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1. 在$△ ABC$中，$AB=13\mathrm{cm}$，$BC=2\mathrm{cm}$，如果第三条边的长度是偶数，那么第三条边$AC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$
答案
12或14
解析
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$
将$AB=13\mathrm{cm}$，$BC=2\mathrm{cm}$代入得：
$13-2 ＜ AC ＜ 13+2$，即$11 ＜ AC ＜ 15$。
又因为第三条边$AC$的长度是偶数，该区间内符合条件的偶数为12和14，因此$AC=12$或$14\mathrm{cm}$。
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$
将$AB=13\mathrm{cm}$，$BC=2\mathrm{cm}$代入得：
$13-2 ＜ AC ＜ 13+2$，即$11 ＜ AC ＜ 15$。
又因为第三条边$AC$的长度是偶数，该区间内符合条件的偶数为12和14，因此$AC=12$或$14\mathrm{cm}$。
2. 若一个三角形三个内角度数之比为$4:3:2$,则这个三角形的最大内角为________度.
答案
80
解析
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角度数之和为$180°$。已知三个内角度数之比为$4:3:2$，总份数为$4+3+2=9$，其中最大内角占总度数的$\frac{4}{9}$，因此最大内角度数为$180° × \frac{4}{4+3+2} = 80°$。
3. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的线的交点.
答案
三边垂直平分
解析
本题考查线段垂直平分线的性质。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。若点到A、B距离相等，则该点在AB边的垂直平分线上；若点到B、C距离相等，则该点在BC边的垂直平分线上；若点到A、C距离相等，则该点在AC边的垂直平分线上。因此同时到△ABC三个顶点距离相等的点，是△ABC三边的垂直平分线的交点，结合题干空缺后已有的“线的交点”表述，空缺处对应内容为三边垂直平分。
4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AB的中垂线DE交AC于点D,
E是垂足.如果$BC=10$,$△ BDC$的周长为22,那么$△ ABC$的
周长是（）.
A.22
B.24
C.32
D.34
E是垂足.如果$BC=10$,$△ BDC$的周长为22,那么$△ ABC$的
周长是（）.
A.22
B.24
C.32
D.34
答案
D
解析
1. 由线段垂直平分线的性质可知：DE是AB的中垂线，因此AD=BD。
2. 已知△BDC的周长为22，即$BD+DC+BC=22$，将BD替换为AD，可得$AD+DC+BC=22$，而$AD+DC=AC$，因此$AC+BC=22$。
3. 代入$BC=10$，解得$AC=22-10=12$。
4. 由$AB=AC$，得$AB=12$，因此△ABC的周长为$AB+AC+BC=12+12+10=34$。
2. 已知△BDC的周长为22，即$BD+DC+BC=22$，将BD替换为AD，可得$AD+DC+BC=22$，而$AD+DC=AC$，因此$AC+BC=22$。
3. 代入$BC=10$，解得$AC=22-10=12$。
4. 由$AB=AC$，得$AB=12$，因此△ABC的周长为$AB+AC+BC=12+12+10=34$。
5. 如图，$∠ B=36°$，$∠ C=76°$，$AD$，$AE$分别是$△ ABC$的角平分线和高线. 试求$∠ BAC$和$∠ DAE$的度数.
答案
∠BAC=68°，∠DAE=20°
解析
1. 求∠BAC的度数：
根据三角形内角和定理，在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
已知∠B=36°，∠C=76°，代入得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 36° - 76° = 68°。
2. 利用角平分线性质求∠DAC：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$ × 68° = 34°。
3. 利用高线性质求∠EAC：
∵ AE是△ABC的高线，
∴ AE⊥BC，即∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠EAC + ∠C = 90°，
∴ ∠EAC = 90° - ∠C = 90° - 76° = 14°。
4. 计算∠DAE的度数：
∠DAE = ∠DAC - ∠EAC = 34° - 14° = 20°。
根据三角形内角和定理，在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
已知∠B=36°，∠C=76°，代入得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 36° - 76° = 68°。
2. 利用角平分线性质求∠DAC：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$ × 68° = 34°。
3. 利用高线性质求∠EAC：
∵ AE是△ABC的高线，
∴ AE⊥BC，即∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠EAC + ∠C = 90°，
∴ ∠EAC = 90° - ∠C = 90° - 76° = 14°。
4. 计算∠DAE的度数：
∠DAE = ∠DAC - ∠EAC = 34° - 14° = 20°。
6.（1）如图甲，在$△ ABC$内有一点$D$，连结$DA$，$DB$，$DC$，则在$△ ABC$内共有互不重叠的三角形________个.
（2）如图乙，在$△ BDC$内加一点$E$，连结$ED$，$EC$，$EB$，则在$△ ABC$内共有互不重叠的三角形________个.
（3）如图丙，再在$△ ABD$内加一点$F$，连结$FA$，$FB$，$FD$，则在$△ ABC$内共有互不重叠的三角形________个.
（4）猜想：按上述方法加点，直至在$△ ABC$内添加第$n$个点，此时在$△ ABC$内共有互不重叠的三角形________个.
（2）如图乙，在$△ BDC$内加一点$E$，连结$ED$，$EC$，$EB$，则在$△ ABC$内共有互不重叠的三角形________个.
（3）如图丙，再在$△ ABD$内加一点$F$，连结$FA$，$FB$，$FD$，则在$△ ABC$内共有互不重叠的三角形________个.
（4）猜想：按上述方法加点，直至在$△ ABC$内添加第$n$个点，此时在$△ ABC$内共有互不重叠的三角形________个.
答案
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{5}$；(3) $\boldsymbol{7}$；(4) $\boldsymbol{2n+1}$
解析
我们通过逐个计数、推导规律求解：
(1) 图甲中，互不重叠的三角形为$△ ABD$、$△ ACD$、$△ BCD$，共3个；
(2) 图乙中，在图甲基础上新增点$E$，点$E$将原$△ BCD$拆分为3个互不重叠的三角形，相比图甲新增2个三角形，总个数为$3+2=5$；
(3) 图丙中，在图乙基础上新增点$F$，点$F$将原$△ ABD$拆分为3个互不重叠的三角形，相比图乙新增2个三角形，总个数为$5+2=7$；
(4) 总结规律：当$△ ABC$内有1个点时，三角形总数为$3=2×1+1$；有2个点时总数为$5=2×2+1$；有3个点时总数为$7=2×3+1$，因此添加第$n$个点时，互不重叠的三角形总数为$(2n+1)$个。
(1) 图甲中，互不重叠的三角形为$△ ABD$、$△ ACD$、$△ BCD$，共3个；
(2) 图乙中，在图甲基础上新增点$E$，点$E$将原$△ BCD$拆分为3个互不重叠的三角形，相比图甲新增2个三角形，总个数为$3+2=5$；
(3) 图丙中，在图乙基础上新增点$F$，点$F$将原$△ ABD$拆分为3个互不重叠的三角形，相比图乙新增2个三角形，总个数为$5+2=7$；
(4) 总结规律：当$△ ABC$内有1个点时，三角形总数为$3=2×1+1$；有2个点时总数为$5=2×2+1$；有3个点时总数为$7=2×3+1$，因此添加第$n$个点时，互不重叠的三角形总数为$(2n+1)$个。
