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1. (★)下列计算正确的是 （）
A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{6}$
B.$3+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}a-\sqrt{2}a=a$
D.$\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{6}$
B.$3+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}a-\sqrt{2}a=a$
D.$\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
答案
D
解析
二次根式加减运算中，只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并。A选项中√3与√2不是同类二次根式，不能合并；B选项中3与2√3不是同类项，不能合并；C选项中√3a与√2a不是同类二次根式，不能合并；D选项中√2与$\frac{1}{2}\sqrt{2}$是同类二次根式，合并得$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，计算正确。
2. (★★)在$-\dfrac{5}{3},-\sqrt{2},-\sqrt{3},-\dfrac{π}{2}$四个数中,最大的数是 （）
A.$-\dfrac{5}{3}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$-\sqrt{3}$
D.$-\dfrac{π}{2}$
A.$-\dfrac{5}{3}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$-\sqrt{3}$
D.$-\dfrac{π}{2}$
答案
B
解析
负数比较大小，绝对值大的反而小。计算各数的绝对值：$\left|-\dfrac{5}{3}\right|=\dfrac{5}{3}\approx1.67$，$\left|-\sqrt{2}\right|\approx1.41$，$\left|-\sqrt{3}\right|\approx1.73$，$\left|-\dfrac{π}{2}\right|\approx1.57$。比较绝对值大小：$1.73＞1.67＞1.57＞1.41$，故对应的负数中，绝对值最小的数最大，即最大的数是$-\sqrt{2}$，对应选项B。
3. (★★★)如图,数轴上表示$1,\sqrt{3}$的对应点分别为点A,点B.若点B关于点A的对称点为点C,则点C所表示的数为 （）
A.$\sqrt{3}-1$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}-2$
A.$\sqrt{3}-1$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}-2$
答案
C
解析
点A是点B关于点A的对称点C的对称中心，故AC=AB。AB的长度为√3 -1，因此点C表示的数为1 - (√3 -1)=2 -√3，对应选项C。
4. (★★)写出在3和4之间的一个无理数.
答案
解：√10
5. (★★)$1-\sqrt{5}$的相反数是________，绝对值是________.
答案
解：
根据相反数的定义，数$a$的相反数是$-a$，可得：
$1 - \sqrt{5}$的相反数是$-(1 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 1$；
因为$\sqrt{5} \approx 2.236$，所以$1 - \sqrt{5} ＜ 0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\vert 1 - \sqrt{5} \vert = -(1 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 1$。
答案依次为$\sqrt{5} - 1$，$\sqrt{5} - 1$。
根据相反数的定义，数$a$的相反数是$-a$，可得：
$1 - \sqrt{5}$的相反数是$-(1 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 1$；
因为$\sqrt{5} \approx 2.236$，所以$1 - \sqrt{5} ＜ 0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\vert 1 - \sqrt{5} \vert = -(1 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 1$。
答案依次为$\sqrt{5} - 1$，$\sqrt{5} - 1$。
6.(★★)在数轴上离原点距离是$\sqrt{5}$的点表示的数是.
答案
解：设数轴上离原点距离是$\sqrt{5}$的点表示的数为$x$，
根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值，可得$|x|=\sqrt{5}$，
解得$x=\pm\sqrt{5}$。
故答案为$\pm\sqrt{5}$。
根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值，可得$|x|=\sqrt{5}$，
解得$x=\pm\sqrt{5}$。
故答案为$\pm\sqrt{5}$。
7.(★★)若$x^2=12$,则$x$是一个数(填“有理”或“无理”),$x$的整数部分是.
