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9. (教材习题 1.2T12 变式)如图 1 - 2 - 17，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的 M 处，它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行，2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40°方向的 N 处，则 N 处与灯塔 P 的距离为
80
海里。答案
9. 80
10. 如图 1 - 2 - 18，∠AOB = 60°，OC 平分∠AOB，P 为射线 OC 上的一点，如果射线 OA 上的点 D 满足△OPD 是等腰三角形，那么∠ODP 的度数为 
120°或75°或30°
。答案
10. 120°或75°或30°
11. 如图 1 - 2 - 19，在锐角三角形 ABC 中，E 是 AB 边上一点，BE = CE，AD⊥BC 于点 D，AD 与 EC 交于点 G。
(1)求证：△AEG 是等腰三角形；
(2)若 BE = 10，CD = 3，G 为 CE 中点，则 AG 的长为
(1)求证：△AEG 是等腰三角形；
(2)若 BE = 10，CD = 3，G 为 CE 中点，则 AG 的长为
8
。答案
11. 解:(1)证明:
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,∠DCG+∠DGC=90°.
∵EB=EC,
∴∠B=∠DCG,
∴∠BAD=∠DGC.
又
∵∠AGE=∠DGC,
∴∠BAD=∠AGE,
∴△AEG是等腰三角形.
(2)8
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,∠DCG+∠DGC=90°.
∵EB=EC,
∴∠B=∠DCG,
∴∠BAD=∠DGC.
又
∵∠AGE=∠DGC,
∴∠BAD=∠AGE,
∴△AEG是等腰三角形.
(2)8
12. 核心素养 模型观念 如图 1 - 2 - 20①，AD 平分∠EAC，AD//BC，易证△ABC 是等腰三角形。
【变式探究】
(1)如图②，把一张长方形的纸沿对角线 AC 折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
【形成经验】
当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形。
【经验应用】
(2)如图③，AD//BC，AD 平分∠EAC，CD 平分∠ACF，试探究线段 AB 与线段 AD 的数量关系，并说明理由。
【拓展提升】
(3)如图④，在四边形 ABCD 中，AD//BC，E 为 CD 的中点，且 AE 平分∠BAD，连接 BE，则线段 AD，BC 和 AB 之间的数量关系为
【变式探究】
(1)如图②，把一张长方形的纸沿对角线 AC 折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
【形成经验】
当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形。
【经验应用】
(2)如图③，AD//BC，AD 平分∠EAC，CD 平分∠ACF，试探究线段 AB 与线段 AD 的数量关系，并说明理由。
【拓展提升】
(3)如图④，在四边形 ABCD 中，AD//BC，E 为 CD 的中点，且 AE 平分∠BAD，连接 BE，则线段 AD，BC 和 AB 之间的数量关系为
AB=AD+BC
。答案
12. 解:(1)重合部分是一个等腰三角形.理由如下:
由题意可知,四边形ABCD是长方形,
∴DC//AB,
∴∠ACD=∠BAC.
∵把一张长方形的纸沿对角线AC折叠,
∴∠BAC=∠B'AC,
∴∠ACD=∠B'AC,
∴AE=CE,
∴△ACE是等腰三角形.
(2)AB=AD.理由如下:
∵AD//BC,
∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠ACB.
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠DAC,
∴∠B=∠ACB,
∴AB=AC.
∵AD//BC,
∴∠D=∠DCF.
∵CD平分∠ACF,
∴∠DCA=∠DCF,
∴∠DCA=∠D,
∴AC=AD,
∴AB=AD.
(3)AB=AD+BC
由题意可知,四边形ABCD是长方形,
∴DC//AB,
∴∠ACD=∠BAC.
∵把一张长方形的纸沿对角线AC折叠,
∴∠BAC=∠B'AC,
∴∠ACD=∠B'AC,
∴AE=CE,
∴△ACE是等腰三角形.
(2)AB=AD.理由如下:
∵AD//BC,
∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠ACB.
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠DAC,
∴∠B=∠ACB,
∴AB=AC.
∵AD//BC,
∴∠D=∠DCF.
∵CD平分∠ACF,
∴∠DCA=∠DCF,
∴∠DCA=∠D,
∴AC=AD,
∴AB=AD.
(3)AB=AD+BC
