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3. 因式分解$x^{2}+mx-12=(x+2)(x+n)$,其中$m$,$n$都为整数,则$m$的值是(
A.$-6$
B.$-5$
C.$-4$
D.$4$
C
)。A.$-6$
B.$-5$
C.$-4$
D.$4$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用因式分解与整式乘法的互逆关系来思考：将等式右边的多项式展开，然后根据等式两边对应项的系数相等建立方程，先求出整数n的值，再代入计算m的值。具体步骤为：首先回忆多项式乘多项式的法则，展开$(x+2)(x+n)$；接着对比等式左右两边的常数项，求出n；最后根据一次项系数的关系算出m，再匹配选项即可。
【解析】
1. 利用多项式乘多项式法则展开等式右边：
$(x+2)(x+n) = x^2 + nx + 2x + 2n = x^2 + (n+2)x + 2n$
2. 根据等式$x^2+mx-12 = x^2+(n+2)x+2n$，等式两边对应项系数相等：
常数项对应相等：$2n = -12$，解得$n = -6$
一次项系数对应相等：$m = n + 2$，将$n=-6$代入得：$m = -6 + 2 = -4$
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式法则、因式分解与整式乘法互逆、待定系数法
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆应用，核心是利用多项式展开后对应项系数相等求解参数，题目难度较低，需熟练掌握多项式乘法运算，确保计算准确。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以利用因式分解与整式乘法的互逆关系来思考：将等式右边的多项式展开，然后根据等式两边对应项的系数相等建立方程，先求出整数n的值，再代入计算m的值。具体步骤为：首先回忆多项式乘多项式的法则，展开$(x+2)(x+n)$；接着对比等式左右两边的常数项，求出n；最后根据一次项系数的关系算出m，再匹配选项即可。
【解析】
1. 利用多项式乘多项式法则展开等式右边：
$(x+2)(x+n) = x^2 + nx + 2x + 2n = x^2 + (n+2)x + 2n$
2. 根据等式$x^2+mx-12 = x^2+(n+2)x+2n$，等式两边对应项系数相等：
常数项对应相等：$2n = -12$，解得$n = -6$
一次项系数对应相等：$m = n + 2$，将$n=-6$代入得：$m = -6 + 2 = -4$
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式法则、因式分解与整式乘法互逆、待定系数法
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆应用，核心是利用多项式展开后对应项系数相等求解参数，题目难度较低，需熟练掌握多项式乘法运算，确保计算准确。
【难度系数】
0.8
4. 如图,四边形$ABCD$是一个长方形,根据图中所标注的线段长度表示长方形$ABCD$的面积,可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为
m²+2mn=m(m+2n)
。答案
4. m²+2mn=m(m+2n)
解析
【分析】
要得到这个代数恒等式，我们可以从长方形面积的两种计算方法入手：
1. 先看整体：长方形ABCD的长是$ m + n + n = m + 2n $，宽是$ m $，根据长方形面积公式，整体面积为长×宽，即$ m(m+2n) $；
2. 再看拆分：把长方形分成一个边长为$ m $的正方形和两个长为$ m $、宽为$ n $的长方形，它们的面积分别是$ m^2 $、$ mn $、$ mn $，加起来总面积是$ m^2 + 2mn $；
3. 因为这两种方法计算的是同一个长方形的面积，所以这两个表达式相等，从而得到因式分解的恒等式。
【解析】
1. 计算长方形ABCD的整体面积：
长方形的长为 $ AD = m + n + n = m + 2n $，宽为 $ AB = m $，
根据长方形面积公式 $ S = 长×宽 $，可得整体面积 $ S = m(m + 2n) $；
2. 计算拆分后的图形面积和：
左边正方形面积为 $ m^2 $，右边两个长方形的面积均为 $ mn $，
所以总面积 $ S = m^2 + mn + mn = m^2 + 2mn $；
3. 由于两种方法表示的是同一个长方形的面积，因此：
$ m^2 + 2mn = m(m + 2n) $
【答案】
$ m^2+2mn=m(m+2n) $
【知识点】
提公因式法因式分解；长方形面积公式
【点评】
