23. 某快递企业为提高工作效率，拟购买 A、B 两种型号智能机器人进行快递分拣.
相关信息如下：
信息一
| A型机器人台数 | B型机器人台数 | 总费用（单位：万元） |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | | 260 |
| 3 | 2 | 360 |
信息二

（1）求 A、B 两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过 700 万元购买 A、B 两种型号智能机器人共 10 台. 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？

（1）A型机器人单价80万元，B型机器人单价60万元；（2）购买A型机器人5台、B型机器人5台时，每天分拣快递的件数最多。

（1）设A型机器人单价为$x$万元，B型机器人单价为$y$万元，根据信息一列出方程组：$\begin{cases}x + 3y = 260 \\3x + 2y = 360\end{cases}$，解方程组：由第一个方程得$x=260-3y$，代入第二个方程得$3(260-3y)+2y=360$，化简得$780-7y=360$，解得$y=60$，则$x=260-3×60=80$，即A型机器人单价80万元，B型机器人单价60万元。（2）设购买A型机器人$a$台，则购买B型机器人$(10-a)$台，根据费用不超过700万元列不等式：$80a + 60(10-a) ≤700$，化简得$20a ≤100$，解得$a≤5$，又$a$为非负整数，故$a$可取0、1、2、3、4、5。每天分拣快递的件数为$22a +18(10-a)=4a +180$，因$4＞0$，该式随$a$增大而增大，故当$a=5$时，每天分拣件数最多，此时购买A型5台、B型5台。

四、拓展题
24. 如图所示，$AC⊥ BC$，$C$为垂足，过点$A$的直线$MN// BC$，作射线$CD$交直线$MN$于点$D$（点$D$与点$A$不重合），$∠ BCD$的平分线$CE$交$MN$于点$E$.
（1）求证：$∠ AEC=∠ DCE$；
（2）若$∠ ADC=70°$，求$∠ ACE$的度数.

（1）证明成立；（2）35°

（1）证明：∵ MN//BC，∴ ∠AEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等）。又∵ CE平分∠BCD，∴ ∠BCE=∠DCE（角平分线的定义）。∴ ∠AEC=∠DCE（等量代换）。
（2）解：∵ MN//BC，∴ ∠ADC + ∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。已知∠ADC=70°，∴ ∠BCD=180°-70°=110°。∵ CE平分∠BCD，∴ ∠BCE=½∠BCD=55°。∵ AC⊥BC，∴ ∠ACB=90°，∴ ∠ACE=∠ACB - ∠BCE=90°-55°=35°。

25. 观察下列算式：$1×2×3×4+1=5^2$，
$2×3×4×5+1=11^2$，
$3×4×5×6+1=19^2$，
$\vdots$
求证：当$n$为自然数时，$(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=(n^2+5n+5)^2$。

当n为自然数时，$(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=(n^2+5n+5)^2$成立。

要证明等式成立，对左边式子变形：
左边 = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + 1
分组得：[(n+1)(n+4)]·[(n+2)(n+3)] + 1
计算每组乘积：
$(n+1)(n+4) = n^2 + 5n + 4$，$(n+2)(n+3) = n^2 +5n +6$
令$t = n^2 +5n$，则左边 = $(t +4)(t +6) +1$
展开计算：$(t^2 +6t +4t +24) +1 = t^2 +10t +25$
右边 = $(n^2 +5n +5)^2 = (t +5)^2 = t^2 +10t +25$
因此左边=右边，等式成立。