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7.(2025·连云港)如图,在$△ ABC$中,$BC=7$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$BC$于点$D$,$E$,$AC$的垂直平分线分别交$AC$,$BC$于点$F$,$G$,则$△ AEG$的周长为 （
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，出现了两条线段的垂直平分线，优先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们要求△AEG的周长，即AE+EG+AG的和，只需要利用垂直平分线的性质把AE、AG转化为BC上的线段，就能结合已知BC的长度求出周长。第一步，根据AB的垂直平分线DE，可得AE=BE；第二步，根据AC的垂直平分线FG，可得AG=GC；第三步，将△AEG周长中的AE替换为BE，AG替换为GC，就能发现周长总和刚好等于BC的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴AG = GC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AEG的周长 = AE + EG + AG
将AE=BE、AG=GC代入上式得：
周长 = BE + EG + GC = BC
已知BC=7，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题是基础类考题，核心考查线段垂直平分线性质的灵活应用，解题的关键是借助线段垂直平分线的性质完成未知线段和已知线段的等量转化，不需要复杂计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目条件，出现了两条线段的垂直平分线，优先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们要求△AEG的周长，即AE+EG+AG的和，只需要利用垂直平分线的性质把AE、AG转化为BC上的线段，就能结合已知BC的长度求出周长。第一步，根据AB的垂直平分线DE，可得AE=BE；第二步，根据AC的垂直平分线FG，可得AG=GC；第三步，将△AEG周长中的AE替换为BE，AG替换为GC，就能发现周长总和刚好等于BC的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴AG = GC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AEG的周长 = AE + EG + AG
将AE=BE、AG=GC代入上式得：
周长 = BE + EG + GC = BC
已知BC=7，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题是基础类考题，核心考查线段垂直平分线性质的灵活应用，解题的关键是借助线段垂直平分线的性质完成未知线段和已知线段的等量转化，不需要复杂计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$△ ABC$中,$BD$是$△ ABC$的中线,$EF$是$BC$边的垂直平分线,且$BD$与$EF$相交于点$G$,连接$AG$,$CG$,若四边形$CDGE$与四边形$ACEG$的面积分别为$7$和$11$,则$△ ABC$的面积为（
A.$18$
B.$20$
C.$22$
D.$36$
B
）A.$18$
B.$20$
C.$22$
D.$36$
答案
8.B
解析
【分析】
首先梳理已知条件：BD是△ABC的中线，可得AD=DC，同高前提下等底的三角形面积相等，因此△ABD和△CBD面积均为△ABC面积的一半，且△AGD与△CGD面积相等；EF是BC的垂直平分线，可得E是BC中点，因此△BGE和△CGE面积相等。接下来先利用两个已知四边形的面积差求出△AGD的面积，再逐步推导△CBD的面积，最终求出△ABC的总面积。
【解析】
1. 计算△AGD的面积：
∵ $S_{四边形ACEG}=11$，$S_{四边形CDGE}=7$
∴ $S_{△ AGD}=S_{四边形ACEG}-S_{四边形CDGE}=11-7=4$
2. 利用三角形中线的性质：
∵ BD是△ABC的中线，
∴ $AD=DC$
△AGD和△CGD等底同高（底$AD=DC$，高均为点G到AC的距离）
∴ $S_{△ CGD}=S_{△ AGD}=4$
3. 计算△CGE的面积：
$S_{△ CGE}=S_{四边形CDGE}-S_{△ CGD}=7-4=3$
4. 利用线段垂直平分线的性质：
∵ EF是BC的垂直平分线，
∴ E是BC的中点，即$BE=EC$
△BGE和△CGE等底同高（底$BE=EC$，高均为点G到BC的距离）
∴ $S_{△ BGE}=S_{△ CGE}=3$
5. 计算△CBD的面积：
$S_{△ CBD}=S_{△ BGE}+S_{△ CGE}+S_{△ CGD}=3+3+4=10$
6. 计算△ABC的面积：
∵ BD是△ABC的中线，中线将三角形分成面积相等的两部分
∴ $S_{△ ABC}=2S_{△ CBD}=2×10=20$
【答案】B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用“等底同高的三角形面积相等”的性质，结合中线、垂直平分线的特点推导各部分面积的关系，解题时可以先标注已知面积，再逐步推导未知部分的面积即可求解。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件：BD是△ABC的中线，可得AD=DC，同高前提下等底的三角形面积相等，因此△ABD和△CBD面积均为△ABC面积的一半，且△AGD与△CGD面积相等；EF是BC的垂直平分线，可得E是BC中点，因此△BGE和△CGE面积相等。接下来先利用两个已知四边形的面积差求出△AGD的面积，再逐步推导△CBD的面积，最终求出△ABC的总面积。
