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29.1 如图29-1，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm.
（1）以点A为圆心、4 cm为半径作⊙A，判断点B，C，D与⊙A的位置关系；
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，直接写出⊙A的半径r的取值范围.
图29-1
（1）以点A为圆心、4 cm为半径作⊙A，判断点B，C，D与⊙A的位置关系；
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，直接写出⊙A的半径r的取值范围.
图29-1
答案
29.1 解：(1) 点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上.
(2) 3 cm＜r＜5 cm.
(2) 3 cm＜r＜5 cm.
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离与圆半径的大小：若距离d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。
(1) 先利用矩形性质得到边长关系，再用勾股定理求出点C到A的距离，最后分别将B、C、D到A的距离和半径4cm比较，即可判断三点的位置；
(2) 先确定B、C、D三点到A的最短距离和最长距离，要满足“至少一点在圆内、至少一点在圆外”，半径需介于最短距离和最长距离之间。
【解析】
(1) 连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4cm，∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$。
已知⊙A的半径r=4cm：
∵AB=3cm＜4cm，
∴点B在⊙A内；
∵AD=4cm=r，
∴点D在⊙A上；
∵AC=5cm＞4cm，
∴点C在⊙A外。
(2) B、C、D三点到点A的距离分别为3cm、5cm、4cm，最短距离为3cm，最长距离为5cm。
要使三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则半径r需大于最短距离3cm，小于最长距离5cm，即$3\mathrm{cm}＜r＜5\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；
(2) 3 cm＜r＜5 cm
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是牢记点和圆位置关系的判定规则，结合几何图形性质计算对应线段长度即可求解，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离与圆半径的大小：若距离d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。
(1) 先利用矩形性质得到边长关系，再用勾股定理求出点C到A的距离，最后分别将B、C、D到A的距离和半径4cm比较，即可判断三点的位置；
(2) 先确定B、C、D三点到A的最短距离和最长距离，要满足“至少一点在圆内、至少一点在圆外”，半径需介于最短距离和最长距离之间。
【解析】
(1) 连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4cm，∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$。
已知⊙A的半径r=4cm：
∵AB=3cm＜4cm，
∴点B在⊙A内；
∵AD=4cm=r，
∴点D在⊙A上；
∵AC=5cm＞4cm，
∴点C在⊙A外。
(2) B、C、D三点到点A的距离分别为3cm、5cm、4cm，最短距离为3cm，最长距离为5cm。
要使三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则半径r需大于最短距离3cm，小于最长距离5cm，即$3\mathrm{cm}＜r＜5\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；
(2) 3 cm＜r＜5 cm
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是牢记点和圆位置关系的判定规则，结合几何图形性质计算对应线段长度即可求解，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
29.2 如图29-2，有一座圆弧形拱桥，它的水面跨度AB为60 m，拱高PM为18 m，当水面升高到水面跨度只有30 m时，就要采取紧急措施。若某次水面升高后，拱顶离水面只有4 m，即PN=4 m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。
图29-2
图29-2
答案
29.2 解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，升高后的水面跨度为A'B'，A'B'与PM交于点N，连接OA，OA'，OM.
设圆弧所在圆的半径为x m，则OA=OA'=OP=x m.
由垂径定理可知AM=BM，A'N=B'N.
∵AB=60 m，
∴AM=30 m，且OM=OP-PM=(x-18)m.
在Rt△AOM中，AO²=OM²+AM²，
即x²=(x-18)²+30².
解得x=34.
∴ON=OP-PN=34-4=30(m).
在Rt△A'ON中，A'N²=34²-30²=16².
∴A'N=16 m.
∴A'B'=2A'N=32 m＞30 m.
∴不需要采取紧急措施.
解析
【分析】
这是圆弧形拱桥的实际应用问题，解题思路如下：首先这类涉及圆弧弦长、拱高的问题，优先考虑运用垂径定理求解；第一步先确定圆弧所在圆的圆心，连接半径构造直角三角形；第二步设圆的半径为未知数，结合原水面跨度、拱高，利用勾股定理列方程求出半径；第三步根据拱顶距水面的高度求出新的弦心距，再次用勾股定理计算出此时水面的半跨度，进而得到总跨度；最后将总跨度和30m对比，判断是否需要采取紧急措施。
【解析】
解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，升高后的水面跨度为A'B'，A'B'与PM交于点N，连接OA，OA'，OM.
设圆弧所在圆的半径为x m，则OA=OA'=OP=x m.
由垂径定理可知AM=BM，A'N=B'N.
∵AB=60 m，
∴AM=30 m，且OM=OP-PM=(x-18)m.
在Rt△AOM中，根据勾股定理得AO²=OM²+AM²，
即x²=(x-18)²+30²，
解得x=34.
∴ON=OP-PN=34-4=30(m).
