1. 下列命题是假命题的是 （）

A.两点之间,线段最短
B.对顶角相等
C.直角的补角仍然是直角
D.同旁内角互补

1. D

【分析】
要判断哪个是假命题，首先明确假命题的定义：题设成立时，结论不一定成立的命题就是假命题。接下来我们逐个验证4个选项对应的几何结论是否恒成立，重点关注每个结论成立的前提条件：先回忆各知识点的内容，再判断是否缺少必要前提，就能找出假命题。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 两点之间，线段最短是几何基本公理，恒成立，属于真命题，不符合题意；
B. 对顶角相等是对顶角的固有性质，恒成立，属于真命题，不符合题意；
C. 根据补角定义：两个角和为180°则互为补角，直角为90°，它的补角=180°-90°=90°，仍然是直角，恒成立，属于真命题，不符合题意；
D. 同旁内角互补的前提是两条被截直线互相平行，若两直线不平行，同旁内角不互补，该命题缺少必要前提，结论不恒成立，属于假命题，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
真假命题判断，平行线的性质，补角的定义
【点评】
本题考查基础几何概念的辨析，解题时要注意相关定理、性质的适用前提，不要遗漏限制条件导致判断错误。
【难度系数】
0.8

2. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式是
.

2. 如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等

【分析】
要将命题改写成“如果……那么……”的形式，首先要明确命题的组成：所有命题都由题设（已知条件）和结论（由已知条件推出的结果）两部分构成，“如果”后面接题设内容，“那么”后面接结论内容。先拆分原命题“等角的补角相等”：题设是“两个角是相等的角的补角”，结论是“这两个角相等”，再将两部分内容对应填入“如果”“那么”之后，保证语句通顺即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的题设和结论：
题设：两个角是等角的补角；
结论：这两个角相等。
第二步：按照“如果+题设，那么+结论”的格式组织语言，得到符合要求的表述。
【答案】
如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等
【知识点】
命题的结构；命题的改写；补角的性质
【点评】
本题属于命题改写的基础题型，解题核心是准确区分命题的题设和结论，改写时要注意语句通顺、逻辑清晰，不能改变原命题的本意。
【难度系数】
0.8

3.“对顶角相等”的题设是，结论是.

3. 两个角是对顶角 这两个角相等

【分析】
要确定一个命题的题设和结论，首先回忆命题的组成：命题由题设和结论两部分构成，题设是已知条件，结论是由条件推导得到的结果。我们可以将原命题改写为“如果……那么……”的形式来区分二者，“如果”后接的内容是题设，“那么”后接的内容是结论。接下来把“对顶角相等”改写为该形式，就能直接提取对应的题设和结论。
【解析】
首先将命题“对顶角相等”改写为“如果……那么……”的标准形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
根据命题的结构规则：“如果”后面的内容为题设，“那么”后面的内容为结论。
由此可得题设是两个角是对顶角，结论是这两个角相等。
【答案】
两个角是对顶角；这两个角相等
【知识点】
命题的结构；对顶角的性质
【点评】
本题考查命题结构的辨析，解题关键是掌握将文字命题转化为“如果……那么……”形式的方法，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9

4. 有下列语句:①直角都相等;②作已知角的平分线;③两点之间线段的长度,叫作这两点间的距离;④两点之间,线段最短.其中属于定义的是________(填序号).

4. ③

【分析】
解题时首先要明确定义的概念：定义是对名称或术语的含义进行明确描述、作出规定的语句。接下来我们逐个分析4个语句的属性，排除不属于定义的选项，即可得到正确答案：首先排除作图类语句，再区分性质类命题、基本事实和定义的差异，最终锁定符合定义要求的语句。
【解析】
首先明确定义的判定标准：是对某个概念的含义作出明确规定的语句。
对四个语句逐一分析：
①“直角都相等”描述的是直角的性质，属于真命题，不是对某个概念的定义；
②“作已知角的平分线”是作图操作指令，不属于对概念的描述，不是定义；
③“两点之间线段的长度，叫作这两点间的距离”是对“两点间的距离”这一概念的明确规定，符合定义的特征；
④“两点之间，线段最短”是经过实践验证的基本事实（公理），属于线段的性质，不是定义。
因此属于定义的只有③。
【答案】
③
【知识点】
定义的判断；命题的概念
【点评】
本题核心考查对不同类型数学语句的区分能力，解题关键是抓住定义的本质是对概念含义的明确规定，要注意区分定义、性质类命题、基本事实、作图指令的差异，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8

