疑难点拨
把方程 $2x^{2}-3=x$ 用配方法化为 $(x+m)^{2}=n$ 的形式,则 $m=$ , $n=$ .
点拨 对于二次项系数不为1的一元二次方程,配方时,一定要注意:化二次项系数为1,方程两边要同时加上一次项系数一半的平方.

【疑难点拨】 $-\frac{1}{4}$ $\frac{25}{16}$

【分析】首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再通过移项、化二次项系数为1，接着按照配方法的规则（给方程两边同时加上一次项系数一半的平方）进行配方，最终化为$(x+m)^2=n$的形式，进而确定$m$和$n$的值。
【解析】解：原方程为$2x^2 -3 =x$，移项得$2x^2 -x -3=0$；
两边同时除以2，化二次项系数为1：$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}=0$；
移项，将常数项移到方程右边：$x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}$；
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\frac{1}{2}$，其一半为$-\frac{1}{4}$，平方为$\frac{1}{16}$，因此：
$x^2 - \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 = \frac{3}{2} + (\frac{1}{4})^2$；
左边整理为完全平方形式：$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{3}{2} + \frac{1}{16}$；
计算右边：$\frac{3}{2} = \frac{24}{16}$，故$\frac{24}{16} + \frac{1}{16} = \frac{25}{16}$；
即$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{25}{16}$，对比$(x+m)^2=n$，得$m=-\frac{1}{4}$，$n=\frac{25}{16}$。
【答案】$-\frac{1}{4}$；$\frac{25}{16}$
【知识点】配方法解一元二次方程
【点评】本题考查配方法的应用，核心是掌握配方法的步骤，尤其是二次项系数不为1时需先化系数为1，再进行配方，需注意符号的处理，属于基础题型。
【难度系数】0.6

1. 配方法解方程 $2x^{2}-4x-6=0$,变形正确的是 ()

A.$(x+2)^{2}=10$
B.$(x-2)^{2}=10$
C.$(x+1)^{2}=4$
D.$(x-1)^{2}=4$

1. D

【分析】
解这道题需按照配方法解一元二次方程的标准步骤推导：首先将方程的二次项系数化为1，再移项把常数项移到方程右侧，接着在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方，最后对比选项确定答案。具体步骤为：①二次项系数化1；②移项；③配方；④匹配选项得出结果。
【解析】
对原方程 $2x^2 -4x -6=0$ 进行配方法变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得 $x^2 -2x -3=0$；
2. 移项：将常数项移到方程右边，得 $x^2 -2x =3$；
3. 配方：一次项系数为-2，其一半的平方为 $(\frac{-2}{2})^2=1$，方程两边同时加1，得 $x^2 -2x +1=3+1$；
4. 整理为完全平方式：$(x-1)^2=4$，与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，核心是掌握配方法的关键步骤，属于基础题型，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6

2. 把一元二次方程 $\frac{1}{2}x^{2}-3x-1=0$ 配方成 $(x+a)^{2}=b$ 的形式,则 $b=$ .

2. 11

【分析】
要将一元二次方程配方为$(x+a)^2=b$的形式求$b$，需按配方法的标准步骤操作：先把原方程转化为二次项系数为1的形式，再通过移项、添加一次项系数一半的平方完成配方，最终得到$b$的值。具体思路：①移项，将常数项移到等号右侧；②化二次项系数为1，两边同乘二次项系数的倒数；③配方，在等号左右两侧同时加上一次项系数一半的平方，使左侧成为完全平方式，右侧即为$b$。
【解析】
解：原方程为$\frac{1}{2}x^2 -3x -1=0$，
第一步：移项，将常数项移到等号右边，得$\frac{1}{2}x^2 -3x =1$；
第二步：化二次项系数为1，两边同时乘以2，得$x^2 -6x =2$；
第三步：配方，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-\frac{6}{2})^2=9$，在等号两边同时加9，得$x^2 -6x +9=2+9$，
整理为完全平方形式：$(x-3)^2=11$，
因此$b=11$。
【答案】
11
【知识点】
一元二次方程的配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的配方法，核心是掌握配方法的基本操作步骤，属于基础题型，学生只要熟悉配方法的流程即可正确解答。
【难度系数】
0.8

3. 已知关于 $x$ 的方程 $3x^{2}-px+q=0$ 通过配方可变形为 $(x-1)^{2}=\frac{4}{3}$,则 $pq$ 的值为 .

