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22. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一. 某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作. 在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均$a$秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个.
（1）求$a$的值；
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成. 每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？
（1）求$a$的值；
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成. 每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？
答案
（1）$a=8$；（2）至少需要6个机器人。
解析
（1）根据题意，一个机械手800秒采摘苹果的个数为$\frac{800}{a}$，600秒采摘苹果的个数为$\frac{600}{a}$，两者相差25个，可列方程：$\frac{800}{a} - \frac{600}{a}=25$，化简得$\frac{200}{a}=25$，解得$a=8$。经检验，$a=8$是原方程的解，且符合题意。（2）设需要$x$个机器人同时工作1小时（1小时=3600秒）。每个机器人搭载4个机械手，每个机械手8秒采摘1个苹果，则每个机器人1小时采摘苹果的个数为：$4×\frac{3600}{8}=1800$个。根据总采摘个数不少于10000个，列不等式：$1800x≥10000$，解得$x≥\frac{10000}{1800}\approx5.56$。因为$x$为正整数，所以$x$最小取6。
23. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作$DE// AC$，且$DE=\frac{1}{2}AC$，连接AE，CE.
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为3，$∠ BCD=60°$，求AE的长.
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为3，$∠ BCD=60°$，求AE的长.
答案
（1）四边形OCED是矩形，证明见解析；（2）AE的长为$\frac{3\sqrt{13}}{2}$。
解析
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，∴∠COD=90°。又∵DE//AC，且DE=$\frac{1}{2}$AC，∴DE=OC，∴四边形OCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。又∵∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=3，AC⊥BD，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC。∵∠BCD=60°，CD=BC=3，∴△BCD是等边三角形，∴BD=CD=3，∴OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$。在Rt△COD中，OC=$\sqrt{CD^2 - OD^2}$=$\sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。∵四边形OCED是矩形，∴CE=OD=$\frac{3}{2}$，且CE⊥AC（矩形邻边垂直）。又AC=2OC=3$\sqrt{3}$，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{AC^2 + CE^2}$=$\sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (\frac{3}{2})^2}$=$\sqrt{27 + \frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$。
24. 阅读以下材料.
因式分解: $(x+y)^2 + 2(x+y) + 1$.
解: 将 “$x+y$” 看成整体, 设 $x+y=A$, 则原式 $=A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2$.
再将 “$A$” 还原, 得原式 $= (x+y+1)^2$.
请你解答下列问题.
(1) 因式分解: $(x-y)^2 - 2(x-y) + 1 = \_\_\_\_\_\_$, $(a^2 - 4a + 2) · (a^2 - 4a + 6) + 4 = \_\_\_\_\_\_$;
(2) 求证: 无论 $n$ 为何值, 式子 $(n^2 - 2n - 3)(n^2 - 2n + 5) + 17$ 的值一定不小于 1.
因式分解: $(x+y)^2 + 2(x+y) + 1$.
解: 将 “$x+y$” 看成整体, 设 $x+y=A$, 则原式 $=A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2$.
再将 “$A$” 还原, 得原式 $= (x+y+1)^2$.
请你解答下列问题.
(1) 因式分解: $(x-y)^2 - 2(x-y) + 1 = \_\_\_\_\_\_$, $(a^2 - 4a + 2) · (a^2 - 4a + 6) + 4 = \_\_\_\_\_\_$;
(2) 求证: 无论 $n$ 为何值, 式子 $(n^2 - 2n - 3)(n^2 - 2n + 5) + 17$ 的值一定不小于 1.
答案
(1) $(x-y-1)^2$；$(a-2)^4$
(2) 无论$n$为何值，式子的值一定不小于1。
(2) 无论$n$为何值，式子的值一定不小于1。
解析
(1) 对第一个式子，将$x-y$看作整体，设$x-y=A$，则原式$=A^2 - 2A + 1=(A-1)^2$，还原得$(x-y-1)^2$；
对第二个式子，将$a^2 -4a$看作整体，设$a^2 -4a=B$，则原式$=(B+2)(B+6)+4=B^2 +8B +16=(B+4)^2$，还原得$(a^2 -4a +4)^2=(a-2)^4$；
(2) 将$n^2 -2n$看作整体，设$n^2 -2n=C$，则原式$=(C-3)(C+5)+17=C^2 +2C +2=(C+1)^2 +1$，因为$(C+1)^2≥0$，所以$(C+1)^2 +1≥1$，即无论$n$为何值，式子的值一定不小于1。
对第二个式子，将$a^2 -4a$看作整体，设$a^2 -4a=B$，则原式$=(B+2)(B+6)+4=B^2 +8B +16=(B+4)^2$，还原得$(a^2 -4a +4)^2=(a-2)^4$；
(2) 将$n^2 -2n$看作整体，设$n^2 -2n=C$，则原式$=(C-3)(C+5)+17=C^2 +2C +2=(C+1)^2 +1$，因为$(C+1)^2≥0$，所以$(C+1)^2 +1≥1$，即无论$n$为何值，式子的值一定不小于1。