本题通过“数形结合”的思想，利用长方形面积的两种不同计算方式，直观地推导得出因式分解的代数恒等式，既帮助理解整式乘法与因式分解的互逆关系，也体现了几何图形在代数问题中的辅助作用。
【难度系数】
0.9
要得到这个代数恒等式，我们可以从长方形面积的两种计算方法入手：
1. 先看整体：长方形ABCD的长是$ m + n + n = m + 2n $，宽是$ m $，根据长方形面积公式，整体面积为长×宽，即$ m(m+2n) $；
2. 再看拆分：把长方形分成一个边长为$ m $的正方形和两个长为$ m $、宽为$ n $的长方形，它们的面积分别是$ m^2 $、$ mn $、$ mn $，加起来总面积是$ m^2 + 2mn $；
3. 因为这两种方法计算的是同一个长方形的面积，所以这两个表达式相等，从而得到因式分解的恒等式。
【解析】
1. 计算长方形ABCD的整体面积：
长方形的长为 $ AD = m + n + n = m + 2n $，宽为 $ AB = m $，
根据长方形面积公式 $ S = 长×宽 $，可得整体面积 $ S = m(m + 2n) $；
2. 计算拆分后的图形面积和：
左边正方形面积为 $ m^2 $，右边两个长方形的面积均为 $ mn $，
所以总面积 $ S = m^2 + mn + mn = m^2 + 2mn $；
3. 由于两种方法表示的是同一个长方形的面积，因此：
$ m^2 + 2mn = m(m + 2n) $
【答案】
$ m^2+2mn=m(m+2n) $
【知识点】
提公因式法因式分解；长方形面积公式
【点评】
本题通过“数形结合”的思想，利用长方形面积的两种不同计算方式，直观地推导得出因式分解的代数恒等式，既帮助理解整式乘法与因式分解的互逆关系，也体现了几何图形在代数问题中的辅助作用。
【难度系数】
0.9
5. 下列从左到右的变形,其中是因式分解的是
①$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$;
②$a^{2}+1=a(a+\frac{1}{a})$;
③$21a^{3}b^{2}=3a^{2}b^{2}· 7a$;
④$(3m+n)(3m-n)=9m^{2}-n^{2}$;
⑤$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$;
⑥$a^{2}-2ab+b^{2}-1=(a-b)^{2}-1$。
①⑤
。(填序号)①$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$;
②$a^{2}+1=a(a+\frac{1}{a})$;
③$21a^{3}b^{2}=3a^{2}b^{2}· 7a$;
④$(3m+n)(3m-n)=9m^{2}-n^{2}$;
⑤$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$;
⑥$a^{2}-2ab+b^{2}-1=(a-b)^{2}-1$。
答案
5.①⑤
解析
【分析】
要判断哪些变形是因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需紧扣三个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积；③是从多项式的和（差）形式转化为积的形式。接下来我们逐个分析每个式子：
1. 先看式子的起点是否为多项式；
2. 再看变形后的结果是否为整式的积；
3. 注意区分因式分解和整式乘法（整式乘法是从积到和的变形，与因式分解方向相反）。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。对每个式子逐一判断：
①$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$：左边是多项式，右边是整式$(x-1)$与自身的乘积，符合因式分解的定义；
②$a^{2}+1=a(a+\frac{1}{a})$：右边的$\frac{1}{a}$不是整式（整式为单项式和多项式的统称，分母不含字母），不符合因式分解的定义；
③$21a^{3}b^{2}=3a^{2}b^{2}· 7a$：左边是单项式，因式分解的对象是多项式，不符合定义；
④$(3m+n)(3m-n)=9m^{2}-n^{2}$：这是整式乘法运算，是从积到和的变形，与因式分解（和到积）的变形方向相反，不符合；
⑤$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义；
⑥$a^{2}-2ab+b^{2}-1=(a-b)^{2}-1$：右边仍是差的形式，没有转化为几个整式的积，不符合定义。
综上，属于因式分解的是①⑤。
【答案】
①⑤
