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8. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 边的中点，连接 $AE$ 并延长与 $DC$ 的延长线交于点 $F$。
(1) 求证：四边形 $ABFC$ 是平行四边形；
(2) 若 $AF$ 平分 $∠ BAD$，$∠ D = 60°$，$AD = 2$，求 $□ ABCD$ 的面积.
(1) 求证：四边形 $ABFC$ 是平行四边形；
(2) 若 $AF$ 平分 $∠ BAD$，$∠ D = 60°$，$AD = 2$，求 $□ ABCD$ 的面积.
答案
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB// CD，AB=CD，∴∠ ABE=∠ FCE.
∵E是BC边的中点，∴BE=CE.
在△ ABE和△ FCE中，
$ \begin {cases}∠ ABE=∠ FCE$，$ \\BE=CE$， \\∠ AEB=∠ FEC，$\end {cases}$
∴$△ ABE≌△ FCE(\mathrm {ASA})$，∴AB=CF.
又∵AB// CF，∴四边形ABFC是平行四边形.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ ABC=∠ D=60°，BC=AD=2，AD// BC，
∴∠ BEA=∠ DAE.
∵AF 平分∠ BAD，∴∠ BAE=∠ DAE，
∴∠ BEA=∠ BAE，∴$BA=BE=\frac {1}{2}BC=CE=1$，
∴△ ABE是等边三角形，∴∠ BAE=∠ AEB=60°.
∵AE=CE，∴$∠ EAC=∠ ECA=\frac {1}{2}∠ AEB=30°$，
∴∠ BAC=∠ BAE+∠ EAC=90°，
∴AC⊥ AB，$AC=\sqrt {BC^2-AB^2}=\sqrt {2^2-1^2}=\sqrt {3}$，
∴▱ ABCD的面积为$AB· AC=1×\sqrt {3}=\sqrt {3}.$
∴AB// CD，AB=CD，∴∠ ABE=∠ FCE.
∵E是BC边的中点，∴BE=CE.
在△ ABE和△ FCE中，
$ \begin {cases}∠ ABE=∠ FCE$，$ \\BE=CE$， \\∠ AEB=∠ FEC，$\end {cases}$
∴$△ ABE≌△ FCE(\mathrm {ASA})$，∴AB=CF.
又∵AB// CF，∴四边形ABFC是平行四边形.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ ABC=∠ D=60°，BC=AD=2，AD// BC，
∴∠ BEA=∠ DAE.
∵AF 平分∠ BAD，∴∠ BAE=∠ DAE，
∴∠ BEA=∠ BAE，∴$BA=BE=\frac {1}{2}BC=CE=1$，
∴△ ABE是等边三角形，∴∠ BAE=∠ AEB=60°.
∵AE=CE，∴$∠ EAC=∠ ECA=\frac {1}{2}∠ AEB=30°$，
∴∠ BAC=∠ BAE+∠ EAC=90°，
∴AC⊥ AB，$AC=\sqrt {BC^2-AB^2}=\sqrt {2^2-1^2}=\sqrt {3}$，
∴▱ ABCD的面积为$AB· AC=1×\sqrt {3}=\sqrt {3}.$
9. 在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$CB$ 边的垂直平分线交 $BC$ 边于点 $D$，交 $AB$ 边于点 $E$，点 $F$ 在 $DE$ 的延长线上. 连接 $AF$，$CE$，且 $AF = BE$。
(1) 如图①，求证：四边形 $ACEF$ 是平行四边形；
(2) 如图②，连接 $BF$，若 $∠ ABC = 30°$，四边形 $ACEF$ 的面积为 $2\sqrt{3}$。求线段 $BF$ 的长.
(1) 如图①，求证：四边形 $ACEF$ 是平行四边形；
(2) 如图②，连接 $BF$，若 $∠ ABC = 30°$，四边形 $ACEF$ 的面积为 $2\sqrt{3}$。求线段 $BF$ 的长.
答案
(1)证明：$\because DE$垂直平分BC，
$ \therefore D$为BC的中点，ED⊥ BC.
