12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x - m^2 + 3 = 0$。
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是另一个根的3倍,求这两个根。

12.(1)证明:由题可知 a=1,b=-4,c=-m²+3,
所以b²-4ac=(-4)²-4×1×(-m²+3)=4+4m²＞0,
所以此方程有两个不相等的实数根。
(2)解:设方程的两根分别为t,3t,
根据根与系数的关系得t+3t=4,
解得t=1,
所以方程的两根分别为1和3。

13.某商场于今年年初以每件 60 元的进价购进一批商品。当商品售价为每件80 元时,一月份销售 64 件,二、三月该商品十分畅销,销售量持续走高,在售价不变的基础上,第一季度销售总量达到 244 件,设二、三月的销售量月平均增长率不变。
(1)求二、三月的销售量月平均增长率。
(2)从四月份起,在三月份销量的基础上,商场决定降价促销。经调查发现,该商品每降价 0.5 元,销售量增加 5 件,为尽可能让利顾客,问:该商品售价定为多少时,商场四月份获利 2 160 元?

13.解:(1)设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x,
由题可得64+64(1+x)+64(1+x)²=244,
整理得16x²+48x-13=0,
解得x₁=1/4=25%,x₂=-13/4(不合题意,舍去),
答:二、三月的销售量月平均增长率为25%。
(2)设四月份该商品售价定为y元,则每件商品的销售利润为(y-60)元,
三月的销售量是64×(1+25%)²=100,
降价后的销售量为100+5×(80-y)/0.5=(900-10y)件,
若商场四月份获利2 160元,则(y-60)·(900-10y)=2 160,
整理得y²-150y+5 616=0,
解得y₁=72,y₂=78。
又因为要尽可能让利顾客,
所以y=72。
答:该商品售价定为72元时,商场四月份获利2 160元。