7. 已知二次函数$y=x^{2}-kx-3$,试说明这个函数的图像与x轴一定有两个交点.

证明：
当$y=0$时，可得方程$x^{2}-kx-3=0$，
在一元二次方程$x^{2}-kx-3=0$中，$a=1$，$b=-k$，$c=-3$，
判别式$\Delta = b^{2}-4ac = (-k)^{2}-4×1×(-3)=k^{2}+12$，
因为$k^{2}≥0$，所以$k^{2}+12＞0$，
即一元二次方程$x^{2}-kx-3=0$有两个不相等的实数根，
所以二次函数$y=x^{2}-kx-3$的图像与$x$轴一定有两个交点。

你能利用二次函数的图像求出一元二次方程 $x^2-3x+1=0$ 的近似根吗?
【例题精讲】

解：
1. 构造二次函数 $ y = x^2 - 3x + 1 $，分析其图像特征：
该函数开口向上，对称轴为 $ x = \frac{3}{2} = 1.5 $，代入得顶点纵坐标为 $ y = 1.5^2 - 3×1.5 + 1 = -1.25 $，即顶点坐标为 $ (1.5, -1.25) $。
取点计算：当 $ x=0 $ 时，$ y=1 $；$ x=1 $ 时，$ y=-1 $；$ x=2 $ 时，$ y=-1 $；$ x=3 $ 时，$ y=1 $，描点连线画出函数图像。
2. 确定方程根的区间：
观察图像可知，函数与x轴的交点分别在区间$(0,1)$和$(2,3)$内，即方程的两个近似根分别在这两个区间中。
3. 逼近区间$(0,1)$内的近似根：
当$ x=0.3 $时，$ y=0.3^2 - 3×0.3 + 1 = 0.19 ＞ 0 $；
当$ x=0.4 $时，$ y=0.4^2 - 3×0.4 + 1 = -0.04 ＜ 0 $；
取$ x=0.38 $，$ y≈0.38^2 - 3×0.38 + 1≈0.0044 ＞ 0 $；
取$ x=0.39 $，$ y≈0.39^2 - 3×0.39 + 1≈-0.0179 ＜ 0 $；
因此该区间内的近似根约为$ 0.4 $（或更精确的$ 0.38 $）。
4. 逼近区间$(2,3)$内的近似根：
当$ x=2.6 $时，$ y=2.6^2 - 3×2.6 + 1 = -0.04 ＜ 0 $；
当$ x=2.7 $时，$ y=2.7^2 - 3×2.7 + 1 = 0.19 ＞ 0 $；
取$ x=2.62 $，$ y≈2.62^2 - 3×2.62 + 1≈0.0044 ＞ 0 $；
取$ x=2.61 $，$ y≈2.61^2 - 3×2.61 + 1≈-0.0179 ＜ 0 $；
因此该区间内的近似根约为$ 2.6 $（或更精确的$ 2.62 $）。
综上，一元二次方程 $ x^2 - 3x + 1 = 0 $ 的近似根为$ x_1≈0.4 $，$ x_2≈2.6 $（或$ x_1≈0.38 $，$ x_2≈2.62 $）。

例 利用二次函数的图像求出一元二次方程 $2x^2-4x+1=0$ 的近似根(精确到0.1).
分析 先画出二次函数 $y=2x^2-4x+1$ 的图像,再利用计算器进行探索.
解 画出二次函数 $y=2x^2-4x+1$ 的图像(图5-10).

由图像可知方程有两个根,一个在0与1之间,另一个在1与2之间.
(1)先求0与1之间的根,用计算器探索:

因此 $x=0.3$ 是方程 $2x^2-4x+1=0$ 的一个近似根.
(2)再求1与2之间的根,用计算器探索:

因此 $x=1.7$ 是方程 $2x^2-4x+1=0$ 的另一个近似根.

解：
画出二次函数$y=2x^2-4x+1$的图像。
由图像可知方程有两个根，一个在0与1之间，另一个在1与2之间。
(1) 求0与1之间的根，计算对应$x$的$y$值：
| $x$ | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | 0.62 | 0.28 | -0.02 | -0.28 | -0.5 |
因此$x=0.3$是方程$2x^2-4x+1=0$的一个近似根。
(2) 求1与2之间的根，计算对应$x$的$y$值：
| $x$ | 1.5 | 1.6 | 1.7 | 1.8 | 1.9 |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | -0.5 | -0.28 | -0.02 | 0.28 | 0.62 |
因此$x=1.7$是方程$2x^2-4x+1=0$的另一个近似根。
综上，方程$2x^2-4x+1=0$的近似根为$x\approx0.3$和$x\approx1.7$。