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1. 下列为勾股数的是 （
A.$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$
B.$5,8,10$
C.$9,12,15$
D.$2,2,4$
C
）A.$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$
B.$5,8,10$
C.$9,12,15$
D.$2,2,4$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，需紧扣勾股数的两个核心条件：①三个数都必须是正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先排除不符合正整数要求的选项，再对剩余选项逐一验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
勾股数的定义为：能够构成直角三角形三边长的一组正整数，需同时满足两个条件：1. 三个数均为正整数；2. 两个较小数的平方和等于最大数的平方。
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$都不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项B：计算得$5^2+8^2=25+64=89$，$10^2=100$，$89≠100$，不满足平方和关系，排除；
选项C：$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，即$9^2+12^2=15^2$，且三个数均为正整数，符合勾股数定义；
选项D：$2+2=4$，无法构成三角形，且$2^2+2^2=8≠ 4^2=16$，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础概念题，核心是牢记勾股数的两个判定条件，其中“三个数都为正整数”是容易忽略的前提，避免错把满足勾股关系的无理数组合当成勾股数。
【难度系数】
0.8
要判断一组数是不是勾股数，需紧扣勾股数的两个核心条件：①三个数都必须是正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先排除不符合正整数要求的选项，再对剩余选项逐一验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
勾股数的定义为：能够构成直角三角形三边长的一组正整数，需同时满足两个条件：1. 三个数均为正整数；2. 两个较小数的平方和等于最大数的平方。
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$都不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项B：计算得$5^2+8^2=25+64=89$，$10^2=100$，$89≠100$，不满足平方和关系，排除；
选项C：$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，即$9^2+12^2=15^2$，且三个数均为正整数，符合勾股数定义；
选项D：$2+2=4$，无法构成三角形，且$2^2+2^2=8≠ 4^2=16$，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础概念题，核心是牢记勾股数的两个判定条件，其中“三个数都为正整数”是容易忽略的前提，避免错把满足勾股关系的无理数组合当成勾股数。
【难度系数】
0.8
2.(2025·海安月考)在$△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$的对边长分别为$a,b,c$,且满足$b^2 - a^2 = c^2$,则互余的一对角是 （
A.$∠ A$与$∠ B$
B.$∠ B$与$∠ C$
C.$∠ A$与$∠ C$
D.不能确定
C
）A.$∠ A$与$∠ B$
B.$∠ B$与$∠ C$
C.$∠ A$与$∠ C$
D.不能确定
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先对已知的边长等式变形，结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状，找到直角后再根据直角三角形的性质判断互余的角。第一步先把等式$b^2 - a^2 = c^2$移项，得到两条短边的平方和等于最长边的平方，从而确定三角形是直角三角形，且最长边对应的角为直角；第二步根据直角三角形两个锐角互余的性质，就能找到互余的两个角。
【解析】
解：已知$b^2 - a^2 = c^2$，将等式移项可得：
$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且边长$b$为斜边，斜边对应的内角为$∠ B$，因此$∠ B = 90°$。
在直角三角形中，两个锐角的和为$90°$，即两个锐角互余，因此$∠ A + ∠ C = 90°$，即$∠ A$与$∠ C$互余。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，核心考查勾股定理逆定理的应用以及直角三角形的基本性质，解题的关键是通过边长的等量关系确定直角的位置，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先对已知的边长等式变形，结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状，找到直角后再根据直角三角形的性质判断互余的角。第一步先把等式$b^2 - a^2 = c^2$移项，得到两条短边的平方和等于最长边的平方，从而确定三角形是直角三角形，且最长边对应的角为直角；第二步根据直角三角形两个锐角互余的性质，就能找到互余的两个角。
