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11. [新课标·跨学科题][2024·合肥四十四中期末]光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象. 如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图. 已知$∠ 1=∠ 4$，$∠ 2=∠ 3$. 请你用所学知识来判断$c$与$d$是否平行，并说明理由.
答案
11.解:c//d.理由:因为∠2+∠5=∠3+∠6,∠2=∠3,所以∠5=∠6.因为∠1=∠4,所以∠1+∠5=∠4+∠6,所以c//d.
解析
【分析】
要判断c与d是否平行，可结合平行线的判定定理，寻找两条直线被截线所截形成的等角或补角关系。首先观察图形，直线a、b上的∠2与∠5、∠3与∠6分别构成平角，二者和相等；结合已知∠2=∠3，可推出∠5=∠6，再搭配已知∠1=∠4，将两组等角相加即可得到c、d被截线所截的一组内错角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
解：$c// d$，理由如下：
$\because ∠ 2$与$∠ 5$、$∠ 3$与$∠ 6$分别构成平角，
$\therefore ∠ 2+∠ 5=∠ 3+∠ 6=180°$，
又$\because ∠ 2=∠ 3$，
$\therefore ∠ 5=∠ 6$，
$\because ∠ 1=∠ 4$，
$\therefore ∠ 1+∠ 5=∠ 4+∠ 6$，
$\because ∠ 1+∠ 5$和$∠ 4+∠ 6$是直线c、d被截线所截的内错角，
$\therefore c// d$。
【答案】
$c// d$，理由：因为$∠ 2+∠ 5=∠ 3+∠ 6$，$∠ 2=∠ 3$，所以$∠ 5=∠ 6$。因为$∠ 1=∠ 4$，所以$∠ 1+∠ 5=∠ 4+∠ 6$，根据内错角相等，两直线平行，可得$c// d$。
【知识点】
平角的性质；平行线的判定；等式的性质
【点评】
本题结合光的折射的跨学科情境，考查平行线的判定方法，解题核心是通过角的和差关系推导得到内错角相等，能够体现数学知识在实际场景中的应用价值。
【难度系数】
0.8
要判断c与d是否平行，可结合平行线的判定定理，寻找两条直线被截线所截形成的等角或补角关系。首先观察图形，直线a、b上的∠2与∠5、∠3与∠6分别构成平角，二者和相等；结合已知∠2=∠3，可推出∠5=∠6，再搭配已知∠1=∠4，将两组等角相加即可得到c、d被截线所截的一组内错角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
解：$c// d$，理由如下：
$\because ∠ 2$与$∠ 5$、$∠ 3$与$∠ 6$分别构成平角，
$\therefore ∠ 2+∠ 5=∠ 3+∠ 6=180°$，
又$\because ∠ 2=∠ 3$，
$\therefore ∠ 5=∠ 6$，
$\because ∠ 1=∠ 4$，
$\therefore ∠ 1+∠ 5=∠ 4+∠ 6$，
$\because ∠ 1+∠ 5$和$∠ 4+∠ 6$是直线c、d被截线所截的内错角，
$\therefore c// d$。
【答案】
$c// d$，理由：因为$∠ 2+∠ 5=∠ 3+∠ 6$，$∠ 2=∠ 3$，所以$∠ 5=∠ 6$。因为$∠ 1=∠ 4$，所以$∠ 1+∠ 5=∠ 4+∠ 6$，根据内错角相等，两直线平行，可得$c// d$。
【知识点】
平角的性质；平行线的判定；等式的性质
【点评】
本题结合光的折射的跨学科情境，考查平行线的判定方法，解题核心是通过角的和差关系推导得到内错角相等，能够体现数学知识在实际场景中的应用价值。
【难度系数】
0.8
12. 如图,点 B 在AC 上,$BD⊥BE,∠1+∠C=90^{\circ }$.问:射线 CF 与 BD 平行吗? 试用两种方法说明理由.
答案
12.解:CF//BD.
