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15.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_1:y=kx+5$与$y$轴交于点$A$.直线$l_2:y=-x+1$与直线$l_1$交于点$B$,与$y$轴交于点$C$.
(1)当点$B$的纵坐标为$2$时.
①写出点$B$的坐标及$k$的值;
②求直线$l_1,l_2$与$y$轴所围成的图形的面积.
(2)当点$B$的横坐标$x_B$满足$-3≤ x_B≤ -1$时,求实数$k$的取值范围.
(1)当点$B$的纵坐标为$2$时.
①写出点$B$的坐标及$k$的值;
②求直线$l_1,l_2$与$y$轴所围成的图形的面积.
(2)当点$B$的横坐标$x_B$满足$-3≤ x_B≤ -1$时,求实数$k$的取值范围.
答案
15.解:(1)①$\because$ 直线 $l_2:y=-x+1$ 过点 $B$,点 $B$ 的纵坐标为 2,
$\therefore -x+1=2$,解得 $x=-1$,
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(-1,2)$.
$\because$ 直线 $l_1:y=kx+5$ 过点 $B$,
$\therefore 2=-k+5$,解得 $k=3$.
②$\because k=3$,$\therefore$ 直线 $l_1$ 的函数表达式为 $y=3x+5$,
$\therefore A(0,5)$.
$\because$ 直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=-x+1$,$\therefore C(0,1)$,
$\therefore AC=5-1=4$,$\therefore$ 直线 $l_1$,$l_2$ 与 $y$ 轴所围成的图形的面积为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×1=2$.
(2)解方程组 $\begin{cases} y=kx+5, \\ y=-x+1 \end{cases}$ 得 $\begin{cases} x=-\frac{4}{k+1}, \\ y=\frac{k+5}{k+1}, \end{cases}$
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(-\frac{4}{k+1},\frac{k+5}{k+1})$.
$\because$ 点 $B$ 的横坐标 $x_B$ 满足 $-3≤ x_B≤ -1$,
$\therefore$ 当 $x_B=-3$ 时,$-\frac{4}{k+1}=-3$,解得 $k=\frac{1}{3}$,
当 $x_B=-1$ 时,$-\frac{4}{k+1}=-1$,解得 $k=3$,
$\therefore$ 实数 $k$ 的取值范围是 $\frac{1}{3}≤ k≤ 3$.
$\therefore -x+1=2$,解得 $x=-1$,
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(-1,2)$.
$\because$ 直线 $l_1:y=kx+5$ 过点 $B$,
$\therefore 2=-k+5$,解得 $k=3$.
②$\because k=3$,$\therefore$ 直线 $l_1$ 的函数表达式为 $y=3x+5$,
$\therefore A(0,5)$.
$\because$ 直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=-x+1$,$\therefore C(0,1)$,
$\therefore AC=5-1=4$,$\therefore$ 直线 $l_1$,$l_2$ 与 $y$ 轴所围成的图形的面积为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×1=2$.
(2)解方程组 $\begin{cases} y=kx+5, \\ y=-x+1 \end{cases}$ 得 $\begin{cases} x=-\frac{4}{k+1}, \\ y=\frac{k+5}{k+1}, \end{cases}$
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(-\frac{4}{k+1},\frac{k+5}{k+1})$.
$\because$ 点 $B$ 的横坐标 $x_B$ 满足 $-3≤ x_B≤ -1$,
$\therefore$ 当 $x_B=-3$ 时,$-\frac{4}{k+1}=-3$,解得 $k=\frac{1}{3}$,
当 $x_B=-1$ 时,$-\frac{4}{k+1}=-1$,解得 $k=3$,
$\therefore$ 实数 $k$ 的取值范围是 $\frac{1}{3}≤ k≤ 3$.
