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18. 如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，B'C与AD相交于点E，此时$△ CDE$恰为等边三角形. 若$AB=6\ \mathrm{cm}$，则$AD=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
12
解析
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD=6cm，AD//BC，AD=BC，∠B=∠D。2. 由折叠的性质可知△AB'C≌△ABC，故∠ACB=∠ACE。3. 因为AD//BC，所以∠ACB=∠CAD，因此∠ACE=∠CAD，可得AE=CE。4. 已知△CDE为等边三角形，所以CD=DE=CE=6cm，结合AE=CE，得AE=6cm。5. 所以AD=AE+DE=6+6=12cm。
三、解答题
19.（1）把下列各式因式分解：
① $a^{2}(x-y)+b^{2}(y-x)$；② $16x^{4}-8x^{2}y^{2}+y^{4}$.
（2）先化简，再求值：$\dfrac{m^{2}-1}{m^{2}+m}÷(m-\dfrac{2m-1}{m})$，其中 $m=\sqrt{2}$.
19.（1）把下列各式因式分解：
① $a^{2}(x-y)+b^{2}(y-x)$；② $16x^{4}-8x^{2}y^{2}+y^{4}$.
（2）先化简，再求值：$\dfrac{m^{2}-1}{m^{2}+m}÷(m-\dfrac{2m-1}{m})$，其中 $m=\sqrt{2}$.
答案
（1）①$(x-y)(a+b)(a-b)$；②$(2x+y)^{2}(2x-y)^{2}$；（2）$\sqrt{2}+1$
解析
（1）①先将原式变形为含公因式的形式，再提公因式后用平方差公式分解：
原式$=a^{2}(x-y)-b^{2}(x-y)=(x-y)(a^{2}-b^{2})=(x-y)(a+b)(a-b)$；
②先利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解：
原式$=(4x^{2}-y^{2})^{2}=[(2x+y)(2x-y)]^{2}=(2x+y)^{2}(2x-y)^{2}$；
（2）先分别化简分式和括号内的式子，再将除法转化为乘法，约分后代入求值：
原式$=\dfrac{(m-1)(m+1)}{m(m+1)}÷\dfrac{m^{2}-(2m-1)}{m}=\dfrac{m-1}{m}÷\dfrac{(m-1)^{2}}{m}=\dfrac{m-1}{m}×\dfrac{m}{(m-1)^{2}}=\dfrac{1}{m-1}$；
当$m=\sqrt{2}$时，原式$=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$。
原式$=a^{2}(x-y)-b^{2}(x-y)=(x-y)(a^{2}-b^{2})=(x-y)(a+b)(a-b)$；
②先利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解：
原式$=(4x^{2}-y^{2})^{2}=[(2x+y)(2x-y)]^{2}=(2x+y)^{2}(2x-y)^{2}$；
（2）先分别化简分式和括号内的式子，再将除法转化为乘法，约分后代入求值：
原式$=\dfrac{(m-1)(m+1)}{m(m+1)}÷\dfrac{m^{2}-(2m-1)}{m}=\dfrac{m-1}{m}÷\dfrac{(m-1)^{2}}{m}=\dfrac{m-1}{m}×\dfrac{m}{(m-1)^{2}}=\dfrac{1}{m-1}$；
当$m=\sqrt{2}$时，原式$=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$。
20. 解下列分式方程：
(1)
；
(2) $\dfrac{2 - x}{x - 3} + 3 = \dfrac{2}{3 - x}$.
(1)
；(2) $\dfrac{2 - x}{x - 3} + 3 = \dfrac{2}{3 - x}$.
答案
(1) $x=-4$；(2) $x=\dfrac{5}{2}$
解析
(1) 解方程$\dfrac{3}{x^2 -9}+\dfrac{x}{x-3}=1$
步骤1：因式分解分母，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$，两边同乘公分母得：
$3 + x(x+3)=(x+3)(x-3)$
步骤2：展开并化简：
左边$=3+x^2+3x$，右边$=x^2-9$，消去$x^2$得：
$3+3x=-9$，解得$x=-4$
步骤3：检验：当$x=-4$时，$(x+3)(x-3)=(-1)(-7)=7≠0$，故$x=-4$是原方程的解。
(2) 解方程$\dfrac{2 - x}{x - 3} + 3 = \dfrac{2}{3 - x}$
步骤1：变形右边分母，$\dfrac{2}{3-x}=-\dfrac{2}{x-3}$，两边同乘$(x-3)$得：
$2 - x + 3(x-3)= -2$
步骤2：展开并化简：
$2 -x +3x -9=-2$，合并同类项得$2x-7=-2$，解得$x=\dfrac{5}{2}$
步骤3：检验：当$x=\dfrac{5}{2}$时，$x-3=-\dfrac{1}{2}≠0$，故$x=\dfrac{5}{2}$是原方程的解。
步骤1：因式分解分母，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$，两边同乘公分母得：
$3 + x(x+3)=(x+3)(x-3)$
步骤2：展开并化简：
左边$=3+x^2+3x$，右边$=x^2-9$，消去$x^2$得：
$3+3x=-9$，解得$x=-4$
步骤3：检验：当$x=-4$时，$(x+3)(x-3)=(-1)(-7)=7≠0$，故$x=-4$是原方程的解。
(2) 解方程$\dfrac{2 - x}{x - 3} + 3 = \dfrac{2}{3 - x}$
步骤1：变形右边分母，$\dfrac{2}{3-x}=-\dfrac{2}{x-3}$，两边同乘$(x-3)$得：
$2 - x + 3(x-3)= -2$
步骤2：展开并化简：
$2 -x +3x -9=-2$，合并同类项得$2x-7=-2$，解得$x=\dfrac{5}{2}$
步骤3：检验：当$x=\dfrac{5}{2}$时，$x-3=-\dfrac{1}{2}≠0$，故$x=\dfrac{5}{2}$是原方程的解。
21. 随着人工智能的快速发展，初中生使用 AI 大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势. 某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生一周使用 AI 大模型辅助学习的时间（用$x$表示，单位：min）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用 AI 大模型
辅助学习时间频率分布表
抽取的学生一周使用 AI 大模型
辅助学习时间频数分布直方图
根据提供的信息回答问题：
（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
（2）调查所得数据的中位数落在组（填组别）；
（3）该校八年级共有 750 名学生，根据抽样调查结果，估计该校八年级学生一周使用 AI 大模型辅助学习的时间不 少 于 60 min 的学生人数.
抽取的学生一周使用 AI 大模型
辅助学习时间频率分布表
抽取的学生一周使用 AI 大模型
辅助学习时间频数分布直方图
根据提供的信息回答问题：
（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
（2）调查所得数据的中位数落在组（填组别）；
（3）该校八年级共有 750 名学生，根据抽样调查结果，估计该校八年级学生一周使用 AI 大模型辅助学习的时间
答案
（1）在80≤x＜100的组补充频数为10的矩形并标注10；（2）C；（3）450人
解析
（1）先计算抽取的学生总数：由A组频数8、频率0.16，得总人数=8÷0.16=50人；D组频数=50×0.20=10，补充频数分布直方图时，在80≤x＜100的组对应绘制高度为10的矩形并标注数据10。（2）累计各组频数：A组8，A+B组20，A+B+C组35，共50个数据，中位数是第25、26个数据的平均数，25、26均在A+B+C的累计区间内，故落在C组。（3）一周使用时间不少于60min的是C、D、E组，频率和为0.30+0.20+0.10=0.60，估计对应人数=750×0.60=450人。