【解析】
1. 计算△AGD的面积：
∵ $S_{四边形ACEG}=11$，$S_{四边形CDGE}=7$
∴ $S_{△ AGD}=S_{四边形ACEG}-S_{四边形CDGE}=11-7=4$
2. 利用三角形中线的性质：
∵ BD是△ABC的中线，
∴ $AD=DC$
△AGD和△CGD等底同高（底$AD=DC$，高均为点G到AC的距离）
∴ $S_{△ CGD}=S_{△ AGD}=4$
3. 计算△CGE的面积：
$S_{△ CGE}=S_{四边形CDGE}-S_{△ CGD}=7-4=3$
4. 利用线段垂直平分线的性质：
∵ EF是BC的垂直平分线，
∴ E是BC的中点，即$BE=EC$
△BGE和△CGE等底同高（底$BE=EC$，高均为点G到BC的距离）
∴ $S_{△ BGE}=S_{△ CGE}=3$
5. 计算△CBD的面积：
$S_{△ CBD}=S_{△ BGE}+S_{△ CGE}+S_{△ CGD}=3+3+4=10$
6. 计算△ABC的面积：
∵ BD是△ABC的中线，中线将三角形分成面积相等的两部分
∴ $S_{△ ABC}=2S_{△ CBD}=2×10=20$
【答案】B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用“等底同高的三角形面积相等”的性质，结合中线、垂直平分线的特点推导各部分面积的关系，解题时可以先标注已知面积，再逐步推导未知部分的面积即可求解。
【难度系数】
0.6
9. 如图,线段AB,BC的垂直平分线$l_{1},l_{2}$相交于点O.若$∠1=39°$,则$∠AOC=$.
答案
9.78°
解析
【分析】
解题时先利用线段垂直平分线的性质，连接辅助线OB，可得OA=OB=OC，再结合等腰三角形等边对等角的性质，推导出∠AOC与∠ABC的数量关系；接下来根据垂直平分线的垂直属性，结合四边形内角和与平角的性质，可证∠ABC=∠1，最后代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OB，设$l_1$与AB交于点D，$l_2$与BC交于点E。
1. 因为$l_1$是AB的垂直平分线，$l_2$是BC的垂直平分线，所以$OA=OB$，$OB=OC$，且$∠ ODB=∠ OEB=90°$。
2. 由$OA=OB$得$∠ OAB=∠ OBA$，因此$∠ AOB=180°-2∠ OBA$；同理可得$∠ BOC=180°-2∠ OBC$。
3. 根据周角为$360°$，得$∠ AOC=360°-∠ AOB-∠ BOC$，代入上述结论计算：
$∠ AOC=360°-(180°-2∠ OBA)-(180°-2∠ OBC)=2(∠ OBA+∠ OBC)=2∠ ABC$。
4. 在四边形ODBE中，内角和为$360°$，代入$∠ ODB=∠ OEB=90°$，得$∠ DOE+∠ ABC=180°$。
5. 由平角定义可知$∠ DOE+∠ 1=180°$，因此$∠ ABC=∠ 1=39°$。
6. 代入得$∠ AOC=2×39°=78°$。
【答案】
$78°$
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 等腰三角形性质
3. 四边形内角和
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过添加辅助线OB建立已知角和待求角的联系，考查学生对基础几何性质的灵活运用能力，掌握角的等量代换技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.65
解题时先利用线段垂直平分线的性质，连接辅助线OB，可得OA=OB=OC，再结合等腰三角形等边对等角的性质，推导出∠AOC与∠ABC的数量关系；接下来根据垂直平分线的垂直属性，结合四边形内角和与平角的性质，可证∠ABC=∠1，最后代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OB，设$l_1$与AB交于点D，$l_2$与BC交于点E。
1. 因为$l_1$是AB的垂直平分线，$l_2$是BC的垂直平分线，所以$OA=OB$，$OB=OC$，且$∠ ODB=∠ OEB=90°$。
2. 由$OA=OB$得$∠ OAB=∠ OBA$，因此$∠ AOB=180°-2∠ OBA$；同理可得$∠ BOC=180°-2∠ OBC$。
3. 根据周角为$360°$，得$∠ AOC=360°-∠ AOB-∠ BOC$，代入上述结论计算：
$∠ AOC=360°-(180°-2∠ OBA)-(180°-2∠ OBC)=2(∠ OBA+∠ OBC)=2∠ ABC$。
4. 在四边形ODBE中，内角和为$360°$，代入$∠ ODB=∠ OEB=90°$，得$∠ DOE+∠ ABC=180°$。
5. 由平角定义可知$∠ DOE+∠ 1=180°$，因此$∠ ABC=∠ 1=39°$。
6. 代入得$∠ AOC=2×39°=78°$。
【答案】
$78°$
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 等腰三角形性质
3. 四边形内角和
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过添加辅助线OB建立已知角和待求角的联系，考查学生对基础几何性质的灵活运用能力，掌握角的等量代换技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.65
10. 如图,在$△ ABC$和$△ BCD$中,$AB=CD$,线段$AC$的垂直平分线与线段$BD$的垂直平分线相交于点$E$,连接$BE$,$DE$.求证:$∠ ABE=∠ CDE$.