方法1:因为$BD ⊥ BE$,所以$∠ DBE=90°$,所以$∠ 1+∠ 2=90°$.因为$∠ 1+∠ C=90°$,所以$∠ 2=∠ C$,所以$CF// BD$.
方法2:因为$BD ⊥ BE$,所以$∠ DBE=90°$.因为$∠ 1+∠ C=90°$,所以$∠ DBE+∠ 1+∠ C=180°$,即$∠ DBC+∠ C=180°$,所以$CF// BD$.
(本题答案不唯一)
方法1:因为$BD ⊥ BE$,所以$∠ DBE=90°$,所以$∠ 1+∠ 2=90°$.因为$∠ 1+∠ C=90°$,所以$∠ 2=∠ C$,所以$CF// BD$.
方法2:因为$BD ⊥ BE$,所以$∠ DBE=90°$.因为$∠ 1+∠ C=90°$,所以$∠ DBE+∠ 1+∠ C=180°$,即$∠ DBC+∠ C=180°$,所以$CF// BD$.
(本题答案不唯一)
解析
【分析】
要判断CF与BD是否平行，需结合平行线的判定定理，寻找两条直线被截形成的相等同位角、内错角，或互补的同旁内角。已知BD⊥BE可得到90°角，结合∠1+∠C=90°的条件，可从两个角度推导：一是推导同位角∠2与∠C相等，二是推导同旁内角∠DBC与∠C互补，即可证明两直线平行。
【解析】
方法1：
∵ $BD⊥BE$（已知），
∴ $∠DBE=90°$（垂直的定义），
∵ 点B在AC上，$∠2+∠DBE+∠1=180°$（平角的定义），
∴ $∠1+∠2=90°$，
又
∵ $∠1+∠C=90°$（已知），
∴ $∠2=∠C$（同角的余角相等），
∴ $CF// BD$（同位角相等，两直线平行）。
方法2：
∵ $BD⊥BE$（已知），
∴ $∠DBE=90°$（垂直的定义），
∴ $∠DBC=∠DBE+∠1=90°+∠1$，
∵ $∠1+∠C=90°$（已知），
∴ $∠DBC+∠C=90°+∠1+∠C=90°+90°=180°$，
∴ $CF// BD$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
$CF// BD$
【知识点】
平行线的判定、垂直的定义、余角的性质
【点评】
本题属于平行线判定的基础题型，解题核心是结合已知条件挖掘角的数量关系，可从不同角的关系入手选择对应的判定定理，有助于培养多维度思考问题的习惯。
【难度系数】
0.8
要判断CF与BD是否平行，需结合平行线的判定定理，寻找两条直线被截形成的相等同位角、内错角，或互补的同旁内角。已知BD⊥BE可得到90°角，结合∠1+∠C=90°的条件，可从两个角度推导：一是推导同位角∠2与∠C相等，二是推导同旁内角∠DBC与∠C互补，即可证明两直线平行。
【解析】
方法1：
∵ $BD⊥BE$（已知），
∴ $∠DBE=90°$（垂直的定义），
∵ 点B在AC上，$∠2+∠DBE+∠1=180°$（平角的定义），
∴ $∠1+∠2=90°$，
又
∵ $∠1+∠C=90°$（已知），
∴ $∠2=∠C$（同角的余角相等），
∴ $CF// BD$（同位角相等，两直线平行）。
方法2：
∵ $BD⊥BE$（已知），
∴ $∠DBE=90°$（垂直的定义），
∴ $∠DBC=∠DBE+∠1=90°+∠1$，
∵ $∠1+∠C=90°$（已知），
∴ $∠DBC+∠C=90°+∠1+∠C=90°+90°=180°$，
∴ $CF// BD$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
$CF// BD$
【知识点】
平行线的判定、垂直的定义、余角的性质
【点评】
本题属于平行线判定的基础题型，解题核心是结合已知条件挖掘角的数量关系，可从不同角的关系入手选择对应的判定定理，有助于培养多维度思考问题的习惯。
【难度系数】
0.8
