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7. 如图,在菱形ABCD中,AC=2,BD=4,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD和DA上,且EF//AC。若四边形EFGH是正方形,则EF的长为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$1$
C.$\frac{4}{3}$
D.$2$
C
）A.$\frac{2}{3}$
B.$1$
C.$\frac{4}{3}$
D.$2$
答案
7. C
解析
【分析】
首先利用菱形的性质可知对角线AC与BD互相垂直，长度已知。由EF//AC、四边形EFGH是正方形可得FG//BD，且EF=FG。此时可通过平行线判定△BEF与△BAC相似、△CFG与△CBD相似，得到对应边的比例关系。设EF的长度为x，分别用x表示出BF和CF的长度，结合BF+CF=BC列方程即可求出x的值。
【解析】
解：设EF的长为x。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2，BD=4。
∵EF//AC，四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=x，EF⊥FG，
∴FG//BD。
∵EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BC}$，即$\frac{x}{2}=\frac{BF}{BC}$，得$BF=\frac{x}{2}· BC$ ①。
∵FG//BD，
∴△CFG∽△CBD，
∴$\frac{FG}{BD}=\frac{CF}{BC}$，即$\frac{x}{4}=\frac{CF}{BC}$，得$CF=\frac{x}{4}· BC$ ②。
又
∵BF+CF=BC，将①②代入得：
$\frac{x}{2}· BC + \frac{x}{4}· BC = BC$，
两边同时除以BC（BC≠0），得$\frac{x}{2}+\frac{x}{4}=1$，
解得$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，结合特殊四边形的性质，通过平行线构造相似三角形，利用比例关系列方程求解，考察了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先利用菱形的性质可知对角线AC与BD互相垂直，长度已知。由EF//AC、四边形EFGH是正方形可得FG//BD，且EF=FG。此时可通过平行线判定△BEF与△BAC相似、△CFG与△CBD相似，得到对应边的比例关系。设EF的长度为x，分别用x表示出BF和CF的长度，结合BF+CF=BC列方程即可求出x的值。
【解析】
解：设EF的长为x。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2，BD=4。
∵EF//AC，四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=x，EF⊥FG，
∴FG//BD。
∵EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BC}$，即$\frac{x}{2}=\frac{BF}{BC}$，得$BF=\frac{x}{2}· BC$ ①。
∵FG//BD，
∴△CFG∽△CBD，
∴$\frac{FG}{BD}=\frac{CF}{BC}$，即$\frac{x}{4}=\frac{CF}{BC}$，得$CF=\frac{x}{4}· BC$ ②。
又
∵BF+CF=BC，将①②代入得：
$\frac{x}{2}· BC + \frac{x}{4}· BC = BC$，
两边同时除以BC（BC≠0），得$\frac{x}{2}+\frac{x}{4}=1$，
解得$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，结合特殊四边形的性质，通过平行线构造相似三角形，利用比例关系列方程求解，考察了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
8. 如图所示,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC。若AD=3,AB=5,则$\frac{AF}{AG}$=
$\frac{3}{5}$
。答案
8. $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用垂直关系得到两个直角，结合已知∠EAF=∠GAC，根据等角的余角相等推出∠AEF=∠C；第二步，找到公共角∠EAD=∠CAB，即可判定△ADE和△ABC相似；第三步，明确AF是△ADE的对应高、AG是△ABC的对应高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，代入已知边长即可求出比值。
【解析】
解：
∵AG⊥BC，AF⊥DE
∴∠AFE=∠AGC=90°
∴∠AEF + ∠EAF = 90°，∠C + ∠GAC = 90°
又
∵∠EAF=∠GAC
∴∠AEF=∠C
又
∵∠EAD=∠CAB（公共角）
∴△ADE∽△ABC
∵AF是△ADE中DE边上的高，AG是△ABC中BC边上的高
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$