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题主要考查对因式分解定义的理解，解题关键是紧扣定义的三个核心要点：对象是多项式、结果是整式的积、变形方向是和（差）化积。需注意区分因式分解与整式乘法，同时要确保分解后的因式均为整式，避免出现分式形式的因式。
【难度系数】
0.8
要判断哪些变形是因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需紧扣三个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积；③是从多项式的和（差）形式转化为积的形式。接下来我们逐个分析每个式子：
1. 先看式子的起点是否为多项式；
2. 再看变形后的结果是否为整式的积；
3. 注意区分因式分解和整式乘法（整式乘法是从积到和的变形，与因式分解方向相反）。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。对每个式子逐一判断：
①$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$：左边是多项式，右边是整式$(x-1)$与自身的乘积，符合因式分解的定义；
②$a^{2}+1=a(a+\frac{1}{a})$：右边的$\frac{1}{a}$不是整式（整式为单项式和多项式的统称，分母不含字母），不符合因式分解的定义；
③$21a^{3}b^{2}=3a^{2}b^{2}· 7a$：左边是单项式，因式分解的对象是多项式，不符合定义；
④$(3m+n)(3m-n)=9m^{2}-n^{2}$：这是整式乘法运算，是从积到和的变形，与因式分解（和到积）的变形方向相反，不符合；
⑤$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义；
⑥$a^{2}-2ab+b^{2}-1=(a-b)^{2}-1$：右边仍是差的形式，没有转化为几个整式的积，不符合定义。
综上，属于因式分解的是①⑤。
【答案】
①⑤
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题主要考查对因式分解定义的理解，解题关键是紧扣定义的三个核心要点：对象是多项式、结果是整式的积、变形方向是和（差）化积。需注意区分因式分解与整式乘法，同时要确保分解后的因式均为整式，避免出现分式形式的因式。
【难度系数】
0.8
6. 若多项式$x^{2}+ax+b$因式分解的结果为$(x+2)(x-3)$,则$a+b$的值为
-7
。答案
6.-7
解析
【分析】
要解决这道题，需利用因式分解与整式乘法的互逆关系。已知多项式因式分解的结果，先将分解后的式子通过整式乘法展开，得到原多项式的形式，再根据多项式相等时对应项系数相等的原则，求出a和b的值，最后计算a+b即可。具体思路为：先展开右边乘积，再对比系数确定a、b，最后求和。
【解析】
1. 展开因式分解的结果：
$\begin{aligned}(x+2)(x-3)&=x· x + x·(-3) + 2· x + 2·(-3)\\&=x^2 - 3x + 2x - 6\\&=x^2 - x - 6\end{aligned}$
2. 对比原多项式$x^2+ax+b$与展开后的式子$x^2 - x - 6$，根据多项式相等对应系数相等的原则，可得：
$a=-1$，$b=-6$
3. 计算$a+b$的值：
$a+b=(-1)+(-6)=-7$
【答案】
-7
【知识点】
多项式乘法、因式分解与整式乘法互逆、对应系数相等
【点评】
本题主要考查因式分解与整式乘法的互逆运算，以及多项式相等的性质。解题关键是熟练掌握多项式乘法法则，通过展开分解式找到对应系数，进而求出参数值，属于基础题型，有助于巩固整式运算与因式分解的相关知识。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需利用因式分解与整式乘法的互逆关系。已知多项式因式分解的结果，先将分解后的式子通过整式乘法展开，得到原多项式的形式，再根据多项式相等时对应项系数相等的原则，求出a和b的值，最后计算a+b即可。具体思路为：先展开右边乘积，再对比系数确定a、b，最后求和。
【解析】
1. 展开因式分解的结果：
$\begin{aligned}(x+2)(x-3)&=x· x + x·(-3) + 2· x + 2·(-3)\\&=x^2 - 3x + 2x - 6\\&=x^2 - x - 6\end{aligned}$
2. 对比原多项式$x^2+ax+b$与展开后的式子$x^2 - x - 6$，根据多项式相等对应系数相等的原则，可得：
$a=-1$，$b=-6$
3. 计算$a+b$的值：
$a+b=(-1)+(-6)=-7$
【答案】
-7
【知识点】
多项式乘法、因式分解与整式乘法互逆、对应系数相等
【点评】