【解析】
解：已知$b^2 - a^2 = c^2$，将等式移项可得：
$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且边长$b$为斜边，斜边对应的内角为$∠ B$，因此$∠ B = 90°$。
在直角三角形中，两个锐角的和为$90°$，即两个锐角互余，因此$∠ A + ∠ C = 90°$，即$∠ A$与$∠ C$互余。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，核心考查勾股定理逆定理的应用以及直角三角形的基本性质，解题的关键是通过边长的等量关系确定直角的位置，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$,$DE// AB$,交$AC$于点$E$,$DF⊥ AB$于点$F$,$DE=5$,$DF=3$,则下列结论错误的是 （
A.$BF=1$
B.$DC=3$
C.$AE=5$
D.$AC=9$
A
）A.$BF=1$
B.$DC=3$
C.$AE=5$
D.$AC=9$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件回忆相关性质：①角平分线上的点到角两边距离相等，可先判断DC的长度；②结合平行线的性质和角平分线定义，可推出△AED是等腰三角形，得到AE的长度；③在Rt△CDE中用勾股定理求出CE的长度，进而得到AC的长度；最后分析BF的长度是否可求，逐一判断选项即可。
【解析】
1. 证明B选项正确：
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°（即DC⊥AC），DF⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DC=DF=3，故B选项不符合题意。
2. 证明C选项正确：
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠DAB（两直线平行，内错角相等），
又
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴∠EDA=∠DAC，
∴AE=DE=5（等角对等边），故C选项不符合题意。
3. 证明D选项正确：
在Rt△CDE中，∠C=90°，DE=5，DC=3，
由勾股定理得：$CE=\sqrt{DE^2-DC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴AC=AE+CE=5+4=9，故D选项不符合题意。
4. 判断A选项：
已知DF⊥AB，DF=3，但题目中未给出AB、BC的长度，也没有给出∠B的度数相关条件，无法求出BF的长度，不能得到BF=1的结论，故A选项错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题时需熟练结合平行线性质、角平分线性质推导边角关系，再利用勾股定理计算线段长度，逐一验证选项即可得出答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件回忆相关性质：①角平分线上的点到角两边距离相等，可先判断DC的长度；②结合平行线的性质和角平分线定义，可推出△AED是等腰三角形，得到AE的长度；③在Rt△CDE中用勾股定理求出CE的长度，进而得到AC的长度；最后分析BF的长度是否可求，逐一判断选项即可。
【解析】
1. 证明B选项正确：
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°（即DC⊥AC），DF⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DC=DF=3，故B选项不符合题意。
2. 证明C选项正确：
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠DAB（两直线平行，内错角相等），
又
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴∠EDA=∠DAC，
∴AE=DE=5（等角对等边），故C选项不符合题意。
3. 证明D选项正确：
在Rt△CDE中，∠C=90°，DE=5，DC=3，
由勾股定理得：$CE=\sqrt{DE^2-DC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴AC=AE+CE=5+4=9，故D选项不符合题意。
4. 判断A选项：
已知DF⊥AB，DF=3，但题目中未给出AB、BC的长度，也没有给出∠B的度数相关条件，无法求出BF的长度，不能得到BF=1的结论，故A选项错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题时需熟练结合平行线性质、角平分线性质推导边角关系，再利用勾股定理计算线段长度，逐一验证选项即可得出答案。
【难度系数】
0.7
4. 如图,以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,这三个等边三角形的面积从小到大依次记为 $ S_1,S_2,S_3 $,则 $ S_1,S_2,S_3 $ 之间的大小关系是 （
A.$ S_1+S_2 ＞ S_3 $
B.$ S_1+S_2 ＜ S_3 $
C.$ S_1+S_2 = S_3 $
D.不能确定
C
）A.$ S_1+S_2 ＞ S_3 $
B.$ S_1+S_2 ＜ S_3 $
C.$ S_1+S_2 = S_3 $
D.不能确定
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先设出直角三角形的三边长，结合等边三角形的面积公式将三个面积用对应边长表示，再利用勾股定理推导三个面积之间的等量关系即可得出结论。
【解析】