将AD=3，AB=5代入，得$\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，核心是通过角的等量关系证明三角形相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比计算，解题时要注意对应边、对应高的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先利用垂直关系得到两个直角，结合已知∠EAF=∠GAC，根据等角的余角相等推出∠AEF=∠C；第二步，找到公共角∠EAD=∠CAB，即可判定△ADE和△ABC相似；第三步，明确AF是△ADE的对应高、AG是△ABC的对应高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，代入已知边长即可求出比值。
【解析】
解：
∵AG⊥BC，AF⊥DE
∴∠AFE=∠AGC=90°
∴∠AEF + ∠EAF = 90°，∠C + ∠GAC = 90°
又
∵∠EAF=∠GAC
∴∠AEF=∠C
又
∵∠EAD=∠CAB（公共角）
∴△ADE∽△ABC
∵AF是△ADE中DE边上的高，AG是△ABC中BC边上的高
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$
将AD=3，AB=5代入，得$\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，核心是通过角的等量关系证明三角形相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比计算，解题时要注意对应边、对应高的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在矩形ABCD中,E是AD上任一点,连结CE,F是CE的中点。若△BFC的面积为6 cm²,则矩形ABCD的面积为
24
cm²。答案
9. 24
解析
【分析】
解题时先从已知条件F是CE的中点入手，同顶点、底边共线的两个三角形高相等，面积比等于底边长的比，据此可先求出△BEC的面积；再分析△BEC与矩形ABCD的面积关系：△BEC以BC为底时，高等于矩形的宽AB，结合三角形和矩形的面积公式，可知△BEC的面积是矩形面积的一半，进而求出矩形的总面积。
【解析】
1. 求△BEC的面积：
∵F是CE的中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CE$，
△BFC和△BEC共享顶点B，底边CF、CE在同一条线段CE上，因此两个三角形的高相等，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时面积比等于底之比，可得：
$S_{△ BFC}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}$，
已知$S_{△ BFC}=6\mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ BEC}=2×6=12\mathrm{cm}^2$。
2. 求矩形ABCD的面积：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
E在AD上，因此E到BC的距离等于矩形的边AB的长度（平行线间距离处处相等），
△BEC以BC为底时，高为AB，
∴$S_{△ BEC}=\frac{1}{2}×BC×AB=12\mathrm{cm}^2$，
而矩形ABCD的面积$S_{ABCD}=BC×AB$，因此$S_{ABCD}=2×12=24\mathrm{cm}^2$。
【答案】
24
【知识点】
三角形面积计算，矩形的性质，等积变换
【点评】
本题的核心是利用面积比例关系求解，解题的关键是抓住中点带来的三角形面积倍数关系，以及三角形与矩形的面积对应关系，熟练掌握等积变换的思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件F是CE的中点入手，同顶点、底边共线的两个三角形高相等，面积比等于底边长的比，据此可先求出△BEC的面积；再分析△BEC与矩形ABCD的面积关系：△BEC以BC为底时，高等于矩形的宽AB，结合三角形和矩形的面积公式，可知△BEC的面积是矩形面积的一半，进而求出矩形的总面积。
【解析】
1. 求△BEC的面积：
∵F是CE的中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CE$，
△BFC和△BEC共享顶点B，底边CF、CE在同一条线段CE上，因此两个三角形的高相等，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时面积比等于底之比，可得：
$S_{△ BFC}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}$，
已知$S_{△ BFC}=6\mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ BEC}=2×6=12\mathrm{cm}^2$。
2. 求矩形ABCD的面积：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
E在AD上，因此E到BC的距离等于矩形的边AB的长度（平行线间距离处处相等），
△BEC以BC为底时，高为AB，
∴$S_{△ BEC}=\frac{1}{2}×BC×AB=12\mathrm{cm}^2$，
而矩形ABCD的面积$S_{ABCD}=BC×AB$，因此$S_{ABCD}=2×12=24\mathrm{cm}^2$。
【答案】
24
【知识点】
三角形面积计算，矩形的性质，等积变换
【点评】
本题的核心是利用面积比例关系求解，解题的关键是抓住中点带来的三角形面积倍数关系，以及三角形与矩形的面积对应关系，熟练掌握等积变换的思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，铁道口的栏杆AB的短臂OA=1.25 m，长臂OB=16.5 m，当短臂端点A下降0.85 m时，长臂端点
B升高多少？
下面是小明的解题过程：
