负数，a、b为正数，负因数共1个（奇数），乘积为负数，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 有理数乘法符号法则
2. 有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数乘法的基础考题，核心是掌握多个非零有理数相乘时积的符号与负因数个数的关系，解题时要注意“同号”包含同时为正、同时为负两种情况，避免漏判错选。
【难度系数】
0.8
要判断三个非零有理数的积是否为正数，需依据有理数乘法的符号法则：多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负。我们逐一分析每个选项，排除存在乘积为负的情况的选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据有理数乘法符号法则，逐个分析选项：
A选项：a、b、c同号，若三者均为负数，负因数共3个（奇数），乘积为负数，不符合要求，排除；
B选项：a＞0是正数，b与c同号，根据“同号两数相乘得正”，可知b×c为正数，因此三者乘积为正数×正数=正数，符合要求；
C选项：b＜0是负数，a与c同号，则a×c为正数，因此三者乘积为正数×负数=负数，不符合要求，排除；
D选项：由a＞b＞0＞c可知，c为负数，a、b为正数，负因数共1个（奇数），乘积为负数，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 有理数乘法符号法则
2. 有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数乘法的基础考题，核心是掌握多个非零有理数相乘时积的符号与负因数个数的关系，解题时要注意“同号”包含同时为正、同时为负两种情况，避免漏判错选。
【难度系数】
0.8
9.若定义一种新的运算“*”，规定有理数$a * b = 4ab$，如$2 * 3 = 4×2×3 = 24$。
(1)求$3 * (-4)$的值；
(2)求$(-2) * (6 * 3)$的值。
(1)求$3 * (-4)$的值；
(2)求$(-2) * (6 * 3)$的值。
答案
(1)$-48$ (2)$-576$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先要准确理解新运算“*”的规则：两个有理数a、b做“*”运算，结果等于4与a、b三者的乘积；其次运算顺序和常规有理数混合运算一致，有括号时先计算括号内的运算，再计算括号外的运算，计算时注意遵循有理数乘法的符号规则。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a*b=4ab$，将$a=3$，$b=-4$代入得：
$3*(-4)=4×3×(-4)=12×(-4)=-48$
(2) 先计算括号内的$6*3$：
$6*3=4×6×3=72$
再计算$(-2)*72$，将$a=-2$，$b=72$代入新运算规则得：
$(-2)*72=4×(-2)×72=(-8)×72=-576$
【答案】
(1) $-48$；(2) $-576$
【知识点】
新定义运算、有理数乘法运算、有理数混合运算顺序
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解运用能力和有理数乘法的计算能力，解题的核心是准确把握新运算的计算方法，注意运算顺序和乘法符号的判断，避免因粗心导致符号错误。
【难度系数】
0.85
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先要准确理解新运算“*”的规则：两个有理数a、b做“*”运算，结果等于4与a、b三者的乘积；其次运算顺序和常规有理数混合运算一致，有括号时先计算括号内的运算，再计算括号外的运算，计算时注意遵循有理数乘法的符号规则。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a*b=4ab$，将$a=3$，$b=-4$代入得：
$3*(-4)=4×3×(-4)=12×(-4)=-48$
(2) 先计算括号内的$6*3$：
$6*3=4×6×3=72$
再计算$(-2)*72$，将$a=-2$，$b=72$代入新运算规则得：
$(-2)*72=4×(-2)×72=(-8)×72=-576$
【答案】
(1) $-48$；(2) $-576$
【知识点】
新定义运算、有理数乘法运算、有理数混合运算顺序
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解运用能力和有理数乘法的计算能力，解题的核心是准确把握新运算的计算方法，注意运算顺序和乘法符号的判断，避免因粗心导致符号错误。
【难度系数】
0.85
10.已知$|a|=5$，$|b|=3$。
(1)若$a+b＞0$，求$ab$的值；
(2)若$ab＜0$，求$|a+b|$的值。
(1)若$a+b＞0$，求$ab$的值；
(2)若$ab＜0$，求$|a+b|$的值。
答案
(1) 15或$-15$ (2)2
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质确定a、b的所有可能取值，再分别结合两个小问的约束条件筛选出符合要求的a、b组合，最后代入对应式子计算即可。具体思路：①先由|a|=5得a=±5，|b|=3得b=±3；②第(1)问根据a+b＞0的条件，排除和为负数的组合，再计算剩余情况的ab值；③第(2)问根据ab＜0可知a、b异号，找到对应的组合后计算|a+b|的值。
【解析】
解：由$\vert a\vert=5$，可得$a=5$或$a=-5$；由$\vert b\vert=3$，可得$b=3$或$b=-3$。
(1) 要求$a+b＞0$，对所有组合逐一判断：
当$a=5$，$b=3$时，$a+b=5+3=8＞0$，符合条件，此时$ab=5×3=15$；
当$a=5$，$b=-3$时，$a+b=5+(-3)=2＞0$，符合条件，此时$ab=5×(-3)=-15$；
当$a=-5$，$b=3$时，$a+b=-5+3=-2＜0$，不符合条件；
当$a=-5$，$b=-3$时，$a+b=-5+(-3)=-8＜0$，不符合条件。
因此$ab$的值为15或$-15$。
(2) 要求$ab＜0$，说明a和b异号，符合的组合有2种：
当$a=5$，$b=-3$时，$a+b=5+(-3)=2$，则$\vert a+b\vert=\vert2\vert=2$；
当$a=-5$，$b=3$时，$a+b=-5+3=-2$，则$\vert a+b\vert=\vert-2\vert=2$。
因此$\vert a+b\vert$的值为2。
【答案】
(1) 15或$-15$ (2)2
【知识点】
绝对值的性质；有理数的加法；有理数的乘法
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题的关键是先确定字母的所有可能取值，再结合给定条件过滤不符合的情况，避免出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的性质确定a、b的所有可能取值，再分别结合两个小问的约束条件筛选出符合要求的a、b组合，最后代入对应式子计算即可。具体思路：①先由|a|=5得a=±5，|b|=3得b=±3；②第(1)问根据a+b＞0的条件，排除和为负数的组合，再计算剩余情况的ab值；③第(2)问根据ab＜0可知a、b异号，找到对应的组合后计算|a+b|的值。
【解析】
解：由$\vert a\vert=5$，可得$a=5$或$a=-5$；由$\vert b\vert=3$，可得$b=3$或$b=-3$。
(1) 要求$a+b＞0$，对所有组合逐一判断：
当$a=5$，$b=3$时，$a+b=5+3=8＞0$，符合条件，此时$ab=5×3=15$；
当$a=5$，$b=-3$时，$a+b=5+(-3)=2＞0$，符合条件，此时$ab=5×(-3)=-15$；
当$a=-5$，$b=3$时，$a+b=-5+3=-2＜0$，不符合条件；
当$a=-5$，$b=-3$时，$a+b=-5+(-3)=-8＜0$，不符合条件。
因此$ab$的值为15或$-15$。
(2) 要求$ab＜0$，说明a和b异号，符合的组合有2种：
当$a=5$，$b=-3$时，$a+b=5+(-3)=2$，则$\vert a+b\vert=\vert2\vert=2$；
当$a=-5$，$b=3$时，$a+b=-5+3=-2$，则$\vert a+b\vert=\vert-2\vert=2$。
因此$\vert a+b\vert$的值为2。
【答案】
(1) 15或$-15$ (2)2
【知识点】
绝对值的性质；有理数的加法；有理数的乘法
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题的关键是先确定字母的所有可能取值，再结合给定条件过滤不符合的情况，避免出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.7