设直角三角形的三条边长从小到大分别为$a$、$b$、$c$（$c$为斜边），根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
边长为$x$的等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$，因此三个等边三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$。
则$S_1+S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2+\frac{\sqrt{3}}{4}b^2=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2)$，将$a^2 + b^2 = c^2$代入可得：
$S_1+S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2=S_3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；等边三角形面积计算
【点评】
本题是基础的几何综合类题目，将勾股定理与等边三角形面积计算相结合，解题核心是建立三角形边长和对应等边三角形面积的关联，再通过勾股定理推导面积关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先设出直角三角形的三边长，结合等边三角形的面积公式将三个面积用对应边长表示，再利用勾股定理推导三个面积之间的等量关系即可得出结论。
【解析】
设直角三角形的三条边长从小到大分别为$a$、$b$、$c$（$c$为斜边），根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
边长为$x$的等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$，因此三个等边三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$。
则$S_1+S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2+\frac{\sqrt{3}}{4}b^2=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2)$，将$a^2 + b^2 = c^2$代入可得：
$S_1+S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2=S_3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；等边三角形面积计算
【点评】
本题是基础的几何综合类题目，将勾股定理与等边三角形面积计算相结合，解题核心是建立三角形边长和对应等边三角形面积的关联，再通过勾股定理推导面积关系。
【难度系数】
0.7
5.(2025·海安月考)若直角三角形的两边长分别为1 cm,2 cm,则第三条边长为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$cm.
答案
5.$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$
解析
【分析】
题目给出直角三角形的两条边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要结合直角三角形“斜边为最长边”的性质分类讨论：长度为1cm的边小于2cm，不可能是斜边，因此只有两种情况：①1cm、2cm均为直角边，求斜边长度；②2cm为斜边，1cm为直角边，求另一条直角边长度。再分别代入勾股定理计算，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当1cm和2cm的边均为直角边时，第三边为斜边：
根据勾股定理，第三边长 = $\sqrt{1^2 + 2^2}$ = $\sqrt{1+4}$ = $\sqrt{5}$（cm）；
② 当2cm的边为斜边，1cm的边为直角边时，第三边为另一条直角边：
根据勾股定理，第三边长 = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{4-1}$ = $\sqrt{3}$（cm）。
综上，第三条边长为$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$cm。
【答案】
$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 分类讨论思想
3. 直角三角形三边关系
【点评】
本题是勾股定理应用的易错题，解题时切忌默认已知的两边都是直角边，一定要先判断已知边的属性，不确定时要分情况讨论，同时结合“斜边是直角三角形中最长的边”这一性质排除不可能的情况，最终结果需舍去负根，保留正的算术平方根。
【难度系数】
0.6
题目给出直角三角形的两条边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要结合直角三角形“斜边为最长边”的性质分类讨论：长度为1cm的边小于2cm，不可能是斜边，因此只有两种情况：①1cm、2cm均为直角边，求斜边长度；②2cm为斜边，1cm为直角边，求另一条直角边长度。再分别代入勾股定理计算，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当1cm和2cm的边均为直角边时，第三边为斜边：
根据勾股定理，第三边长 = $\sqrt{1^2 + 2^2}$ = $\sqrt{1+4}$ = $\sqrt{5}$（cm）；
② 当2cm的边为斜边，1cm的边为直角边时，第三边为另一条直角边：
根据勾股定理，第三边长 = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{4-1}$ = $\sqrt{3}$（cm）。