本题主要考查因式分解与整式乘法的互逆运算，以及多项式相等的性质。解题关键是熟练掌握多项式乘法法则，通过展开分解式找到对应系数，进而求出参数值，属于基础题型，有助于巩固整式运算与因式分解的相关知识。
【难度系数】
0.8
7. 已知二次三项式$x^{2}-4x+m$有一个因式是$(x+3)$,求另一个因式以及$m$的值。
答案
解:设另一个因式为x+a,
则(x+3)(x+a)=x²+(3+a)x+3a,
因为x²-4x+m=(x+3)(x+a),
所以3+a=-4,3a=m,
所以a=-7,m=-21,
即另一个因式为x-7,m=-21。
则(x+3)(x+a)=x²+(3+a)x+3a,
因为x²-4x+m=(x+3)(x+a),
所以3+a=-4,3a=m,
所以a=-7,m=-21,
即另一个因式为x-7,m=-21。
解析
【分析】
本题可利用因式分解与多项式乘法的互逆关系求解。由于原二次三项式的二次项系数为1，已知一个因式是一次式$(x+3)$，因此另一个因式也为一次式且一次项系数为1，可设为$(x+a)$。将两个因式相乘展开后，与原二次三项式的对应项系数相等，据此建立方程就能求出$a$和$m$的值，进而得到另一个因式。
【解析】
设另一个因式为$x+a$，
根据多项式乘法法则展开得：
$(x+3)(x+a)=x^2+(3+a)x+3a$
因为二次三项式$x^2 - 4x + m$有一个因式是$(x+3)$，所以：
$x^2 - 4x + m=(x+3)(x+a)$
根据多项式相等则对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases}3+a=-4\\3a=m\end{cases}$
解第一个方程：$a=-4 - 3=-7$
将$a=-7$代入第二个方程：$m=3×(-7)=-21$
即另一个因式为$x - 7$，$m$的值为$-21$。
【答案】
另一个因式为$x-7$，$m=-21$
【知识点】
多项式乘法、因式分解逆运算、对应项系数相等
【点评】
本题考查因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题核心是通过设未知因式，利用对应项系数相等建立方程求解，体现了方程思想的应用，能帮助巩固多项式乘法法则和因式分解的相关知识。
【难度系数】
0.7
本题可利用因式分解与多项式乘法的互逆关系求解。由于原二次三项式的二次项系数为1，已知一个因式是一次式$(x+3)$，因此另一个因式也为一次式且一次项系数为1，可设为$(x+a)$。将两个因式相乘展开后，与原二次三项式的对应项系数相等，据此建立方程就能求出$a$和$m$的值，进而得到另一个因式。
【解析】
设另一个因式为$x+a$，
根据多项式乘法法则展开得：
$(x+3)(x+a)=x^2+(3+a)x+3a$
因为二次三项式$x^2 - 4x + m$有一个因式是$(x+3)$，所以：
$x^2 - 4x + m=(x+3)(x+a)$
根据多项式相等则对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases}3+a=-4\\3a=m\end{cases}$
解第一个方程：$a=-4 - 3=-7$
将$a=-7$代入第二个方程：$m=3×(-7)=-21$
即另一个因式为$x - 7$，$m$的值为$-21$。
【答案】
另一个因式为$x-7$，$m=-21$
【知识点】
多项式乘法、因式分解逆运算、对应项系数相等
【点评】
本题考查因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题核心是通过设未知因式，利用对应项系数相等建立方程求解，体现了方程思想的应用，能帮助巩固多项式乘法法则和因式分解的相关知识。
【难度系数】
0.7
8. 仔细阅读下面例题,解答问题:
答案
解：(1)原式=(a²+4ab+4b²)-9
=(a+2b)²-3²
=(a+2b+3)(a+2b-3)
(2)原式=(x²-y²)+(x-y)
=(x+y)(x-y)+(x-y)
=(x-y)(x+y+1)
=(a+2b)²-3²
=(a+2b+3)(a+2b-3)
(2)原式=(x²-y²)+(x-y)
=(x+y)(x-y)+(x-y)
=(x-y)(x+y+1)
解析
【分析】
对于第(1)题，先观察式子结构，前三项$a²+4ab+4b²$符合完全平方公式的形式，先将其转化为完全平方形式，此时整个式子变为平方差的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可。
对于第(2)题，可采用分组分解法，把前两项$x²-y²$分为一组，利用平方差公式分解，后一项$x-y$作为另一组，分解后两组式子存在公因式$(x-y)$，最后提取公因式完成因式分解。
【解析】
(1) 原式$=(a²+4ab+4b²)-9$
$=(a+2b)²-3²$
$=(a+2b+3)(a+2b-3)$
(2) 原式$=(x²-y²)+(x-y)$