在Rt△A'ON中，根据勾股定理得A'N²=OA'²-ON²=34²-30²=16²，
∴A'N=16 m，
∴A'B'=2A'N=32 m＞30 m，
因此不需要采取紧急措施。
【答案】
解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，升高后的水面跨度为A'B'，A'B'与PM交于点N，连接OA，OA'，OM.
设圆弧所在圆的半径为x m，则OA=OA'=OP=x m.
由垂径定理可知AM=BM，A'N=B'N.
∵AB=60 m，
∴AM=30 m，且OM=OP-PM=(x-18)m.
在Rt△AOM中，AO²=OM²+AM²，
即x²=(x-18)²+30².
解得x=34.
∴ON=OP-PN=34-4=30(m).
在Rt△A'ON中，A'N²=34²-30²=16².
∴A'N=16 m.
∴A'B'=2A'N=32 m＞30 m.
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的性质
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的典型应用，核心解题思路是通过添加辅助线构造直角三角形，结合方程思想将实际问题转化为几何计算问题，能够有效考查学生的数学建模与运算能力。
【难度系数】
0.7
这是圆弧形拱桥的实际应用问题，解题思路如下：首先这类涉及圆弧弦长、拱高的问题，优先考虑运用垂径定理求解；第一步先确定圆弧所在圆的圆心，连接半径构造直角三角形；第二步设圆的半径为未知数，结合原水面跨度、拱高，利用勾股定理列方程求出半径；第三步根据拱顶距水面的高度求出新的弦心距，再次用勾股定理计算出此时水面的半跨度，进而得到总跨度；最后将总跨度和30m对比，判断是否需要采取紧急措施。
【解析】
解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，升高后的水面跨度为A'B'，A'B'与PM交于点N，连接OA，OA'，OM.
设圆弧所在圆的半径为x m，则OA=OA'=OP=x m.
由垂径定理可知AM=BM，A'N=B'N.
∵AB=60 m，
∴AM=30 m，且OM=OP-PM=(x-18)m.
在Rt△AOM中，根据勾股定理得AO²=OM²+AM²，
即x²=(x-18)²+30²，
解得x=34.
∴ON=OP-PN=34-4=30(m).
在Rt△A'ON中，根据勾股定理得A'N²=OA'²-ON²=34²-30²=16²，
∴A'N=16 m，
∴A'B'=2A'N=32 m＞30 m，
因此不需要采取紧急措施。
【答案】
解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，升高后的水面跨度为A'B'，A'B'与PM交于点N，连接OA，OA'，OM.
设圆弧所在圆的半径为x m，则OA=OA'=OP=x m.
由垂径定理可知AM=BM，A'N=B'N.
∵AB=60 m，
∴AM=30 m，且OM=OP-PM=(x-18)m.
在Rt△AOM中，AO²=OM²+AM²，
即x²=(x-18)²+30².
解得x=34.
∴ON=OP-PN=34-4=30(m).
在Rt△A'ON中，A'N²=34²-30²=16².
∴A'N=16 m.
∴A'B'=2A'N=32 m＞30 m.
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的性质
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的典型应用，核心解题思路是通过添加辅助线构造直角三角形，结合方程思想将实际问题转化为几何计算问题，能够有效考查学生的数学建模与运算能力。
【难度系数】
0.7
29.3 如图29-3，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$O$为线段$AB$的中点，以$O$为圆心、$OB$长为半径的圆与边$BC$，$AC$分别交于$D$，$E$两点.
（1）探究$BD$与$CD$的数量关系，并说明理由；
（2）连接$OD$，$DE$，若四边形$AODE$为菱形，$BC=8$，求阴影部分的面积.
图29-3
（1）探究$BD$与$CD$的数量关系，并说明理由；
（2）连接$OD$，$DE$，若四边形$AODE$为菱形，$BC=8$，求阴影部分的面积.
图29-3
答案
29.3 解：(1) BD=CD. 理由如下：
如图，连接AD.
∵O为线段AB的中点，OB长为半径，
∴AB是⊙O的直径.
∴∠ADB=90°.
∵AB=AC，
∴BD=CD.
(2) 如图，连接OE，交AD于点M，则OE=OD=OA=OB.
∵四边形AODE为菱形，
∴DE=OD=AE=OA，OM=$\frac{1}{2}$OE，$AD⊥OE$.
∴DE=OD=OE=AE=OA.
∴△ODE和△OEA为等边三角形.
∴∠AOE=∠DOE=60°.
∴∠DOB=60°.
∴△BOD为等边三角形.
∴OB=OD=BD=$\frac{1}{2}BC=4$.
∴OB=OE=4.
∴OM=$\frac{1}{2}OE=2$.
在Rt△ODM中，由勾股定理，得$DM^2=OD^2-OM^2$.
∴$DM=2\sqrt{3}$.