综上，第三条边长为$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$cm。
【答案】
$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 分类讨论思想
3. 直角三角形三边关系
【点评】
本题是勾股定理应用的易错题，解题时切忌默认已知的两边都是直角边，一定要先判断已知边的属性，不确定时要分情况讨论，同时结合“斜边是直角三角形中最长的边”这一性质排除不可能的情况，最终结果需舍去负根，保留正的算术平方根。
【难度系数】
0.6
6.(2025·建邺区期中)如图,在$3×3$的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C均为格点,以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交格线于点D,则CD的长为
$3-\sqrt{7}$
.答案
6.$3-\sqrt{7}$
解析
【分析】
要求CD的长度，首先观察到CD在水平格线上，点C在网格最左侧，因此只需算出点D到网格最左侧的水平距离即可。由于弧是以A为圆心作的，根据同圆的半径相等，可得AD=AB，我们可以先通过勾股定理求出AB的长度，即AD的长度；再过点A作CD所在格线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出D点到垂足的水平距离，最后用垂足到网格最左侧的距离减去该段距离，就能得到CD的长。
【解析】
解：连接AD，
∵AB和AD都是⊙A的半径，
∴AD=AB。
由网格可知，AB横向间隔2个单位长度，纵向间隔2个单位长度，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∴$AD=2\sqrt{2}$。
过点A作$AE⊥ CD$，垂足为E，
易得$AE=1$，$CE=3$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE^2 + AE^2 = AD^2$，
代入数据：$DE^2 + 1^2 = (2\sqrt{2})^2$，
解得$DE^2=8-1=7$，
∴$DE=\sqrt{7}$（线段长度为正）。
∴$CD=CE - DE=3-\sqrt{7}$。
【答案】
$3-\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是网格中几何计算的常考题型，解题的关键是抓住同圆半径相等的性质，通过作垂线构造直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，较好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要求CD的长度，首先观察到CD在水平格线上，点C在网格最左侧，因此只需算出点D到网格最左侧的水平距离即可。由于弧是以A为圆心作的，根据同圆的半径相等，可得AD=AB，我们可以先通过勾股定理求出AB的长度，即AD的长度；再过点A作CD所在格线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出D点到垂足的水平距离，最后用垂足到网格最左侧的距离减去该段距离，就能得到CD的长。
【解析】
解：连接AD，
∵AB和AD都是⊙A的半径，
∴AD=AB。
由网格可知，AB横向间隔2个单位长度，纵向间隔2个单位长度，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∴$AD=2\sqrt{2}$。
过点A作$AE⊥ CD$，垂足为E，
易得$AE=1$，$CE=3$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE^2 + AE^2 = AD^2$，
代入数据：$DE^2 + 1^2 = (2\sqrt{2})^2$，
解得$DE^2=8-1=7$，
∴$DE=\sqrt{7}$（线段长度为正）。
∴$CD=CE - DE=3-\sqrt{7}$。
【答案】
$3-\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是网格中几何计算的常考题型，解题的关键是抓住同圆半径相等的性质，通过作垂线构造直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，较好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
7.如图,以$\mathrm{Rt}△ ACB$的两边$AB$,$BC$为边向外所作正方形的面积分别是$26\ \mathrm{cm}^2$,$10\ \mathrm{cm}^2$,则以另一边$AC$为直径向外作半圆的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
答案
7.$2π$
解析
【分析】
解题时首先明确正方形面积等于边长的平方，因此题中两个正方形的面积可直接对应Rt△ACB的两条边AB、BC的平方；其次结合直角三角形的勾股定理，可求出AC的平方值；最后根据半圆的面积公式，将AC的平方代入即可求出结果，无需计算AC的具体长度，可简化计算步骤。
【解析】
解：
∵以AB为边的正方形面积为26 $\mathrm{cm}^2$，
∴$AB^2=26$，
∵以BC为边的正方形面积为10 $\mathrm{cm}^2$，
∴$BC^2=10$，
∵△ACB是直角三角形，$∠ ACB=90°$，
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴$AC^2=AB^2 - BC^2=26-10=16$，
已知半圆的直径为AC，则半圆的半径$r=\frac{AC}{2}$，
