11. 材料阅读:如图①,魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数,如此可以摆出各种数字进行计算.图中所示皆为两位有理数的加法运算.

(1) 图②的运算结果为;
(2) 请尝试猜想$(+31)+(-54)$可以通过如何摆放算筹来计算结果,画出你猜想的摆放方式及结果,并写出式子.

11.(1)11 （2）摆放方式及结果如图所示:$≡ ∣ ≡≡≡≡ ∣∣∣∣ \rightarrow ≡ ∣∣∣$ $(+ 31) + ( - 54) = - 23$.

【分析】首先明确题目中的算筹规则：白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，两位数字中，横式算筹对应十位数字，竖式算筹对应个位数字。对于图②，先确定两部分算筹对应的数值，再进行有理数加法运算；第(2)问需按规则摆放算筹，再将相同数位的数值相减得出结果。
【解析】（1）根据规则，图②中白色算筹是2个横（十位）、3个竖（个位），对应数为+23；黑色算筹是1个横（十位）、2个竖（个位），对应数为-12。运算为+23 + (-12)=11，故结果为11。（2）摆放算筹：+31用3个白色横（十位3）、1个白色竖（个位1）表示；-54用5个黑色横（十位5）、4个黑色竖（个位4）表示。计算时，十位：3-5=-2，个位：1-4=-3，所以结果为-23，式子为(+31)+(-54)=-23。
【答案】（1）11；（2）摆放方式：+31为≡∣，-54为≡≡≡≡∣∣∣∣，结果为-23，式子为(+31)+(-54)=-23。
【知识点】有理数的加法、算筹记数
【点评】本题结合古代数学文化考查有理数运算，关键是理解算筹表示正负和数位的规则，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5

学习目标
1. 理解有理数加法的运算律.
2. 能熟练运用运算律简化运算.
重点难点
合理运用加法交换律和结合律.
学习过程
自主学习
小学学过的加法交换律、结合律你还记得吗？你能用字母表示加法交换律和结合律吗？

解：
加法交换律用字母表示为：$a + b = b + a$
加法结合律用字母表示为：$(a + b) + c = a + (b + c)$

【分析】本题要求回忆加法交换律和结合律并用字母表示，解题时先明确两个运算律的核心内容：交换加数位置和不变（交换律），改变相加顺序和不变（结合律），再用通用字母a、b、c表示任意数，写出对应的表达式即可。
【解析】加法交换律是指两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为：$a + b = b + a$；加法结合律是指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为：$(a + b) + c = a + (b + c)$。
【答案】加法交换律用字母表示为：$a + b = b + a$；加法结合律用字母表示为：$(a + b) + c = a + (b + c)$
【知识点】加法交换律、加法结合律
【点评】本题属于基础识记类题目，考查对加法运算律的掌握，要求学生能准确回忆并规范用字母表示运算律，是后续学习有理数加法简便运算的基础。
【难度系数】0.8

1.小学学过的加法交换律、结合律在有理数范围内成立吗？请说出有理数的加法交换律、结合律.

解：小学学过的加法交换律、结合律在有理数范围内成立。
有理数加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为 $a + b = b + a$。
有理数加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为 $(a + b) + c = a + (b + c)$。

【分析】首先，我们需要判断小学学过的加法交换律、结合律在有理数范围内是否适用，可通过举例验证：取两个有理数如3和-2，计算得3+(-2)=1，(-2)+3=1，交换加数位置和不变；取三个有理数如(2+(-3))+4=3，2+((-3)+4)=3，改变相加顺序和不变，由此可知小学的加法运算律在有理数范围内成立。接下来分别明确有理数加法交换律、结合律的内容及字母表达式。
【解析】小学学过的加法交换律、结合律在有理数范围内成立。有理数加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为 $a + b = b + a$。有理数加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为 $(a + b) + c = a + (b + c)$。
【答案】小学学过的加法交换律、结合律在有理数范围内成立。有理数加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为 $a + b = b + a$。有理数加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为 $(a + b) + c = a + (b + c)$。
【知识点】有理数加法运算律，加法交换律，加法结合律
【点评】本题属于有理数运算的基础知识点，考察小学加法运算定律在有理数范围的适用性，帮助学生理解数域扩展后运算性质的一致性，是后续有理数运算的重要基础。
【难度系数】0.6

2. 当多个有理数相加时，还能使用加法交换律和结合律吗？举例说明.

解：多个有理数相加时，仍然可以使用加法交换律和加法结合律。
举例：计算$(-3)+8+(-7)+2$
按从左到右的顺序计算：
$(-3)+8=5$
$5+(-7)=-2$
$-2+2=0$
运用加法交换律和结合律计算：
$(-3)+8+(-7)+2$
$=(-3)+(-7)+8+2$
$=[(-3)+(-7)]+(8+2)$
$=-10+10$
$=0$
两种计算方式得到的结果一致，说明多个有理数相加时，加法交换律和结合律仍然适用。

【分析】要判断多个有理数相加是否适用加法交换律和结合律，需先明确加法交换律、结合律的本质：运算律是对任意有理数的加法运算都成立的，并非仅适用于两个加数。解题思路为：先给出结论，再选取具体的多个有理数相加的例子，分别按常规顺序计算和运用运算律计算，对比结果验证结论的正确性。
【解析】多个有理数相加时，仍然可以使用加法交换律和加法结合律。举例：计算$(-3)+8+(-7)+2$。按从左到右的顺序计算：$(-3)+8=5$，$5+(-7)=-2$，$-2+2=0$；运用加法交换律和结合律计算：$(-3)+8+(-7)+2=(-3)+(-7)+8+2=[(-3)+(-7)]+(8+2)=-10+10=0$。两种计算方式得到的结果一致，说明多个有理数相加时，加法交换律和结合律仍然适用。
【答案】解：多个有理数相加时，仍然可以使用加法交换律和加法结合律。举例：计算$(-3)+8+(-7)+2$按从左到右的顺序计算：$(-3)+8=5$，$5+(-7)=-2$，$-2+2=0$；运用加法交换律和结合律计算：$(-3)+8+(-7)+2=(-3)+(-7)+8+2=[(-3)+(-7)]+(8+2)=-10+10=0$。两种计算方式得到的结果一致，说明多个有理数相加时，加法交换律和结合律仍然适用。
【知识点】有理数加法运算律，有理数的加法
【点评】本题考查有理数加法运算律的适用性，属于基础概念题，通过举例对比直观验证结论，帮助学生深化对运算律普遍性的理解，巩固有理数加法的基础知识点。
【难度系数】0.8