“如图，连结$AA'$，$BB'$，$\because AO = A'O$，$BO = B'O$，$\therefore \frac{AO}{BO} = \frac{A'O}{B'O}$。又$∠1 = ∠2$，$\therefore △ AA'O ∽ △ BB'O$，有$\frac{AO}{BO} = \frac{AA'}{BB'}$。$\because AO = 1.25$，$BO = 16.5$，$AA' = 0.85$，$\therefore \frac{1.25}{16.5} = \frac{0.85}{BB'}$，解得$BB' = 11.22$，即长臂端点B升高了11.22 m。”
你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案。
B升高多少？
下面是小明的解题过程：
“如图，连结$AA'$，$BB'$，$\because AO = A'O$，$BO = B'O$，$\therefore \frac{AO}{BO} = \frac{A'O}{B'O}$。又$∠1 = ∠2$，$\therefore △ AA'O ∽ △ BB'O$，有$\frac{AO}{BO} = \frac{AA'}{BB'}$。$\because AO = 1.25$，$BO = 16.5$，$AA' = 0.85$，$\therefore \frac{1.25}{16.5} = \frac{0.85}{BB'}$，解得$BB' = 11.22$，即长臂端点B升高了11.22 m。”
你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案。
答案
10. 小明的解题过程不正确。正确解法如下:如图,过点$A'$作$A'D⊥AB$于点D,过点$B'$作$B'C⊥AB$于点C,$\therefore A'D// B'C,\therefore △ A'DO∽ △ B'CO,\therefore \frac{A'O}{OB'}=\frac{A'D}{B'C}$。由题意可知,$\frac{A'O}{OB'}=\frac{OA}{OB}=\frac{1.25}{16.5},\therefore \frac{A'D}{B'C}=\frac{1.25}{16.5},\therefore \frac{0.85}{B'C}=\frac{1.25}{16.5},\therefore B'C=11.22$,即长臂端点B升高了11.22 m
解析
【分析】
首先判断小明的解题过程是否正确：小明错误将线段$AA'$的长度等同于短臂端点A下降的距离，实际上“下降高度”“升高高度”都是点到水平直线AB的垂线段长度，不能直接用连线$AA'$、$BB'$计算。正确思路是：分别过$A'$、$B'$作AB的垂线，构造两个含对顶角的直角三角形，根据两角对应相等判定两个直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例计算B升高的高度。
【解析】
解：小明的解题过程不正确。正确解法如下：
过点$A'$作$A'D⊥AB$于点D，过点$B'$作$B'C⊥AB$于点C，
$\therefore ∠A'DO=∠B'CO=90°$，
又$\because ∠A'OD=∠B'OC$（对顶角相等），
$\therefore △A'DO ∽ △B'CO$，
$\therefore \frac{A'O}{B'O}=\frac{A'D}{B'C}$。
由题意得：$A'O=OA=1.25\mathrm{m}$，$B'O=OB=16.5\mathrm{m}$，$A'D=0.85\mathrm{m}$，代入比例式得：
$\frac{1.25}{16.5}=\frac{0.85}{B'C}$，
解得$B'C=\frac{16.5×0.85}{1.25}=11.22\mathrm{m}$。
【答案】
小明的解题过程不正确，长臂端点B升高了$\boldsymbol{11.22\mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题的易错点是混淆线段长度和垂直高度的概念，即便小明得到的数值结果巧合正确，但其解题逻辑不符合实际意义的要求，解题时需结合问题实际场景构造合适的几何模型，再运用对应性质求解。
【难度系数】
0.7
首先判断小明的解题过程是否正确：小明错误将线段$AA'$的长度等同于短臂端点A下降的距离，实际上“下降高度”“升高高度”都是点到水平直线AB的垂线段长度，不能直接用连线$AA'$、$BB'$计算。正确思路是：分别过$A'$、$B'$作AB的垂线，构造两个含对顶角的直角三角形，根据两角对应相等判定两个直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例计算B升高的高度。
【解析】
解：小明的解题过程不正确。正确解法如下：
过点$A'$作$A'D⊥AB$于点D，过点$B'$作$B'C⊥AB$于点C，
$\therefore ∠A'DO=∠B'CO=90°$，
又$\because ∠A'OD=∠B'OC$（对顶角相等），
$\therefore △A'DO ∽ △B'CO$，
$\therefore \frac{A'O}{B'O}=\frac{A'D}{B'C}$。
由题意得：$A'O=OA=1.25\mathrm{m}$，$B'O=OB=16.5\mathrm{m}$，$A'D=0.85\mathrm{m}$，代入比例式得：
$\frac{1.25}{16.5}=\frac{0.85}{B'C}$，
解得$B'C=\frac{16.5×0.85}{1.25}=11.22\mathrm{m}$。
【答案】
小明的解题过程不正确，长臂端点B升高了$\boldsymbol{11.22\mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题的易错点是混淆线段长度和垂直高度的概念，即便小明得到的数值结果巧合正确，但其解题逻辑不符合实际意义的要求，解题时需结合问题实际场景构造合适的几何模型，再运用对应性质求解。
【难度系数】
0.7