半圆面积$S=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π · (\frac{AC}{2})^2=\frac{π · AC^2}{8}$，
将$AC^2=16$代入得：$S=\frac{π × 16}{8}=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理，正方形的面积，圆的面积计算
【点评】
本题将正方形面积与勾股定理相结合，解题时无需计算AC的具体长度，直接将$AC^2$整体代入半圆面积公式即可简化运算，考查了对几何基本公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正方形面积等于边长的平方，因此题中两个正方形的面积可直接对应Rt△ACB的两条边AB、BC的平方；其次结合直角三角形的勾股定理，可求出AC的平方值；最后根据半圆的面积公式，将AC的平方代入即可求出结果，无需计算AC的具体长度，可简化计算步骤。
【解析】
解：
∵以AB为边的正方形面积为26 $\mathrm{cm}^2$，
∴$AB^2=26$，
∵以BC为边的正方形面积为10 $\mathrm{cm}^2$，
∴$BC^2=10$，
∵△ACB是直角三角形，$∠ ACB=90°$，
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴$AC^2=AB^2 - BC^2=26-10=16$，
已知半圆的直径为AC，则半圆的半径$r=\frac{AC}{2}$，
半圆面积$S=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π · (\frac{AC}{2})^2=\frac{π · AC^2}{8}$，
将$AC^2=16$代入得：$S=\frac{π × 16}{8}=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理，正方形的面积，圆的面积计算
【点评】
本题将正方形面积与勾股定理相结合，解题时无需计算AC的具体长度，直接将$AC^2$整体代入半圆面积公式即可简化运算，考查了对几何基本公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
8.如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=8,BC=6,D$ 为 $AC$ 上一点,若 $BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,则 $AD=$
$5$
.答案
8.5
解析
【分析】遇到角平分线相关问题，优先运用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作DE⊥AB于E，可得CD=DE；先通过勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度，再证明△BCD和△BED全等得到BE=BC，进而求出AE的长度；最后设CD为未知数，用含未知数的式子表示AD，在Rt△ADE中用勾股定理列方程求解，即可得到AD的长度。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ CD=DE\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE=BC=6，
∴AE=AB-BE=10-6=4。
设CD=DE=x，则AD=AC-CD=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得$AD^2=AE^2+DE^2$，
即$(8-x)^2=4^2+x^2$，
展开得$64-16x+x^2=16+x^2$，
整理得$16x=48$，解得$x=3$，
∴AD=8-3=5。
【答案】5
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；全等三角形的判定与性质
【点评】本题是典型的几何综合基础题，解题的关键是通过作角平分线的垂线段构造全等三角形和直角三角形，结合勾股定理列方程求解，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】0.7
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ CD=DE\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE=BC=6，
∴AE=AB-BE=10-6=4。
设CD=DE=x，则AD=AC-CD=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得$AD^2=AE^2+DE^2$，
即$(8-x)^2=4^2+x^2$，
展开得$64-16x+x^2=16+x^2$，
整理得$16x=48$，解得$x=3$，
∴AD=8-3=5。
【答案】5
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；全等三角形的判定与性质
【点评】本题是典型的几何综合基础题，解题的关键是通过作角平分线的垂线段构造全等三角形和直角三角形，结合勾股定理列方程求解，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】0.7
9.如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为
$\sqrt{2}$
.答案
9.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先要明确象棋中“马走日”的规则：每一步横向移动2格、纵向移动1格，或横向移动1格、纵向移动2格。解题时可通过建立平面直角坐标系确定马的初始位置坐标，先列举出马走第一步的所有合法落点，再列举第二步不走重复路线的所有落点，最后用勾股定理计算各落点与出发点的距离，找到最小值即可。