5. 如图 7 - 18, $AB // CD$, $OE$ 平分$∠ AOC$,$CF$ 平分$∠ OCD$.
求证:$∠ EOF + ∠ OFC = 180°$.

图7-18
阅读下面的解答过程,并填空(理由或数学式).
解:$\because \quad AB // CD(\_\_\_\_\_\_)$,
$\therefore \quad ∠ AOC = ∠ \_\_\_\_\_\_(\_\_\_\_\_\_)$.
$\because \quad OE$ 平分$∠ AOC$(已知),
$\therefore \quad ∠ EOC = \frac{1}{2}∠ \_\_\_\_\_\_$(角平分线的定义).
同理,$∠ OCF = \frac{1}{2}∠ \_\_\_\_\_\_$.
$\therefore \quad ∠ EOC = ∠ OCF$(等量代换).
$\therefore \quad OE // \_\_\_\_\_\_(\_\_\_\_\_\_)$.
$\therefore \quad ∠ EOF + ∠ OFC = 180°(\_\_\_\_\_\_)$.

5. 已知 OCD 两直线平行,内错角相等 AOC OCD CF 内错角相等,两直线平行 两直线平行,同旁内角互补

【分析】
这是一道平行线性质与判定的综合填空题，解题思路如下：首先根据题目给出的平行条件，利用平行线的性质得到一组内错角相等；再结合角平分线的定义，推导得到两个小角相等，这两个小角是新的一组内错角，由此可判定两条直线平行；最后根据平行线的性质即可得到待证的同旁内角互补的结论，按推导顺序依次填写对应内容即可。
【解析】
逐空推导填写：
1. 题中明确给出$AB// CD$，所以第一空填$\boldsymbol{已知}$；
2. 两直线平行，内错角相等，$AB、CD$被直线$HC$所截，内错角$∠ AOC=∠ OCD$，所以第二空填$\boldsymbol{OCD}$，第三空填$\boldsymbol{两直线平行，内错角相等}$；
3. 根据角平分线的定义，$OE$平分$∠ AOC$，则$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，所以第四空填$\boldsymbol{AOC}$；
4. 同理，$CF$平分$∠ OCD$，则$∠ OCF=\frac{1}{2}∠ OCD$，所以第五空填$\boldsymbol{OCD}$；
5. 已得$∠ EOC=∠ OCF$，二者是内错角，内错角相等可判定两直线平行，即$OE// CF$，所以第六空填$\boldsymbol{CF}$，第七空填$\boldsymbol{内错角相等，两直线平行}$；
6. 两直线平行，同旁内角互补，所以$∠ EOF+∠ OFC=180°$，第八空填$\boldsymbol{两直线平行，同旁内角互补}$。
【答案】
已知；OCD；两直线平行，内错角相等；AOC；OCD；CF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是相交线与平行线模块的基础题，重点考查平行线性质和判定的区分应用，要求学生能准确识别内错角、同旁内角，理清推导的因果逻辑，熟练掌握相关定理的应用场景。
【难度系数】
0.8

1. 如图 7-19,将三角形 DEF 沿 FE 方向平移 3 cm 得到三角形 ABC,若三角形 DEF 的周长为 24 cm,则四边形 ABFD 的周长为 cm.