解析
【分析】
本题考查一次函数的综合应用，解题思路如下：
(1)① 已知点B在直线$l_2$上且纵坐标为2，先将$y=2$代入$l_2$的解析式求出点B的横坐标，得到B点坐标；再将B点坐标代入直线$l_1$的解析式，即可求出k的值。
② 两条直线与y轴围成的图形是$△ ABC$，先求出$l_1$、$l_2$与y轴的交点A、C的坐标，将线段AC的长度作为三角形的底，点B到y轴的水平距离（即B点横坐标的绝对值）作为高，利用三角形面积公式计算即可。
(2) 先联立两条直线的解析式，解方程组用含k的代数式表示出点B的横坐标，再根据$x_B$的取值范围，分别代入端点值求出对应的k值，即可确定k的取值范围。
【解析】
(1)① $\because$ 直线$l_2:y=-x+1$过点$B$，点$B$的纵坐标为2，
$\therefore$ 把$y=2$代入$y=-x+1$，得$-x+1=2$，解得$x=-1$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-1,2)$。
$\because$ 直线$l_1:y=kx+5$过点$B(-1,2)$，
$\therefore$ 把$x=-1,y=2$代入$y=kx+5$，得$2=-k+5$，解得$k=3$。
② 由①得$k=3$，$\therefore$ 直线$l_1$的解析式为$y=3x+5$，
令$x=0$，得$y=5$，$\therefore$ 点A的坐标为$(0,5)$。
$\because$ 直线$l_2:y=-x+1$，令$x=0$，得$y=1$，$\therefore$ 点C的坐标为$(0,1)$，
$\therefore AC=5-1=4$，点B到y轴的距离为$|-1|=1$，
$\therefore$ 围成图形的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×1=2$。
(2) 联立直线$l_1$和$l_2$的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=kx+5 \\ y=-x+1 \end{cases}$
消去y整理得$(k+1)x=-4$，解得$x=-\frac{4}{k+1}$，即$x_B=-\frac{4}{k+1}$。
$\because -3≤ x_B≤ -1$，
当$x_B=-3$时，$-\frac{4}{k+1}=-3$，解得$k=\frac{1}{3}$；
当$x_B=-1$时，$-\frac{4}{k+1}=-1$，解得$k=3$；
$\therefore$ 实数k的取值范围是$\frac{1}{3}≤ k≤ 3$。
【答案】
(1)① 点B的坐标为$(-1,2)$，$k=3$；② 面积为2；
(2) $k$的取值范围是$\frac{1}{3}≤ k≤ 3$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点问题，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数解析式求解、交点坐标计算、图形面积求解及参数范围确定，解题核心是熟练掌握一次函数的性质，能通过联立方程求交点，结合坐标特征解决相关问题，是一次函数的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数的综合应用，解题思路如下：
(1)① 已知点B在直线$l_2$上且纵坐标为2，先将$y=2$代入$l_2$的解析式求出点B的横坐标，得到B点坐标；再将B点坐标代入直线$l_1$的解析式，即可求出k的值。
② 两条直线与y轴围成的图形是$△ ABC$，先求出$l_1$、$l_2$与y轴的交点A、C的坐标，将线段AC的长度作为三角形的底，点B到y轴的水平距离（即B点横坐标的绝对值）作为高，利用三角形面积公式计算即可。
(2) 先联立两条直线的解析式，解方程组用含k的代数式表示出点B的横坐标，再根据$x_B$的取值范围，分别代入端点值求出对应的k值，即可确定k的取值范围。
【解析】
(1)① $\because$ 直线$l_2:y=-x+1$过点$B$，点$B$的纵坐标为2，
$\therefore$ 把$y=2$代入$y=-x+1$，得$-x+1=2$，解得$x=-1$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-1,2)$。
$\because$ 直线$l_1:y=kx+5$过点$B(-1,2)$，
$\therefore$ 把$x=-1,y=2$代入$y=kx+5$，得$2=-k+5$，解得$k=3$。
② 由①得$k=3$，$\therefore$ 直线$l_1$的解析式为$y=3x+5$，
令$x=0$，得$y=5$，$\therefore$ 点A的坐标为$(0,5)$。
$\because$ 直线$l_2:y=-x+1$，令$x=0$，得$y=1$，$\therefore$ 点C的坐标为$(0,1)$，
$\therefore AC=5-1=4$，点B到y轴的距离为$|-1|=1$，
$\therefore$ 围成图形的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×1=2$。
(2) 联立直线$l_1$和$l_2$的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=kx+5 \\ y=-x+1 \end{cases}$
消去y整理得$(k+1)x=-4$，解得$x=-\frac{4}{k+1}$，即$x_B=-\frac{4}{k+1}$。
$\because -3≤ x_B≤ -1$，
当$x_B=-3$时，$-\frac{4}{k+1}=-3$，解得$k=\frac{1}{3}$；
当$x_B=-1$时，$-\frac{4}{k+1}=-1$，解得$k=3$；
$\therefore$ 实数k的取值范围是$\frac{1}{3}≤ k≤ 3$。
【答案】
(1)① 点B的坐标为$(-1,2)$，$k=3$；② 面积为2；
(2) $k$的取值范围是$\frac{1}{3}≤ k≤ 3$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点问题，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数解析式求解、交点坐标计算、图形面积求解及参数范围确定，解题核心是熟练掌握一次函数的性质，能通过联立方程求交点，结合坐标特征解决相关问题，是一次函数的常考题型。
【难度系数】
0.7