$=(x+y)(x-y)+(x-y)$
$=(x-y)(x+y+1)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+2b+3)(a+2b-3)}$；(2) $\boldsymbol{(x-y)(x+y+1)}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，分组分解法
【点评】
本题考查因式分解的多种方法，需根据式子结构特征选择合适的分解策略，既考查了乘法公式的灵活运用，也考查了分组分解的技巧，是因式分解的基础题型，有助于提升学生对因式分解方法的掌握程度。
【难度系数】
0.6
对于第(1)题，先观察式子结构，前三项$a²+4ab+4b²$符合完全平方公式的形式，先将其转化为完全平方形式，此时整个式子变为平方差的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可。
对于第(2)题，可采用分组分解法，把前两项$x²-y²$分为一组，利用平方差公式分解，后一项$x-y$作为另一组，分解后两组式子存在公因式$(x-y)$，最后提取公因式完成因式分解。
【解析】
(1) 原式$=(a²+4ab+4b²)-9$
$=(a+2b)²-3²$
$=(a+2b+3)(a+2b-3)$
(2) 原式$=(x²-y²)+(x-y)$
$=(x+y)(x-y)+(x-y)$
$=(x-y)(x+y+1)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+2b+3)(a+2b-3)}$；(2) $\boldsymbol{(x-y)(x+y+1)}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，分组分解法
【点评】
本题考查因式分解的多种方法，需根据式子结构特征选择合适的分解策略，既考查了乘法公式的灵活运用，也考查了分组分解的技巧，是因式分解的基础题型，有助于提升学生对因式分解方法的掌握程度。
【难度系数】
0.6
例题:已知二次三项式$x^{2}-4x+m$因式分解后有一个因式是$(x+3)$,求另一个因式以及$m$的值。
解:设另一个因式为$(x+n)$,得$x^{2}-4x+m=(x+3)(x+n)$,则$x^{2}-4x+m=x^{2}+(n+3)x+3n$,
所以$\begin{cases}n+3=-4,\\m=3n。\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-21,\\n=-7。\end{cases}$
所以另一个因式为$(x-7)$,$m$的值为$-21$。
请仿照上述方法解答下面问题:
(1)若$x^{2}+bx+c=(x+2)(x-3)$,则$b=$
(2)已知二次三项式$8x^{2}-14x-k$分解因式后有一个因式是$(2x-3)$,求另一个因式以及$k$的值;
(3)已知二次三项式$6x^{2}+4ax+2$有一个因式是$(2x+a)$,$a$是正整数,求另一个因式以及$a$的值。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
解:设另一个因式为$(x+n)$,得$x^{2}-4x+m=(x+3)(x+n)$,则$x^{2}-4x+m=x^{2}+(n+3)x+3n$,
所以$\begin{cases}n+3=-4,\\m=3n。\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-21,\\n=-7。\end{cases}$
所以另一个因式为$(x-7)$,$m$的值为$-21$。
请仿照上述方法解答下面问题:
(1)若$x^{2}+bx+c=(x+2)(x-3)$,则$b=$
-1
,$c=$-6
;(2)已知二次三项式$8x^{2}-14x-k$分解因式后有一个因式是$(2x-3)$,求另一个因式以及$k$的值;
(3)已知二次三项式$6x^{2}+4ax+2$有一个因式是$(2x+a)$,$a$是正整数,求另一个因式以及$a$的值。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
(1)-1 -6 (2)(4x-1),k=-3;
(3)另一个因式是(3x+1),a的值是2。
(3)另一个因式是(3x+1),a的值是2。
解析
【分析】
1. 第(1)问：解题思路是利用多项式乘法将右边因式展开，通过等式两边对应项系数相等，直接求出b和c的值。
2. 第(2)问：仿照例题方法，根据二次项系数的比例确定另一个因式的一次项系数（8÷2=4），设另一个因式为$(4x+n)$，展开后对比系数列方程组，求解n和k的值。
3. 第(3)问：同样依据二次项系数比例（6÷2=3）设另一个因式为$(3x+m)$，展开后对应系数相等得到方程，结合a是正整数的条件，求出a和m的值，进而得到另一个因式。