答案
解：因为$x^2 = 12$，所以$x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$是无理数，故$2\sqrt{3}$是无理数，因此$x$是无理数。
又因为$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且$9 ＜ 12 ＜ 16$，所以$3 ＜ \sqrt{12} ＜ 4$，因此$\sqrt{12}$的整数部分是3，即$x$的整数部分是3。
答案依次为：无理；3。
$\sqrt{3}$是无理数，故$2\sqrt{3}$是无理数，因此$x$是无理数。
又因为$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且$9 ＜ 12 ＜ 16$，所以$3 ＜ \sqrt{12} ＜ 4$，因此$\sqrt{12}$的整数部分是3，即$x$的整数部分是3。
答案依次为：无理；3。
8. (★★)用“*”表示一种新运算:对于任意正数$a,b$,都有$a*b=a+\sqrt{b}$.例如$4*9=4+\sqrt{9}=7$,那么$7*144=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$19$
解析
解：根据新运算规则，$a*b = a + \sqrt{b}$，
则$7*144 = 7 + \sqrt{144} = 7 + 12 = 19$。
则$7*144 = 7 + \sqrt{144} = 7 + 12 = 19$。
9.(★★★)直径为1个单位长度的圆，从数轴上的原点向右滚动一周，圆上的一点由原点滚动到$O'$，则点$O'$所表示的数是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
解：圆的周长公式为$C = π d$，已知圆的直径$d = 1$，则圆的周长$C = π × 1 = π$。
圆从原点向右滚动一周，点$O'$所表示的数等于圆的周长，因此点$O'$所表示的数是$π$。
圆从原点向右滚动一周，点$O'$所表示的数等于圆的周长，因此点$O'$所表示的数是$π$。
10. (★★★)大于$-\sqrt{17}$而小于$\sqrt{11}$的所有整数的和是.
答案
解：
因为 $ 16 ＜ 17 ＜ 25 $，所以 $ 4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5 $，则 $ -5 ＜ -\sqrt{17} ＜ -4 $；
又因为 $ 9 ＜ 11 ＜ 16 $，所以 $ 3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4 $；
所以大于 $ -\sqrt{17} $ 而小于 $ \sqrt{11} $ 的所有整数是：$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$；
它们的和为：$(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -4$。
因为 $ 16 ＜ 17 ＜ 25 $，所以 $ 4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5 $，则 $ -5 ＜ -\sqrt{17} ＜ -4 $；
又因为 $ 9 ＜ 11 ＜ 16 $，所以 $ 3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4 $；
所以大于 $ -\sqrt{17} $ 而小于 $ \sqrt{11} $ 的所有整数是：$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$；
它们的和为：$(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -4$。
11. (★★★)比较无理数的大小:(1)$5\sqrt{6}$和$6\sqrt{5}$;(2)$-\frac{\sqrt{7}}{2}$和$-\frac{π}{3}$.
答案
解：
(1) 因为$(5\sqrt{6})^2 = 5^2 × (\sqrt{6})^2 = 25 × 6 = 150$，
$(6\sqrt{5})^2 = 6^2 × (\sqrt{5})^2 = 36 × 5 = 180$，
又$150 ＜ 180$，且$5\sqrt{6} ＞ 0$，$6\sqrt{5} ＞ 0$，
所以$5\sqrt{6} ＜ 6\sqrt{5}$。
(2) 先比较两个数的绝对值：
$\left| -\frac{\sqrt{7}}{2} \right| = \frac{\sqrt{7}}{2}$，$\left| -\frac{π}{3} \right| = \frac{π}{3}$，
计算得$( \frac{\sqrt{7}}{2} )^2 = \frac{7}{4} = 1.75$，$( \frac{π}{3} )^2 \approx \frac{9.87}{9} \approx 1.10$，
因为$1.75 ＞ 1.10$，所以$\frac{\sqrt{7}}{2} ＞ \frac{π}{3}$，
根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”，
所以$-\frac{\sqrt{7}}{2} ＜ -\frac{π}{3}$。
(1) 因为$(5\sqrt{6})^2 = 5^2 × (\sqrt{6})^2 = 25 × 6 = 150$，
$(6\sqrt{5})^2 = 6^2 × (\sqrt{5})^2 = 36 × 5 = 180$，
又$150 ＜ 180$，且$5\sqrt{6} ＞ 0$，$6\sqrt{5} ＞ 0$，
所以$5\sqrt{6} ＜ 6\sqrt{5}$。
(2) 先比较两个数的绝对值：
$\left| -\frac{\sqrt{7}}{2} \right| = \frac{\sqrt{7}}{2}$，$\left| -\frac{π}{3} \right| = \frac{π}{3}$，
计算得$( \frac{\sqrt{7}}{2} )^2 = \frac{7}{4} = 1.75$，$( \frac{π}{3} )^2 \approx \frac{9.87}{9} \approx 1.10$，
因为$1.75 ＞ 1.10$，所以$\frac{\sqrt{7}}{2} ＞ \frac{π}{3}$，
根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”，
所以$-\frac{\sqrt{7}}{2} ＜ -\frac{π}{3}$。
