1. 已知$△ ABC ≌ △ DEF$，$BC=EF=6\mathrm{cm}$，$△ ABC$的面积为$18\mathrm{cm}^2$，则$EF$边上的高线长为________.

$6\mathrm{cm}$

根据全等三角形的性质，全等三角形的面积相等，可得$S_{△ DEF}=S_{△ ABC}=18\mathrm{cm}^2$。设$EF$边上的高线长为$h$，结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，将$EF=6\mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{2} × 6 × h = 18$
计算可得$3h=18$，解得$h=6\mathrm{cm}$。

2. 如图,已知D, E是$△ ABC$中AB, AC边上的两点,$AB=AC$,请你再添加一个条件,使$△ ABE ≌ △ ACD$:________.
(只要写出一种即可)

AD=AE（答案不唯一）

已知在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠A是两个三角形的公共角，即∠A=∠A。结合三角形全等的判定定理：
若添加条件AD=AE，可通过SAS判定△ABE≌△ACD；
若添加条件∠ABE=∠ACD，可通过ASA判定△ABE≌△ACD；
若添加条件∠AEB=∠ADC，可通过AAS判定△ABE≌△ACD；
若添加条件BD=CE，可由AB-BD=AC-CE推导得AD=AE，进而通过SAS判定全等。
任选一种符合要求的条件填写即可。

3. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图（如图），若要说明$∠ AOC = ∠ BOC$，只需证明$△ NOC ≌ △ MOC$，此时这两个三角形全等的依据是（）.

A.$SSS$
B.$ASA$
C.$AAS$
D.$SAS$

A

由尺规作角平分线的作图过程可知，OM=ON，MC=NC，OC是△NOC和△MOC的公共边，即OC=OC，三组对应边分别相等，因此两个三角形全等的依据是SSS。

4. 如图,八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上.根据图中标示的各点位置,下列三角形与$△ ACD$全等的是().

A.$△ ACF$
B.$△ ADE$
C.$△ ABC$
D.$△ BCF$

B

根据全等三角形的SSS判定定理，结合图中所有正六边形边长全部相等的性质，可推出△ACD与△ADE的三组边分别对应相等，满足全等条件，其余选项的三角形三边均无法与△ACD三边对应相等。

5. 如图, 在$△ ABC$中, $AB=AC$, $BE$, $CF$分别是$AC$, $AB$边上的高线, $BE$, $CF$相交于点$O$. 求证: $OE=OF$.

$OE=OF$得证。

要证明$OE=OF$，可通过证明包含$OE$、$OF$的两个三角形全等推导，步骤如下：
1. 由$BE$、$CF$分别是$AC$、$AB$边上的高线，可得$∠ AEB=∠ AFC=90°$。
2. 在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$$\begin{cases}
∠ A=∠ A \\
∠ AEB=∠ AFC \\
AB=AC
\end{cases}$ 因此$△ ABE ≌ △ ACF$（AAS），由全等三角形对应边相等得$AE=AF$。3. 已知$AB=AC$，因此$AB - AF = AC - AE$，即$BF=CE$。4. 在$△ BOF$和$△ COE$中： $$\begin{cases} ∠ BFO=∠ CEO=90° \\ ∠ BOF=∠ COE \\ BF=CE \end{cases}$
因此$△ BOF ≌ △ COE$（AAS），由全等三角形对应边相等，可证得$OE=OF$。

6. 如图甲,在$△ ABC$中,直线$ME$垂直平分$AB$,分别交$AB$,$BC$于点$E$,$M$;直线$NF$垂直平分$AC$,分别交$AC$,$BC$于点$F$,$N$.

(1) 求证:$△ AMN$的周长等于$BC$的长.
(2) 结合(1)的启发,解决下列问题:如图乙,在$∠ AOB=60°$内部有一点$P$,且$OP=4$,试在$OA$,$OB$上确定两点$M$,$N$,使$△ PMN$的周长最短,并求出最短周长.

(1) 证明：
$\because$ 直线$ME$垂直平分$AB$，
$\therefore AM=BM$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\because$ 直线$NF$垂直平分$AC$，
$\therefore AN=CN$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore △ AMN$的周长$=AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC$，
即$△ AMN$的周长等于$BC$的长。
(2) 解：
① 确定点的方法：分别作点$P$关于$OA$的对称点$C$，关于$OB$的对称点$D$，连接$CD$，$CD$与$OA$交于点$M$，与$OB$交于点$N$，点$M$、$N$即为使$△ PMN$周长最短的点。
② 计算最短周长：
由轴对称性质可得：$OC=OP=OD=4$，$∠ COA=∠ POA$，$∠ DOB=∠ POB$，$PM=CM$，$PN=DN$，
$\therefore ∠ COD=∠ COA+∠ POA+∠ POB+∠ DOB=2∠ AOB$，
$\because ∠ AOB=60°$，
$\therefore ∠ COD=120°$，
过点$O$作$OH⊥ CD$于点$H$，
$\because OC=OD$，$△ COD$是等腰三角形，
$\therefore OH$平分$∠ COD$，$CH=DH$，
$\therefore ∠ COH=60°$，$∠ OCH=30°$，
$\therefore OH=\frac{1}{2}OC=2$，
由勾股定理得：$CH=\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore CD=2CH=4\sqrt{3}$，
$\therefore △ PMN$的周长$=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=4\sqrt{3}$，
即$△ PMN$的最短周长为$4\sqrt{3}$。

(1) 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到$AM=BM$、$AN=CN$，将$△ AMN$的周长的线段等量替换，即可证明其周长等于$BC$的长。
(2) 利用轴对称求最短路径的原理，分别作点$P$关于$OA$、$OB$的对称点，连线与$OA$、$OB$的交点即为所求的$M$、$N$，此时$△ PMN$的周长等于两个对称点的连线长度；再结合轴对称性质得到等腰$△ COD$的边长和顶角度数，通过等腰三角形性质和勾股定理计算出连线长度，得到最短周长。