自我反思常见问题：①多项式展开时易出现符号错误；②设因式时忽略二次项系数对应关系；③第(3)问易遗漏a是正整数的限制；④解方程组时计算失误。改进措施：①逐项展开多项式，核对符号；②根据二次项系数比例确定因式形式；③圈画关键条件避免遗漏；④计算后进行验算。
【解析】
(1) 展开右边因式：
$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$
因为$x^2+bx+c=x^2-x-6$，对应系数相等，得$b=-1$，$c=-6$。
(2) 设另一个因式为$(4x+n)$，则：
$8x^2-14x-k=(2x-3)(4x+n)$
展开右边：$(2x-3)(4x+n)=8x^2+(2n-12)x-3n$
对比系数得方程组：
$\begin{cases}2n-12=-14\\-k=-3n\end{cases}$
解得：$n=-1$，$k=-3$
故另一个因式为$(4x-1)$，$k=-3$。
(3) 设另一个因式为$(3x+m)$，则：
$6x^2+4ax+2=(2x+a)(3x+m)$
展开右边：$(2x+a)(3x+m)=6x^2+(2m+3a)x+am$
对比系数得：
$\begin{cases}2m+3a=4a\\am=2\end{cases}$
由第一个方程得$2m=a$，代入第二个方程得$a^2=4$，
因为a是正整数，所以$a=2$，则$m=1$，
故另一个因式为$(3x+1)$，$a=2$。
自我反思
存在的问题:
① 多项式展开易出现符号错误
② 易遗漏“a是正整数”的限制条件
改进的措施:
① 逐项展开多项式，仔细核对符号
② 解题前圈画关键条件，确保不遗漏限制要求
【答案】
(1) $-1$，$-6$；(2) 另一个因式为$(4x-1)$，$k=-3$；(3) 另一个因式是$(3x+1)$，$a$的值是2。
【知识点】
多项式乘法、因式分解逆运算、解方程组
【点评】
本题考查因式分解与多项式乘法的互逆关系，核心是利用对应项系数相等建立方程求解。解题时需注意系数对应关系和题目特殊条件，能有效提升逻辑推理与运算准确性。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：解题思路是利用多项式乘法将右边因式展开，通过等式两边对应项系数相等，直接求出b和c的值。
2. 第(2)问：仿照例题方法，根据二次项系数的比例确定另一个因式的一次项系数（8÷2=4），设另一个因式为$(4x+n)$，展开后对比系数列方程组，求解n和k的值。
3. 第(3)问：同样依据二次项系数比例（6÷2=3）设另一个因式为$(3x+m)$，展开后对应系数相等得到方程，结合a是正整数的条件，求出a和m的值，进而得到另一个因式。
自我反思常见问题：①多项式展开时易出现符号错误；②设因式时忽略二次项系数对应关系；③第(3)问易遗漏a是正整数的限制；④解方程组时计算失误。改进措施：①逐项展开多项式，核对符号；②根据二次项系数比例确定因式形式；③圈画关键条件避免遗漏；④计算后进行验算。
【解析】
(1) 展开右边因式：
$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$
因为$x^2+bx+c=x^2-x-6$，对应系数相等，得$b=-1$，$c=-6$。
(2) 设另一个因式为$(4x+n)$，则：
$8x^2-14x-k=(2x-3)(4x+n)$
展开右边：$(2x-3)(4x+n)=8x^2+(2n-12)x-3n$
对比系数得方程组：
$\begin{cases}2n-12=-14\\-k=-3n\end{cases}$
解得：$n=-1$，$k=-3$
故另一个因式为$(4x-1)$，$k=-3$。
(3) 设另一个因式为$(3x+m)$，则：
$6x^2+4ax+2=(2x+a)(3x+m)$
展开右边：$(2x+a)(3x+m)=6x^2+(2m+3a)x+am$
对比系数得：
$\begin{cases}2m+3a=4a\\am=2\end{cases}$
由第一个方程得$2m=a$，代入第二个方程得$a^2=4$，
因为a是正整数，所以$a=2$，则$m=1$，
故另一个因式为$(3x+1)$，$a=2$。
自我反思
存在的问题:
① 多项式展开易出现符号错误
② 易遗漏“a是正整数”的限制条件
改进的措施:
① 逐项展开多项式，仔细核对符号
② 解题前圈画关键条件，确保不遗漏限制要求
【答案】
(1) $-1$，$-6$；(2) 另一个因式为$(4x-1)$，$k=-3$；(3) 另一个因式是$(3x+1)$，$a$的值是2。
【知识点】
多项式乘法、因式分解逆运算、解方程组
【点评】
本题考查因式分解与多项式乘法的互逆关系，核心是利用对应项系数相等建立方程求解。解题时需注意系数对应关系和题目特殊条件，能有效提升逻辑推理与运算准确性。
【难度系数】
0.6
