11. 已知二次函数$y = 2x^2 + m$，如图，此二次函数的图像经过点$(0,-4)$，正方形$ABCD$的顶点$C$，$D$在$x$轴上，$A$，$B$恰好在二次函数的图像上，则图中阴影部分的面积之和为()

A.2
B.4
C.8
D.18

11. C

12. (2023·台湾)坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点$P$，$Q$皆在$x$轴上，且有一水平线与两图形相交于$A$，$B$，$C$，$D$四点，各点位置如图所示，若$AB = 10$，$BC = 5$，$CD = 6$，则$PQ$的长度为()

A.7
B.8
C.9
D.10

12. B

13. (2024·赤峰)如图，正方形$ABCD$的顶点$A$，$C$在抛物线$y = -x^2 + 4$上，点$D$在$y$轴上. 若$A$，$C$两点的横坐标分别为$m$，$n(m ＞ n ＞ 0)$，下列结论正确的是()


A.$m + n = 1$
B.$m - n = 1$
C.$m = 1$
D.$\frac{m}{n}=1$

13. B

解：设点$A(m, -m^2 + 4)$，$C(n, -n^2 + 4)$，$D(0, d)$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD = CD$，且$AD ⊥ CD$。
由两点间距离公式：
$AD^2 = m^2 + (-m^2 + 4 - d)^2$，
$CD^2 = n^2 + (-n^2 + 4 - d)^2$，
∴$m^2 + (-m^2 + 4 - d)^2 = n^2 + (-n^2 + 4 - d)^2$，
化简得$(m^2 - n^2) + [( -m^2 + 4 - d)^2 - (-n^2 + 4 - d)^2] = 0$，
因式分解：$(m - n)(m + n) + (n^2 - m^2)( -m^2 - n^2 + 8 - 2d) = 0$，
∵$m ＞ n ＞ 0$，$m ≠ n$，两边同除以$(m - n)$：
$m + n - (m + n)( -m^2 - n^2 + 8 - 2d) = 0$，
$(m + n)[1 - ( -m^2 - n^2 + 8 - 2d)] = 0$，
∵$m + n ＞ 0$，
∴$1 + m^2 + n^2 - 8 + 2d = 0$，即$d = \frac{7 - m^2 - n^2}{2}$。
由$AD ⊥ CD$，斜率关系：$k_{AD} · k_{CD} = -1$，
$k_{AD} = \frac{-m^2 + 4 - d}{m}$，$k_{CD} = \frac{-n^2 + 4 - d}{n}$，
∴$\frac{(-m^2 + 4 - d)(-n^2 + 4 - d)}{mn} = -1$。
将$d = \frac{7 - m^2 - n^2}{2}$代入$-m^2 + 4 - d = \frac{m^2 - n^2 - 1}{2}$，同理$-n^2 + 4 - d = \frac{n^2 - m^2 - 1}{2}$，
∴$\frac{(m^2 - n^2 - 1)(n^2 - m^2 - 1)}{4mn} = -1$，
令$t = m^2 - n^2$，则$\frac{(t - 1)(-t - 1)}{4mn} = -1$，即$\frac{1 - t^2}{4mn} = -1$，$t^2 = 4mn + 1$。
又$t = m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$，设$m - n = k$，$m + n = s$，则$t = ks$，$m = \frac{s + k}{2}$，$n = \frac{s - k}{2}$，
$mn = \frac{s^2 - k^2}{4}$，代入$t^2 = 4mn + 1$：$k^2s^2 = 4 · \frac{s^2 - k^2}{4} + 1$，
化简得$k^2s^2 = s^2 - k^2 + 1$，$(k^2 - 1)s^2 + (k^2 - 1) = 0$，$(k^2 - 1)(s^2 + 1) = 0$，
∵$s^2 + 1 ＞ 0$，
∴$k^2 - 1 = 0$，$k = 1$（$k ＞ 0$），即$m - n = 1$。
结论：B. $m - n = 1$

14. 如图，$P(m,n)$是抛物线$y = -\frac{x^2}{4} + 1$上任意一点，$l$是过点$(0,2)$且与$x$轴平行的直线，过点$P$作直线$PH⊥ l$，垂足为$H$，$PH$交$x$轴于$Q$.
(1)【探究】填空：当$m = 0$时，$OP =$，$PH =$；当$m = 4$时，$OP =$，$PH =$.
(2)【证明】对任意$m$，$n$，猜想$OP$与$PH$的大小关系，并证明你的猜想.

(3)【应用】当$OP = OH$，且$m≠0$时，求$P$点的坐标.