3. $-6$

【分析】要解决本题，需将配方后的方程还原为一元二次方程的一般形式，再与原方程对比对应系数，求出$p$、$q$的值，最后计算$pq$。核心思路是利用配方后方程与原方程的等价性，通过系数对应关系求解参数。
【解析】先将配方后的方程$(x-1)^2=\frac{4}{3}$两边同乘3，得到：
$3(x-1)^2 = 4$
展开左边：$3(x^2 - 2x + 1) = 3x^2 - 6x + 3$
移项整理为一元二次方程的一般形式：$3x^2 - 6x + 3 - 4 = 0$，即$3x^2 - 6x - 1 = 0$
已知原方程为$3x^2 - px + q = 0$，对应系数相等可得：
$-p = -6$，解得$p=6$；$q=-1$
因此$pq = 6×(-1) = -6$
【答案】-6
【知识点】一元二次方程的配方、一元二次方程的系数
【点评】本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的配方变形与系数对应关系，关键是将配方后的方程还原为一般式，通过系数匹配求出未知参数，难度适中。
【难度系数】0.5

4. [易错题]若方程 $4x^{2}-(m-2)x+1=0$ 的左边可以写成一个完全平方式,则 $m$ 的值为 .

4. $-2$或6

【分析】要解决本题，需利用完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。本题中二次式$4x^2-(m-2)x+1$可对应$(2x\pm1)^2$的展开形式，通过对比中间项系数分情况计算$m$的值，注意不要漏解。
【解析】因为$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，所以二次式$4x^2-(m-2)x+1$可写成完全平方式$(2x\pm1)^2$：
1. 当为$(2x+1)^2$时，展开得$4x^2+4x+1$，对比原式中间项：$-(m-2)=4$，解得$m=-2$；
2. 当为$(2x-1)^2$时，展开得$4x^2-4x+1$，对比原式中间项：$-(m-2)=-4$，解得$m=6$；
综上，$m$的值为$-2$或$6$。
【答案】-2或6
【知识点】完全平方式、一元二次方程
【点评】本题考查完全平方式的应用，核心是掌握完全平方式的两种展开形式，易因漏解导致错误，属于基础易错题。
【难度系数】0.5

5. 小明在学习了配方法解一元二次方程后,用配方法解方程 $2x^{2}-8x+3=0$ 的过程如下:解:
$2x^{2}-8x=-3$①;$x^{2}-4x=-3$②;$x^{2}-4x+4=-3+4$③;$(x-2)^{2}=1$④;$x-2=\pm1$⑤;$x_{1}=3,x_{2}=1$.
(1) 上述解方程的过程中,小明从第 步开始出现错误(填序号),这一步的依据是 .
(2) 请正确用配方法解方程 $2x^{2}-8x+3=0$.

5. (1) ② 等式的性质 (2) $x_{1}=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_{1}=2-\frac{\sqrt{10}}{2}.$

【分析】
要解决这道题，需明确配方法解一元二次方程的正确步骤：①移项（将常数项移到等号右侧）；②化二次项系数为1（方程两边同除以二次项系数）；③配方（等号两边加一次项系数一半的平方）；④开方求解。先核对小明的步骤：第①步移项正确；第②步，小明将方程两边同除以2时，仅处理了左边的二次项和一次项，右边的常数项未除以2，违反等式性质，属于错误步骤；第（2）问按正确步骤重新计算即可。
【解析】
(1) 小明从第②步开始出错。因为等式两边同时除以同一个不为0的数时，等式的每一项都要除以该数，小明在将方程$2x^2 -8x=-3$两边除以2时，右边的常数项$-3$未除以2，这一步的依据是等式的性质（等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立）。
(2) 正确解方程：
步骤1：移项，得$2x^2 -8x=-3$；
步骤2：二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得$x^2 -4x=-\frac{3}{2}$；
步骤3：配方，等号两边加一次项系数一半的平方$(-\frac{4}{2})^2=4$，得$x^2 -4x +4=-\frac{3}{2}+4$；
步骤4：整理，左边为完全平方，右边计算得$(x-2)^2=\frac{5}{2}$；
步骤5：开方，得$x-2=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$；
步骤6：求解，得$x_1=2+\frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1) ②；等式的性质
(2) $x_1=2+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，核心易错点是二次项系数化为1时，需将等式两边所有项同时除以二次项系数，避免漏除常数项，属于需熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6

6. 用配方法解下列方程:
(1) $2x^{2}-8x-10=0$;
(2) $3x^{2}-4x+1=0$;
(3) $3x^{2}-2\sqrt{7}x+1=0$;
(4) $3x^{2}+6x-5=0$;
(5) $2x^{2}+1=3x$;
(6) $3x^{2}+8x-3=0$.