图7-19

1. 30

【分析】
解题时首先要运用平移的性质：平移后对应线段相等，对应点连接的线段长度等于平移距离。我们先将四边形ABFD的周长拆分为各边之和，再通过平移性质将未知线段替换为△DEF的边和已知的平移距离，结合给出的△DEF的周长即可算出结果，无需逐一计算各边长度。
【解析】
解：由平移的性质可得：
平移距离为3cm，因此对应点连线$AD=CF=3\mathrm{cm}$，且$AB=DE$，$BC=EF$，$AC=DF$。
已知$△ DEF$的周长为$24\mathrm{cm}$，即$DE+EF+DF=24\mathrm{cm}$。
四边形$ABFD$的周长为：
$C_{ABFD}=AB+BF+DF+AD$
其中$BF=BC+CF=EF+CF$，代入上式替换线段：
$\begin{aligned}C_{ABFD}&=DE+(EF+CF)+DF+AD\\&=DE+EF+DF+CF+AD\\&=24+3+3\\&=30(\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
30
【知识点】
平移的性质、周长计算
【点评】
本题主要考查平移性质的应用，解题核心是利用平移的线段相等特性做代换，将未知图形的周长转化为已知图形周长和固定平移距离的和，能有效简化运算，是平移相关的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

2. 如图7-20,三角形ABC的边BC长为4 cm. 将三角形ABC平移2 cm得到三角形$A'B'C'$,且$BB' ⊥ BC$,则图中阴影部分的面积为$\mathrm{cm}^2$.

2. 8

【分析】
解题时首先运用平移的性质：平移前后的两个图形全等，面积相等。观察图形可知，阴影部分由两部分组成：上方的$△ A'B'C'$，下方是矩形$BCC'B'$减去空白$△ ABC$的部分。因为$△ A'B'C'$和$△ ABC$面积相等，两部分的三角形面积可以相互抵消，因此阴影部分的面积就等于矩形$BCC'B'$的面积，再根据矩形面积公式计算即可。
【解析】
解：$\because$ 将$△ ABC$平移得到$△ A'B'C'$
$\therefore △ ABC≌△ A'B'C'$，即$S_{△ ABC}=S_{△ A'B'C'}$，且平移距离$BB'=2\mathrm{cm}$
又$\because BB'⊥ BC$，$BC=4\mathrm{cm}$
$\therefore$ 四边形$BCC'B'$是矩形，其面积为：$BC× BB'=4×2=8\mathrm{cm}^2$
阴影部分面积 = $S_{\mathrm{矩形}BCC'B'} - S_{△ ABC} + S_{△ A'B'C'}$
代入$S_{△ ABC}=S_{△ A'B'C'}$，可得阴影部分面积为$8\mathrm{cm}^2$
【答案】
8
【知识点】
平移的性质、矩形面积计算、面积转化法
【点评】
本题重点考查平移性质的灵活应用，解题的核心是利用平移前后图形面积相等的特点，将不规则的阴影面积转化为规则矩形的面积求解，巧妙运用转化思想可降低解题难度。
【难度系数】
0.7

综合练习（一）
一、填空题
1. 如图7-21，计划把河水引到水池A中，可以先引$AB ⊥ CD$，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是.

1. 垂线段最短

【分析】
首先明确题意：我们可以把河岸CD看作一条直线，水池A是直线CD外的一点，题目要求找到从河岸CD到水池A的最短开渠路径，本质就是找直线外一点到直线的最短线段。回忆相交线的相关性质可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段的长度是最短的。题中所作AB垂直CD，垂足为B，AB就是点A到直线CD的垂线段，因此沿AB开渠最短，对应的依据就是垂线段的相关性质。
【解析】
将河岸CD视为直线，水池A是直线CD外的点，根据几何性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。本题中AB⊥CD，即AB是点A到直线CD的垂线段，因此沿AB开渠长度最短，该设计的依据就是垂线段最短的性质。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际考查垂线段性质的应用，解题的关键是将实际问题转化为“求直线外一点到直线的最短线段”的几何问题，熟记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9