答案
10. 证明:如答图
,连接AE,CE.∵AC,BD的垂直平分线相交于点E,
∴AE=CE,BE=DE.
在△ABE和△CDE中,$\begin{cases} AB=CD,\\ AE=CE,\\ BE=DE, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDE(SSS),
∴∠ABE=∠CDE.
解析
【分析】
要证明∠ABE=∠CDE，可通过证明两个角所在的三角形全等实现。首先观察已知条件：题目给出AB=CD，还提到E是AC、BD的垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，我们可以通过连接AE、CE，得到两组对应边相等，结合已知的AB=CD，即可通过“SSS”判定△ABE和△CDE全等，进而得到对应角相等。
【解析】
证明：如答图，连接AE，CE。
∵AC、BD的垂直平分线相交于点E，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE=CE，BE=DE。
在△ABE和△CDE中，
$\begin{cases} AB=CD,\\ AE=CE,\\ BE=DE, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDE（SSS），
∴根据全等三角形对应角相等，可得∠ABE=∠CDE。
【答案】
证明:如答图,连接AE,CE.
∵AC,BD的垂直平分线相交于点E,
∴AE=CE,BE=DE.
在△ABE和△CDE中,$\begin{cases} AB=CD,\\ AE=CE,\\ BE=DE, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDE(SSS),
∴∠ABE=∠CDE.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查线段垂直平分线性质和全等三角形的应用，解题的关键是合理构造辅助线，得到全等三角形需要的对应边相等的条件，熟练掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要证明∠ABE=∠CDE，可通过证明两个角所在的三角形全等实现。首先观察已知条件：题目给出AB=CD，还提到E是AC、BD的垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，我们可以通过连接AE、CE，得到两组对应边相等，结合已知的AB=CD，即可通过“SSS”判定△ABE和△CDE全等，进而得到对应角相等。
【解析】
证明：如答图
，连接AE，CE。∵AC、BD的垂直平分线相交于点E，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE=CE，BE=DE。
在△ABE和△CDE中，
$\begin{cases} AB=CD,\\ AE=CE,\\ BE=DE, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDE（SSS），
∴根据全等三角形对应角相等，可得∠ABE=∠CDE。
【答案】
证明:如答图
,连接AE,CE.∵AC,BD的垂直平分线相交于点E,
∴AE=CE,BE=DE.
在△ABE和△CDE中,$\begin{cases} AB=CD,\\ AE=CE,\\ BE=DE, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDE(SSS),
∴∠ABE=∠CDE.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查线段垂直平分线性质和全等三角形的应用，解题的关键是合理构造辅助线，得到全等三角形需要的对应边相等的条件，熟练掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$△ ABC$中，$D$是$BC$的中点，过点$D$的直线$GF$交$AC$于点$F$，交$AC$的平行线$BG$于点$G$，$DE⊥ DF$，交$AB$于点$E$，连接$EG$，$EF$。
(1)求证：$△ CFD≌△ BGD$；
(2)求证：$EG=EF$；
(3)请你判断$BE+CF$与$EF$的大小关系，并说明理由。
(1)求证：$△ CFD≌△ BGD$；
(2)求证：$EG=EF$；
(3)请你判断$BE+CF$与$EF$的大小关系，并说明理由。
答案
11. (1)证明:
∵BG//AC,
∴∠C=∠GBD.