14. (1) 1 1 5 5 (2) 猜想：$OP = PH$，证明：$PH$ 交 $x$ 轴于点 $Q$，$\because P$ 在 $y = -\dfrac{1}{4}x^2 + 1$ 上，$\therefore$ 设 $P(m,-\dfrac{1}{4}m^2 + 1)$，$PQ = \left|-\dfrac{1}{4}m^2 + 1\right|$，$OQ = |m|$。$\because △ OPQ$ 是直角三角形，$\therefore OP = \sqrt{PQ^2 + OQ^2} = \sqrt{(-\dfrac{1}{4}m^2 + 1)^2 + m^2} = \sqrt{(\dfrac{1}{4}m^2 + 1)^2} = \dfrac{1}{4}m^2 + 1$。$PH = 2 - y_p = 2 + \dfrac{1}{4}m^2 - 1 = \dfrac{1}{4}m^2 + 1$。$\therefore OP = PH$。(3) $\because OP = PH$，$\therefore$ 当 $OP = OH$，三角形 $OPH$ 是等边三角形。$\because OQ ⊥ PH$，$\therefore ∠ HOQ = 30^{\circ}$，$\therefore OQ = \sqrt{3}HQ = 2\sqrt{3}$，$\therefore P$ 点的横坐标为 $\pm 2\sqrt{3}$，$\therefore P(2\sqrt{3},-2)$ 或 $(-2\sqrt{3},-2)$。

(1) 1；1；5；5
(2) 猜想：$OP = PH$
证明：$\because P(m,n)$是抛物线$y = -\dfrac{x^2}{4} + 1$上的点，$\therefore n = -\dfrac{m^2}{4} + 1$
$\because PH ⊥ l$，$l$是过点$(0,2)$且与$x$轴平行的直线，$\therefore PH = 2 - n = 2 - (-\dfrac{m^2}{4} + 1) = \dfrac{m^2}{4} + 1$
$\because P(m,n)$，$\therefore OQ = |m|$，$PQ = |n| = |-\dfrac{m^2}{4} + 1| = \dfrac{m^2}{4} - 1$（$n ＜ 0$时）
在$Rt△ OPQ$中，$OP = \sqrt{OQ^2 + PQ^2} = \sqrt{m^2 + (\dfrac{m^2}{4} - 1)^2} = \sqrt{(\dfrac{m^2}{4} + 1)^2} = \dfrac{m^2}{4} + 1$
$\therefore OP = PH$
(3) $\because OP = PH$，$OP = OH$，$\therefore OP = PH = OH$，$△ OPH$是等边三角形
$\because PH ⊥ l$，$l$与$x$轴平行，$\therefore PH ⊥ y$轴，$HQ = 2 - 0 = 2$
在$Rt△ OQH$中，$∠ QHO = 60°$，$\cos 60° = \dfrac{HQ}{OH}$，$\therefore OH = \dfrac{HQ}{\cos 60°} = 4$
$\therefore OQ = \sqrt{OH^2 - HQ^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$，$\therefore m = \pm 2\sqrt{3}$
当$m = 2\sqrt{3}$时，$n = -\dfrac{(2\sqrt{3})^2}{4} + 1 = -2$；当$m = -2\sqrt{3}$时，$n = -\dfrac{(-2\sqrt{3})^2}{4} + 1 = -2$
$\therefore P(2\sqrt{3}, -2)$或$(-2\sqrt{3}, -2)$

15. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$M(1,m)$，$N(\frac{t}{2},n)$是抛物线$y = a(x - t)^2(a ＞ 0)$上的两点($M$，$N$不重合).
(1) 若$m = n$，求$t$的值；
(2) 若点$P(x_0,p)$在抛物线上，且对于$t + 1 ＜ x_0 ＜ t + 2$都有$n ＜ p ＜ m$，求$t$的取值范围.

15. (1) 由题意，$\because m = n$，且抛物线过点 $M(1,m)$，$N(\dfrac{t}{2},n)$，$\therefore$ 对称轴是直线 $x = t = \dfrac{1 + \dfrac{t}{2}}{2}$，$\therefore t = \dfrac{2}{3}$；(2) $\because$ 抛物线 $y = a(x - t)^2(a ＞ 0)$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线 $x = t$。$\because$ 点 $P(x_0,p)$ 在抛物线上，且 $t + 1 ＜ x_0 ＜ t + 2$，$\therefore$ 点 $P(x_0,p)$ 在对称轴的右侧，$\therefore$ 点 $P(x_0,p)$ 关于对称轴的对称点为 $(2t - x_0,p)$，① 当 $t ≤ 0$ 时，$\because n ＜ p ＜ m$，$\therefore \begin{cases} t + 2 ≤ 1, \\ t + 1 ≥ \dfrac{t}{2}, \end{cases}$ $\therefore -2 ≤ t ≤ -1$；② 当 $t ＞ 0$ 时，$t + 2 ＞ 1$，则 $p ＞ m$，不符合题意；综上所述，$t$ 的取值范围是 $-2 ≤ t ≤ -1$。