又$\because AC⊥ BC,\therefore ED// AC,$
$ \therefore E$为AB的中点，ED是△ ABC的中位线，∠ FEA=∠ EAC,
$ \because CE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB的中线，
$ \therefore CE=AE=BE,\therefore ∠ EAC=∠ ECA.$
$ \because AF=BE,\therefore AF=AE,\therefore ∠ F=∠ AEF,$
$ \therefore ∠ F=∠ AEF=∠ EAC=∠ ECA,$
$ \therefore 180°-∠ F-∠ AEF=180°-∠ EAC-∠ ACE$，即$∠ FAE=∠ AEC,\therefore AF// EC.$
又$\because EF// AC,\therefore $四边形ACEF是平行四边形.
(2)解：如答图，过点E作EG⊥ AC于点G.
$ \because ∠ ABC=30°,∠ ACB=90°,$
$ \therefore ∠ BAC=60°,∠ ECB=30°,$
$ \therefore ∠ ACE=60°,\therefore △ AEC$是等边三角形.
$ \because $四边形ACEF的面积为$2\sqrt{3}$，
$ \therefore △ AEC$的面积是$\sqrt{3}$，
设AC=2x，则$GC=x,EG=\sqrt{3}x,$
故$\frac{1}{2}×\sqrt{3}x×2x=\sqrt{3}$，解得x=1，
故$DC=EG=\sqrt{3},ED=GC=1,AC=EF=2,$
则$BD=\sqrt{3}$，故EF+ED=FD=3,
则$BF=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$
10. 在 $□ ABCD$ 中，$O$ 是对角线 $BD$ 的中点，点 $E$ 在边 $BC$ 上，$EO$ 的延长线与边 $AD$ 交于点 $F$，连接 $BF$，$DE$，如图①.
(1) 求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形.
(2) 若 $DE = DC$，$∠ CBD = 45°$，过点 $C$ 作 $DE$ 的垂线，与 $DE$，$BD$ 分别交于点 $G$，$H$，如图②.
①当 $CD = \sqrt{10}$，$CE = 2$ 时，求 $BE$ 的长；
②求证：$CD = CH$.
(1) 求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形.
(2) 若 $DE = DC$，$∠ CBD = 45°$，过点 $C$ 作 $DE$ 的垂线，与 $DE$，$BD$ 分别交于点 $G$，$H$，如图②.
①当 $CD = \sqrt{10}$，$CE = 2$ 时，求 $BE$ 的长；
②求证：$CD = CH$.
答案
(1)证明：在平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，
$ \therefore AD// BC,BO=DO,\therefore ∠ ADB=∠ CBD.$
在△ BOE与△ DOF中，
$ \begin{cases}∠ EBO=∠ FDO, \\BO=DO, \\∠ BOE=∠ DOF,\end{cases}$
$ \therefore △ BOE≌△ DOF(\mathrm{ASA}),$
$ \therefore DF=BE.\because DF// BE,$
$ \therefore $四边形BEDF是平行四边形.
(2)①解：如答图，过点D作DN⊥ EC于点N.
$ \because DE=DC=\sqrt{10},DN⊥ EC,CE=2,$
$ \therefore EN=CN=1,$
$ \therefore DN=\sqrt{DC^2-CN^2}=3.$
$ \because ∠ DBC=45°,DN⊥ BC,$
$ \therefore ∠ DBC=∠ BDN=45°,$
$ \therefore DN=BN=3,$
$ \therefore BE=BN-EN=3-1=2.$
②证明：$\because DN⊥ EC,CG⊥ DE,$
$ \therefore ∠ DEN+∠ EDN=90°,∠ CEG+∠ ECG=90°,$
$ \therefore ∠ EDN=∠ ECG.$
$ \because DE=DC,DN⊥ EC,\therefore ∠ EDN=∠ CDN,$
$ \therefore ∠ ECG=∠ CDN.$
$ \because ∠ DHC=∠ DBC+∠ BCH=45°+∠ BCH,$
∠ CDB=∠ BDN+∠ CDN=45°+∠ CDN,
$ \therefore ∠ CDB=∠ DHC,\therefore CD=CH.$