∵D是BC的中点,
∴BD=DC.
在△CFD和△BGD中,$\begin{cases} ∠C=∠GBD,\\ CD=BD,\\ ∠CDF=∠BDG, \end{cases}$
∴△CFD≌△BGD.
(2)证明:
∵△CFD≌△BGD,
∴DF=DG.
∵DE⊥GF,
∴EG=EF.
(3)解:BE+CF＞EF.理由:
∵△CFD≌△BGD,
∴CF=BG.
在△BGE中,BG+BE＞EG,
∵EF=EG,
∴BE+CF＞EF.
∵BG//AC,
∴∠C=∠GBD.
∵D是BC的中点,
∴BD=DC.
在△CFD和△BGD中,$\begin{cases} ∠C=∠GBD,\\ CD=BD,\\ ∠CDF=∠BDG, \end{cases}$
∴△CFD≌△BGD.
(2)证明:
∵△CFD≌△BGD,
∴DF=DG.
∵DE⊥GF,
∴EG=EF.
(3)解:BE+CF＞EF.理由:
∵△CFD≌△BGD,
∴CF=BG.
在△BGE中,BG+BE＞EG,
∵EF=EG,
∴BE+CF＞EF.
解析
【分析】
(1)要证明△CFD≌△BGD，先由AC//BG得到一组内错角相等，结合D是BC中点得到一组对应边相等，再加上一组对顶角相等，即可用ASA判定两三角形全等；
(2)由(1)的全等结论可得DF=DG，结合DE⊥DF，可知DE是线段GF的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证得EG=EF；
(3)判断线段和的大小关系通常用三角形三边关系，先通过全等将CF转化为BG，把BE+CF转化为BE+BG，二者与EG恰好是△BGE的三边，再结合EG=EF即可得到大小关系。
【解析】
(1)证明:
∵BG//AC,
∴∠C=∠GBD.
∵D是BC的中点,
∴BD=DC.
在△CFD和△BGD中,$\begin{cases} ∠C=∠GBD,\\ CD=BD,\\ ∠CDF=∠BDG, \end{cases}$
∴△CFD≌△BGD(ASA).
(2)证明:
∵△CFD≌△BGD,
∴DF=DG.
∵DE⊥GF，即DE垂直平分GF,
∴EG=EF.
(3)解:BE+CF＞EF.理由:
∵△CFD≌△BGD,
∴CF=BG.
在△BGE中,根据三角形三边关系可得BG+BE＞EG,
∵EF=EG,
∴BE+CF＞EF.
【答案】
(1)△CFD≌△BGD得证；
(2)EG=EF得证；
(3)BE+CF＞EF
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过全等三角形实现线段的等量转移，将分散的线段集中到同一个三角形中结合相关性质求解，能很好地考察几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△CFD≌△BGD，先由AC//BG得到一组内错角相等，结合D是BC中点得到一组对应边相等，再加上一组对顶角相等，即可用ASA判定两三角形全等；
(2)由(1)的全等结论可得DF=DG，结合DE⊥DF，可知DE是线段GF的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证得EG=EF；
(3)判断线段和的大小关系通常用三角形三边关系，先通过全等将CF转化为BG，把BE+CF转化为BE+BG，二者与EG恰好是△BGE的三边，再结合EG=EF即可得到大小关系。
【解析】
(1)证明:
∵BG//AC,
∴∠C=∠GBD.
∵D是BC的中点,
∴BD=DC.
在△CFD和△BGD中,$\begin{cases} ∠C=∠GBD,\\ CD=BD,\\ ∠CDF=∠BDG, \end{cases}$
∴△CFD≌△BGD(ASA).
(2)证明:
∵△CFD≌△BGD,
∴DF=DG.
∵DE⊥GF，即DE垂直平分GF,
∴EG=EF.
(3)解:BE+CF＞EF.理由:
∵△CFD≌△BGD,
∴CF=BG.
在△BGE中,根据三角形三边关系可得BG+BE＞EG,
∵EF=EG,
∴BE+CF＞EF.
【答案】
(1)△CFD≌△BGD得证；
(2)EG=EF得证；
(3)BE+CF＞EF
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过全等三角形实现线段的等量转移，将分散的线段集中到同一个三角形中结合相关性质求解，能很好地考察几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