【解析】
建立平面直角坐标系，设马的出发点坐标为$(3,3)$：
1. 根据“马走日”的规则，第一步可到达的合法落点包括$(4,1)$、$(2,1)$、$(5,2)$、$(1,2)$等；
2. 从第一步落点走第二步，不走重复路线（即不回到出发点），例如从$(4,1)$出发，按规则可走到$(2,2)$；
3. 计算落点$(2,2)$和出发点$(3,3)$的距离：根据勾股定理，距离$d=\sqrt{(3-2)^2+(3-2)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。
经检验，不存在比$\sqrt{2}$更小的符合要求的距离。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，两点间距离计算
【点评】
本题结合象棋规则考查勾股定理的实际应用，解题的关键是熟悉“马走日”的规则，通过坐标法分析落点位置，再结合勾股定理计算距离，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.6
首先要明确象棋中“马走日”的规则：每一步横向移动2格、纵向移动1格，或横向移动1格、纵向移动2格。解题时可通过建立平面直角坐标系确定马的初始位置坐标，先列举出马走第一步的所有合法落点，再列举第二步不走重复路线的所有落点，最后用勾股定理计算各落点与出发点的距离，找到最小值即可。
【解析】
建立平面直角坐标系，设马的出发点坐标为$(3,3)$：
1. 根据“马走日”的规则，第一步可到达的合法落点包括$(4,1)$、$(2,1)$、$(5,2)$、$(1,2)$等；
2. 从第一步落点走第二步，不走重复路线（即不回到出发点），例如从$(4,1)$出发，按规则可走到$(2,2)$；
3. 计算落点$(2,2)$和出发点$(3,3)$的距离：根据勾股定理，距离$d=\sqrt{(3-2)^2+(3-2)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。
经检验，不存在比$\sqrt{2}$更小的符合要求的距离。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，两点间距离计算
【点评】
本题结合象棋规则考查勾股定理的实际应用，解题的关键是熟悉“马走日”的规则，通过坐标法分析落点位置，再结合勾股定理计算距离，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.6
10. 在$△ ABC$中，$AB=15$，$AC=13$，高$AD=12$，则$△ ABC$的周长为________。
答案
10.42或32
解析
【分析】
本题需要结合勾股定理计算边长，需注意高的位置存在两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，高AD在三角形内部；②当△ABC为钝角三角形时，高AD在三角形外部。先分别在两个直角三角形中用勾股定理求出BD和CD的长度，再根据两种情况计算BC的长度，最终求出三角形的周长。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$，
∴$BD=9$。
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，
∴$CD=5$。
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时（△ABC为锐角三角形）：
$BC = BD + CD = 9 + 5 = 14$，
此时△ABC的周长为 $AB + AC + BC = 15 + 13 + 14 = 42$。
2. 当高AD在△ABC外部时（△ABC为钝角三角形）：
$BC = BD - CD = 9 - 5 = 4$，
此时△ABC的周长为 $AB + AC + BC = 15 + 13 + 4 = 32$。
综上，△ABC的周长为42或32。
【答案】
42或32
【知识点】
1. 勾股定理
2. 三角形高的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅考虑锐角三角形的情形导致漏解。解题时要结合三角形高的位置特性分类讨论，熟练运用勾股定理计算直角三角形的边长。
【难度系数】
0.6
本题需要结合勾股定理计算边长，需注意高的位置存在两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，高AD在三角形内部；②当△ABC为钝角三角形时，高AD在三角形外部。先分别在两个直角三角形中用勾股定理求出BD和CD的长度，再根据两种情况计算BC的长度，最终求出三角形的周长。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$，
∴$BD=9$。
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，
∴$CD=5$。
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时（△ABC为锐角三角形）：
$BC = BD + CD = 9 + 5 = 14$，
此时△ABC的周长为 $AB + AC + BC = 15 + 13 + 14 = 42$。
2. 当高AD在△ABC外部时（△ABC为钝角三角形）：
$BC = BD - CD = 9 - 5 = 4$，
此时△ABC的周长为 $AB + AC + BC = 15 + 13 + 4 = 32$。
综上，△ABC的周长为42或32。
【答案】
42或32
【知识点】
1. 勾股定理
2. 三角形高的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅考虑锐角三角形的情形导致漏解。解题时要结合三角形高的位置特性分类讨论，熟练运用勾股定理计算直角三角形的边长。
【难度系数】
0.6
