1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=78^{\circ}$，$AB=4$，$AC=6$。将$△ ABC$沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是()

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1. C

2. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，下列条件中不能判断$△ ABC∽△ AED$的是()

A.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$
B.$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$
C.$∠ ADE=∠ C$
D.$∠ AED=∠ B$

2. A

要判断$△ ABC ∼ △ AED$，已知$∠ A$是公共角，根据相似三角形的判定定理：
选项A：$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$，此时对应边成比例的角是$∠ A$，但对应关系为$△ ADE ∼ △ ABC$（而非$△ AED$），故不能判断$△ ABC ∼ △ AED$。
选项B：$\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AC}{AB}$，可变形为$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$，结合公共角$∠ A$，由“两边成比例且夹角相等”可判定$△ ABC ∼ △ AED$。
选项C：$∠ ADE = ∠ C$，结合公共角$∠ A$，由“两角分别相等”可判定$△ ABC ∼ △ AED$。
选项D：$∠ AED = ∠ B$，结合公共角$∠ A$，由“两角分别相等”可判定$△ ABC ∼ △ AED$。
答案：A

3. 如图，在$△ ABC$中，$D$为$BC$上一点，$BC=\sqrt{3}AB=3BD$，则$AD:AC$的值为。

3. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

设$BD = x$，则$BC = 3x$，$AB=\frac{BC}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}x$，$DC = BC - BD=2x$。
在$△ ABD$中，由余弦定理得：$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB · BD \cos B = (\sqrt{3}x)^2 + x^2 - 2 · \sqrt{3}x · x \cos B = 4x^2 - 2\sqrt{3}x^2 \cos B$。
在$△ ABC$中，由余弦定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB · BC \cos B = (\sqrt{3}x)^2 + (3x)^2 - 2 · \sqrt{3}x · 3x \cos B = 12x^2 - 6\sqrt{3}x^2 \cos B = 3(4x^2 - 2\sqrt{3}x^2 \cos B) = 3AD^2$。
故$AC = \sqrt{3}AD$，所以$AD:AC = \frac{AD}{\sqrt{3}AD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$

4. (2024·广州)如图，点$E$，$F$分别在正方形$ABCD$的边$BC$，$CD$上，$BE=3$，$EC=6$，$CF=2$。求证：$△ ABE∽△ ECF$。
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4. $\because BE=3,EC=6,CF=2,\therefore BC=3+6=9.\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$\therefore AB=BC=9,∠ B=∠ C=90^{\circ}.\because \frac{AB}{CE}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2},\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2},\therefore \frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CF},\therefore △ ABE∽△ ECF$.

证明：
∵ $ BE = 3 $，$ EC = 6 $，
∴ $ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9 $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ AB = BC = 9 $，$ ∠ B = ∠ C = 90° $。
∵ $ \frac{AB}{CE} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} $，$ \frac{BE}{CF} = \frac{3}{2} $，
∴ $ \frac{AB}{CE} = \frac{BE}{CF} $。
又
∵ $ ∠ B = ∠ C $，
∴ $ △ ABE ∼ △ ECF $。

5. 如图，$△ ADE$与$△ ABC$有公共顶点$A$，$∠ BAD=∠ CAE$。
(1) 请你写一个适当的条件，使$△ ADE∽△ ABC$，则需添加的条件可以是或，并选择其中之一证明。
(2) 由(1)能否得出其他的相似三角形？如果能，请说明理由。
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5. (1) 添加的条件可以是：$∠ ADC=∠ ABC$ 或 $∠ AED=∠ ACB$，理由：$\because ∠ BAD=∠ CAE,\therefore ∠ BAD+∠ BAE=∠ BAE+∠ CAE$，即 $∠ DAE=∠ CAB$. 又 $\because ∠ ADC=∠ ABC,\therefore △ ADE∽△ ABC$；(2) $△ ABD∽△ ACE$. 理由：$\because △ ADE∽△ ABC,∠ BAC=∠ DAE,\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE},∠ BAC-∠ BAE=∠ DAE-∠ BAE,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE},∠ BAD=∠ CAE,\therefore △ ABD∽△ ACE$.

(1) $∠ADE=∠ABC$；$∠AED=∠ACB$
证明：选择$∠ADE=∠ABC$
$\because ∠BAD=∠CAE$
$\therefore ∠BAD + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE$
即$∠DAE=∠BAC$
又$\because ∠ADE=∠ABC$
$\therefore △ADE∽△ABC$
(2) 能得出$△ABD∽△ACE$
理由：$\because △ADE∽△ABC$
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$∠DAE=∠BAC$
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$
$\because ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE$
$\therefore ∠BAD=∠CAE$
$\therefore △ABD∽△ACE$