1. 如图，$DE // BC$，$AG ⊥ BC$于点$G$，交$DE$于点$F$，$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{4}$，则$\frac{AD}{AB}=(\quad)$


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{16}$

1. B

【分析】
首先观察题干条件，已知$DE// BC$，可先推导$△ ADE$与$△ ABC$相似；又已知$AG⊥ BC$，结合$DE// BC$可推出$AF⊥ DE$，即$AF$、$AG$分别是两个相似三角形的对应高。根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比（对应边的比），因此代入已知的$\frac{AF}{AG}$的比值，即可求出$\frac{AD}{AB}$的结果。
【解析】
解：$\because DE// BC$
$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$
$\therefore △ ADE∽△ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\because AG⊥ BC$，$DE// BC$
$\therefore AF⊥ DE$，即$AF$是$△ ADE$的高，$AG$是$△ ABC$的高
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$
又$\because \frac{AF}{AG}=\frac{1}{4}$
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形相关性质的应用，解题关键是准确识别相似三角形的对应高，结合已知比值直接推导对应边的比值即可。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在$△ ABC$中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G。若$BG=6$，则$EG=$（）

A.4.5
B.4
C.3.5
D.3

2. D

【分析】
本题考查相似三角形的应用，解题思路如下：第一步，根据D、E分别是BC、AC的中点，可判定DE是△ABC的中位线，得到DE与AB平行且长度为AB的$\frac{1}{2}$；第二步，由平行线的性质可得两组对应角相等，判定△DGE和△AGB相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例得到BG与EG的比值，结合已知BG=6即可求出EG的长度。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// AB$，且$DE=\frac{1}{2}AB$，
∴$∠ GDE=∠ GAB$，$∠ GED=∠ GBA$，
∴$△ DGE ∽ △ AGB$，
∴$\frac{EG}{BG}=\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，
又
∵$BG=6$，
∴$EG=\frac{1}{2}BG=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】D
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是利用中位线得到平行关系，进而证明三角形相似，通过相似比求出线段长度，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8

3. 两个相似三角形的对应边上的中线长之比是1：5，那么这两个三角形的相似比是。

3. 1:5

【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的所有对应线段（包括对应边上的高、中线、对应角的角平分线等）的比值都与相似比相等。本题已知两个相似三角形对应边上的中线之比，直接对应性质就能推出相似比。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于两个三角形的相似比。
已知两个相似三角形对应边上的中线长之比为1:5，因此这两个三角形的相似比等于对应中线的比，即1:5。
【答案】
1:5
【知识点】
相似三角形的性质、相似比的概念
【点评】
本题是对相似三角形基础性质的直接考查，属于易得分的基础题型，只要熟练掌握相似三角形对应线段比与相似比的关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

4. 如图，在$△ ABC$中，AE是BC边上的中线，点G是$△ ABC$的重心，过点G作$GF // AB$交BC于点F，那么$\frac{EF}{EB}=$。

4. $\frac{1}{3}$

【分析】
解题时先回忆相关性质逐步推导：第一步，明确三角形重心的性质：重心是三角形三条中线的交点，分每条中线的比为2:1（重心到顶点的距离:重心到对边中点的距离=2:1）；第二步，由GF//AB可证得△EGF与△EAB相似，相似三角形对应边成比例；第三步，结合重心得到的线段比例，代入即可求出EF与EB的比值。
【解析】
解：
∵点G是△ABC的重心，AE是BC边上的中线，
∴AG:GE = 2:1，即$\frac{GE}{AE}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$。
∵GF//AB，
∴∠EGF=∠EAB，∠EFG=∠EBA（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠GEF=∠AEB（公共角），
∴△EGF∽△EAB（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{EF}{EB}=\frac{GE}{AE}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
三角形重心的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础常考题，将三角形重心性质和相似三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是熟练掌握重心分中线为2:1的性质，再结合平行线构造相似三角形即可求解。
【难度系数】
0.7

5.如图，G为$△ ABC$的重心，$GE ⊥ BC$，$AF ⊥ BC$，求$\frac{GE}{AF}$的值。

5. $\frac{GE}{AF}=\frac{1}{3}$

【分析】
解题时首先回忆三角形重心的性质：重心是三角形三条中线的交点，分每条中线为2:1的两段（重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍）。接下来观察已知条件，GE和AF都垂直于BC，可得GE//AF，可通过连接AG并延长交BC于D，构造出相似三角形△DGE和△DAF，利用相似三角形对应边成比例结合重心的比例关系即可求出比值。
【解析】
解：连接AG并延长，交BC于点D。
∵G是△ABC的重心，
∴D为BC的中点，且$\frac{DG}{DA}=\frac{1}{3}$。
∵$GE ⊥ BC$，$AF ⊥ BC$，
∴$∠ GED = ∠ AFD = 90°$，
∴$GE // AF$，
∴$△ DGE ∽ △ DAF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{GE}{AF}=\frac{DG}{DA}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
三角形重心的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是三角形重心性质与相似三角形的综合基础题，解题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，结合重心分中线的比例关系求解，是同类题型中较为典型的基础考法。
【难度系数】
0.7

6.如图,小明家客厅有一张直径为1.2米,高0.8米的圆桌BC,在距地面2米的A处有一盏灯,BC的影子为DE,依据题意建立平面直角坐标系,其中点D的坐标为$(2,0)$,则点E的坐标为（）


A.$(3.8,0)$
B.$(3.9,0)$
C.$(4,0)$
D.$(4.1,0)$

6. C

【分析】
首先根据题意确定点A坐标，且圆桌BC平行于地面所在的直线DE，可推出$△ ABC$与$△ ADE$相似。利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，先求出影子DE的长度，再结合D点坐标即可求出E点坐标；也可通过求直线解析式的方法求解，用相似三角形性质更简便。
【解析】
解：由题意得$A(0,2)$，$BC// DE$，$BC=1.2\ \mathrm{m}$，圆桌高0.8m，因此BC所在直线的纵坐标为0.8。
$\because BC// DE$
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$
根据相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比：
点A到BC的垂直距离为$2-0.8=1.2\ \mathrm{m}$，点A到DE的垂直距离为$2\ \mathrm{m}$，因此：
$\frac{BC}{DE}=\frac{1.2}{2}$
将$BC=1.2\ \mathrm{m}$代入得：$\frac{1.2}{DE}=\frac{1.2}{2}$，解得$DE=2\ \mathrm{m}$
已知$D(2,0)$，E在x轴正方向，因此E点横坐标为$2+2=4$，纵坐标为0，即$E(4,0)$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题结合生活场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是根据平行关系找到相似三角形，利用相似性质计算未知边长，也可通过一次函数解析式求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7