∴$S_{扇形ODE}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8}{3}π$，$S_{△ODE}=\frac{1}{2}DM·OE=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×4=4\sqrt{3}$.
∴$S_{阴影}=2(S_{扇形ODE}-S_{△ODE})=2×(\frac{8}{3}π-4\sqrt{3})=\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$.
解析
【分析】
（1）要判断BD与CD的数量关系，已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，若能证明AD⊥BC，即可通过等腰三角形三线合一得到D是BC中点。由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，连接AD即可得到∠ADB=90°，进而推出结论。
（2）阴影部分是两个对称的弓形，弓形面积可通过“扇形面积-对应三角形面积”计算。先结合菱形AODE四边相等的性质，推出△ODE、△OAE为等边三角形，得到圆心角∠DOE=60°，再结合第一问结论得到半径长度，分别计算扇形和三角形的面积，乘2即可得到阴影总面积。
【解析】
(1) $BD=CD$，理由如下：
如图，连接AD。
∵O为线段AB的中点，OB长为半径，
∴AB是⊙O的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
又
∵$AB=AC$，△ABC为等腰三角形，
∴AD是BC边上的中线，即$BD=CD$。
(2) 连接OE，交AD于点M，则$OE=OD=OA=OB$。
∵四边形AODE为菱形，
∴$DE=OD=AE=OA$，$OM=\frac{1}{2}OE$，$AD⊥ OE$，
∴$DE=OD=OE=AE=OA$，
∴△ODE和△OEA为等边三角形，
∴$∠ AOE=∠ DOE=60°$，
∴$∠ DOB=180°-∠ AOE-∠ DOE=60°$，
∴△BOD为等边三角形，$OB=OD=BD$。
由(1)可知$BD=\frac{1}{2}BC$，已知$BC=8$，
∴$BD=4$，即$OB=OE=4$，
∴$OM=\frac{1}{2}OE=2$。
在Rt△ODM中，由勾股定理得：
$DM=\sqrt{OD^2-OM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
扇形ODE的面积：$S_{扇形ODE}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8}{3}π$，
△ODE的面积：$S_{△ODE}=\frac{1}{2}× OE× DM=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
阴影部分为2个弓形的面积和：
$S_{阴影}=2(S_{扇形ODE}-S_{△ODE})=2×(\frac{8}{3}π-4\sqrt{3})=\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=CD}$，理由见解析；
(2) 阴影部分的面积为$\boldsymbol{\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}}$。
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、特殊三角形的判定与性质、菱形的性质以及不规则图形面积计算，解题关键是合理添加辅助线，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要判断BD与CD的数量关系，已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，若能证明AD⊥BC，即可通过等腰三角形三线合一得到D是BC中点。由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，连接AD即可得到∠ADB=90°，进而推出结论。
（2）阴影部分是两个对称的弓形，弓形面积可通过“扇形面积-对应三角形面积”计算。先结合菱形AODE四边相等的性质，推出△ODE、△OAE为等边三角形，得到圆心角∠DOE=60°，再结合第一问结论得到半径长度，分别计算扇形和三角形的面积，乘2即可得到阴影总面积。
【解析】
(1) $BD=CD$，理由如下：
如图，连接AD。
∵O为线段AB的中点，OB长为半径，
∴AB是⊙O的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
又
∵$AB=AC$，△ABC为等腰三角形，
∴AD是BC边上的中线，即$BD=CD$。
(2) 连接OE，交AD于点M，则$OE=OD=OA=OB$。
∵四边形AODE为菱形，
∴$DE=OD=AE=OA$，$OM=\frac{1}{2}OE$，$AD⊥ OE$，
∴$DE=OD=OE=AE=OA$，
∴△ODE和△OEA为等边三角形，
∴$∠ AOE=∠ DOE=60°$，
∴$∠ DOB=180°-∠ AOE-∠ DOE=60°$，
∴△BOD为等边三角形，$OB=OD=BD$。
由(1)可知$BD=\frac{1}{2}BC$，已知$BC=8$，
∴$BD=4$，即$OB=OE=4$，
∴$OM=\frac{1}{2}OE=2$。
在Rt△ODM中，由勾股定理得：
$DM=\sqrt{OD^2-OM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
扇形ODE的面积：$S_{扇形ODE}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8}{3}π$，
△ODE的面积：$S_{△ODE}=\frac{1}{2}× OE× DM=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
阴影部分为2个弓形的面积和：
$S_{阴影}=2(S_{扇形ODE}-S_{△ODE})=2×(\frac{8}{3}π-4\sqrt{3})=\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=CD}$，理由见解析；
(2) 阴影部分的面积为$\boldsymbol{\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}}$。
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、特殊三角形的判定与性质、菱形的性质以及不规则图形面积计算，解题关键是合理添加辅助线，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
