1.(2025·工业园区期末)如图是一个风筝的骨架示意图(可称为筝形ABCD).已知AC垂直平分BD，AB=60 cm，CD=40 cm，则筝形ABCD的周长为 （）

A.100 cm
B.140 cm
C.160 cm
D.200 cm

1.D

【分析】
首先观察题目给出的条件：AC垂直平分BD，可联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。点A、点C都在BD的垂直平分线AC上，因此可以推出AB=AD、BC=CD两组相等的边，再结合已知的AB、CD的长度，求出四条边的长度后相加即可得到筝形的周长。
【解析】
解：
∵AC垂直平分BD
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$\boldsymbol{AB=AD}$，$\boldsymbol{BC=CD}$
已知$AB=60\ \mathrm{cm}$，$CD=40\ \mathrm{cm}$
∴$AD=AB=60\ \mathrm{cm}$，$BC=CD=40\ \mathrm{cm}$
∴筝形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=60+40+40+60=200\ \mathrm{cm}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质、周长计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查线段垂直平分线性质的直接应用，解题核心是利用垂直平分线的性质得到相等的线段，代入数据计算即可。
【难度系数】
0.8

2.如图，$AC=AD$，$BC=BD$，则 （）

A.$CD$ 平分 $∠ ACB$
B.$CD$ 垂直平分 $AB$
C.$CD$ 与 $AB$ 互相垂直平分
D.$AB$ 垂直平分 $CD$

2.D

【分析】
拿到本题，先结合已知条件联想相关定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先由$AC=AD$可知点A到C、D两点的距离相等，因此点A在CD的垂直平分线上；同理$BC=BD$可知点B也在CD的垂直平分线上。根据“两点确定一条直线”，可得AB所在直线就是CD的垂直平分线，由此即可判断正确选项，再逐一排除错误选项即可。
【解析】
解：$\because AC=AD$，
$\therefore$ 点A在线段CD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
$\because BC=BD$，
$\therefore$ 点B在线段CD的垂直平分线上。
$\because$ 两点确定一条直线，
$\therefore$ 直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。
逐一分析选项：
A：无相关条件证明CD平分$∠ ACB$，错误；
B：无法证明CD平分AB，错误；
C：无法证明CD垂直平分AB，因此不是互相垂直平分，错误；
D：上述推导可证AB垂直平分CD，正确。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线的判定应用，解题时要明确：两点在某条线段的垂直平分线上，过这两点的直线才是该线段的垂直平分线，注意不要混淆被平分的线段和两点所在直线的对应关系。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, $DE$ 垂直平分 $AB$ 交 $BC$ 于点 $D$,若 $△ ACD$ 的周长为 $50\ \mathrm{cm}$,则 $AC+BC=\_\_\_\_\_\_$.

3. 50 cm

【分析】
解题时首先观察题目条件，出现线段垂直平分线，优先考虑线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AD=BD。再结合△ACD的周长公式，将AD等量替换为BD，就能发现△ACD的周长恰好等于AC+BC，直接得出结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质，得$AD = BD$。
∵$△ ACD$的周长为$50\ \mathrm{cm}$，
∴$AC + CD + AD = 50\ \mathrm{cm}$，
将AD替换为BD，得：
$AC + CD + BD = 50\ \mathrm{cm}$，
又
∵$CD + BD = BC$，
∴$AC + BC = 50\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{50\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知的线段和转化为已知的三角形周长，解题时注意找准相等线段即可快速求解。
【难度系数】
0.85

4.(2025·常州期末)如图,分别以线段AB的端点A,B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径,作两条相交的弧,交点记为C,D,点E在射线DC上.若$∠ACB=100°,∠AED=30°$,则$∠EAC=$°.

4. 20

【分析】
首先根据题中的作图方法，可判断直线DE是线段AB的垂直平分线，由此可得AC=BC、AE=BE，且DE与AB垂直。接下来先利用等腰三角形内角和性质求出∠CAB的度数，再利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠EAB的度数，用∠EAB减去∠CAB即可得到∠EAC的度数。
【解析】
设DE与AB交于点O，由作图可知：DE是线段AB的垂直平分线，
∴ AC=BC，AE=BE，DE⊥AB，
∵ AC=BC，∠ACB=100°，
∴$ ∠CAB=∠CBA=\frac{180°-∠ACB}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$，
在Rt△AOE中，∠AOE=90°，∠AED=30°，
∴ ∠EAB=90°-∠AED=90°-30°=60°，
∴ ∠EAC=∠EAB - ∠CAB=60°-40°=20°。
【答案】
20
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查尺规作图的识别与几何角度计算，解题的关键是准确判断出DE是AB的垂直平分线，再结合等腰三角形、直角三角形的角度性质逐步推导计算。
【难度系数】
0.7

5.(2025·泗洪县一模)如图，AB=AC，DB=DC，点E在线段AD的延长线上.求证：EB=EC.

5. 证明:
∵AB=AC,DB=DC,
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∵点E在AD上,
∴EB=EC.

【分析】
要证明EB=EC，可利用线段垂直平分线的性质推导：首先回忆线段垂直平分线的判定规则，到线段两个端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。已知AB=AC，说明点A在BC的垂直平分线上；DB=DC说明点D也在BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可得AD是BC的垂直平分线，再结合点E在AD的延长线上，即可利用垂直平分线的性质得到结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，DB=DC，
∴ AD是线段BC的垂直平分线，
∵ 点E在线段AD的延长线上，
∴ EB=EC。
【答案】
证明:
∵AB=AC,DB=DC,
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∵点E在AD上,
∴EB=EC.
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础证明题，解题关键是先通过线段相等判定出AD是BC的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到对应线段相等，掌握相关定理的应用条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 如图，A，B，C三点表示三个村庄的地理位置.现三个村庄要合办一个自来水厂，要求自来水厂到这三个村庄的距离相等.请你设计出自来水厂O点的位置，并说明理由.（尺规作图）

6. 解:如答图.
连接AB,BC,作AB,BC的垂直平分线,两线交于点O,连接OA,OB,OC.
根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得 OA = OB = OC.

【分析】
要找到到A、B、C三个点距离相等的点，可结合线段垂直平分线的性质思考：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。首先，到A、B两点距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点都在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就同时满足到A、B、C三点距离相等，因此只需用尺规作出这两条垂直平分线，取交点即可。
【解析】
1. 用直尺连接AB、BC；
2. 分别用尺规作线段AB的垂直平分线、线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，点O即为所求自来水厂的位置；
3. 理由：因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点O在AB的垂直平分线上，所以OA=OB；又点O在BC的垂直平分线上，所以OB=OC，因此OA=OB=OC，符合到三个村庄距离相等的要求。
【答案】
如答图。连接AB,BC,作AB,BC的垂直平分线,两线交于点O,连接OA,OB,OC。根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得 OA = OB = OC。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 尺规作图
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的实际应用类题目，解题核心是将“到三点距离相等”的要求转化为作两条线段的垂直平分线找交点的几何问题，属于基础作图类题型，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键。
【难度系数】
0.8