6. (1) $x_{1}=5,x_{2}=-1.$ (2) $x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=1.$ (3) $x_{1}=$
$\frac{-2+\sqrt{7}}{3},x_{2}=\frac{2+\sqrt{7}}{3}.$ (4) $x_{1}=-1+\frac{2}{3}\sqrt{6},x_{2}=-1-$
$\frac{2}{3}\sqrt{6}.$ (5) $x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2}.$ (6) $x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=-3.$

【分析】
配方法解一元二次方程的核心步骤：①将二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数）；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，在等号两侧同时加上一次项系数一半的平方，使左侧化为完全平方式；④开方求解，得到方程的根。本题共6道小题，均按上述步骤逐一求解即可。
【解析】
(1) 对$2x^2 -8x -10=0$，两边同除以2得：$x^2 -4x -5=0$，移项得$x^2 -4x=5$，配方：两边加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得$(x-2)^2=9$，开方得$x-2=\pm3$，解得$x_1=5, x_2=-1$；
(2) 对$3x^2 -4x +1=0$，两边同除以3得：$x^2 -\frac{4}{3}x +\frac{1}{3}=0$，移项得$x^2 -\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$，配方：两边加$(\frac{-\frac{4}{3}}{2})^2=\frac{4}{9}$，得$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}$，开方得$x-\frac{2}{3}=\pm\frac{1}{3}$，解得$x_1=\frac{1}{3}, x_2=1$；
(3) 对$3x^2 -2\sqrt{7}x +1=0$，两边同除以3得：$x^2 -\frac{2\sqrt{7}}{3}x +\frac{1}{3}=0$，移项得$x^2 -\frac{2\sqrt{7}}{3}x=-\frac{1}{3}$，配方：两边加$(\frac{-\frac{2\sqrt{7}}{3}}{2})^2=\frac{7}{9}$，得$(x-\frac{\sqrt{7}}{3})^2=\frac{4}{9}$，开方得$x-\frac{\sqrt{7}}{3}=\pm\frac{2}{3}$，解得$x_1=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}, x_2=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$；
(4) 对$3x^2 +6x -5=0$，两边同除以3得：$x^2 +2x -\frac{5}{3}=0$，移项得$x^2 +2x=\frac{5}{3}$，配方：两边加$(\frac{2}{2})^2=1$，得$(x+1)^2=\frac{8}{3}$，开方得$x+1=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$，解得$x_1=-1+\frac{2\sqrt{6}}{3}, x_2=-1-\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
(5) 先整理方程为标准式：$2x^2 -3x +1=0$，两边同除以2得：$x^2 -\frac{3}{2}x +\frac{1}{2}=0$，移项得$x^2 -\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$，配方：两边加$(\frac{-\frac{3}{2}}{2})^2=\frac{9}{16}$，得$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{1}{16}$，开方得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{1}{4}$，解得$x_1=1, x_2=\frac{1}{2}$；
(6) 对$3x^2 +8x -3=0$，两边同除以3得：$x^2 +\frac{8}{3}x -1=0$，移项得$x^2 +\frac{8}{3}x=1$，配方：两边加$(\frac{\frac{8}{3}}{2})^2=\frac{16}{9}$，得$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{9}$，开方得$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}$，解得$x_1=\frac{1}{3}, x_2=-3$；
【答案】
(1) $x_{1}=5,x_{2}=-1$；(2) $x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=1$；(3) $x_{1}=\frac{-2+\sqrt{7}}{3},x_{2}=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$；(4) $x_{1}=-1+\frac{2}{3}\sqrt{6},x_{2}=-1-\frac{2}{3}\sqrt{6}$；(5) $x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2}$；(6) $x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法求解一元二次方程，需熟练掌握配方法的每一步操作，尤其注意二次项系数不为1时先化1，配方时准确计算一次项系数一半的平方，避免符号错误，属于基础题型，是一元二次方程解法的核心内容之一。
【难度系数】
0.7