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13.如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过。如果第一次的拐角∠A是130°，第二次的拐角∠B是150°，而第三次的拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于 （
A.130°
B.140°
C.150°
D.160°
D
）A.130°
B.140°
C.150°
D.160°
答案
13.D
解析
【分析】
本题是利用平行线性质求角度的典型拐点类问题，解题思路如下：已知第一次拐弯前的道路和第三次拐弯后的道路平行，中间折线AB、BC隔开了两条平行线，我们可以过拐点B作平行于已知道路的辅助线，把折线问题转化为熟悉的平行线被截线所截的问题，再利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质逐步计算∠C的度数。
【解析】
解：过点B作$BD//$第一次拐弯前的道路，
∵第三次拐弯后的道路和第一次拐弯前的道路平行，
∴$BD//$第三次拐弯后的道路（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵$BD//$第一次拐弯前的道路，$∠ A=130°$，
∴$∠ ABD=∠ A=130°$（两直线平行，内错角相等）。
∵$∠ ABC=150°$，
∴$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=150°-130°=20°$。
又
∵$BD//$第三次拐弯后的道路，
∴$∠ DBC+∠ C=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ C=180°-20°=160°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，辅助线构造
【点评】
本题是平行线应用的常考题型，解题核心是通过过拐点作平行线，将不规则的折线问题转化为常规的平行线求角度问题，掌握这类辅助线的构造方法就能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
本题是利用平行线性质求角度的典型拐点类问题，解题思路如下：已知第一次拐弯前的道路和第三次拐弯后的道路平行，中间折线AB、BC隔开了两条平行线，我们可以过拐点B作平行于已知道路的辅助线，把折线问题转化为熟悉的平行线被截线所截的问题，再利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质逐步计算∠C的度数。
【解析】
解：过点B作$BD//$第一次拐弯前的道路，
∵第三次拐弯后的道路和第一次拐弯前的道路平行，
∴$BD//$第三次拐弯后的道路（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵$BD//$第一次拐弯前的道路，$∠ A=130°$，
∴$∠ ABD=∠ A=130°$（两直线平行，内错角相等）。
∵$∠ ABC=150°$，
∴$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=150°-130°=20°$。
又
∵$BD//$第三次拐弯后的道路，
∴$∠ DBC+∠ C=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ C=180°-20°=160°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，辅助线构造
【点评】
本题是平行线应用的常考题型，解题核心是通过过拐点作平行线，将不规则的折线问题转化为常规的平行线求角度问题，掌握这类辅助线的构造方法就能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
14.如图,在三角形ABC中,D是AB上一点,DF//BC交AC于点E,连接CF。
(1)要使结论AB//CF成立,则∠ABC=∠
(2)在(1)的条件下,连接BE,若∠BEC=105°,∠ACF=60°,则∠ABE为
(1)要使结论AB//CF成立,则∠ABC=∠
F
;(2)在(1)的条件下,连接BE,若∠BEC=105°,∠ACF=60°,则∠ABE为
45
度。答案
14.(1)F (2)45
解析
【分析】
(1) 要判定AB//CF，可结合平行线的判定定理找相等的同位角或内错角。已知DF//BC，我们可以通过等量代换找到使AB//CF的角相等条件：若AB//CF，此时AB、CF被DF所截形成的内错角∠ADE和∠F相等，又因为DF//BC，∠ADE和∠ABC是同位角也相等，因此只要∠ABC=∠F即可推出AB//CF。
(2) 先利用平行线的性质，AB//CF时内错角∠A和∠ACF相等，得到∠A的度数；再根据三角形外角的性质，∠BEC是△ABE的外角，等于不相邻的两个内角∠A和∠ABE的和，代入已知角度计算即可得到∠ABE的度数。
【解析】
(1) 若AB//CF，DF为截线，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠ADF=∠F；
已知DF//BC，AB为截线，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠ADF=∠ABC；
因此要使AB//CF成立，需满足∠ABC=∠F。
(2) 由(1)可知AB//CF，AC为截线，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠A=∠ACF=60°；
∠BEC是△ABE的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠BEC=∠A+∠ABE；
已知∠BEC=105°，代入计算得：∠ABE=∠BEC-∠A=105°-60°=45°。
【答案】
(1)F；(2)45
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的应用，解题的关键是准确识别平行线被截线形成的对应角，结合三角形外角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要判定AB//CF，可结合平行线的判定定理找相等的同位角或内错角。已知DF//BC，我们可以通过等量代换找到使AB//CF的角相等条件：若AB//CF，此时AB、CF被DF所截形成的内错角∠ADE和∠F相等，又因为DF//BC，∠ADE和∠ABC是同位角也相等，因此只要∠ABC=∠F即可推出AB//CF。
(2) 先利用平行线的性质，AB//CF时内错角∠A和∠ACF相等，得到∠A的度数；再根据三角形外角的性质，∠BEC是△ABE的外角，等于不相邻的两个内角∠A和∠ABE的和，代入已知角度计算即可得到∠ABE的度数。
【解析】
(1) 若AB//CF，DF为截线，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠ADF=∠F；
已知DF//BC，AB为截线，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠ADF=∠ABC；
因此要使AB//CF成立，需满足∠ABC=∠F。
(2) 由(1)可知AB//CF，AC为截线，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠A=∠ACF=60°；
∠BEC是△ABE的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠BEC=∠A+∠ABE；
已知∠BEC=105°，代入计算得：∠ABE=∠BEC-∠A=105°-60°=45°。
【答案】
(1)F；(2)45
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的应用，解题的关键是准确识别平行线被截线形成的对应角，结合三角形外角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
15.如图，直线AB，CD被直线EF所截，且AB//CD，FG⊥EF于点F，∠BEF与∠DFG之间存在什么数量关系？请说明理由。
答案
15.解:$∠BEF−∠DFG=90°$。
理由如下:因为$AB//CD$,
所以$∠BEF+∠DFE=180°$,
即$∠DFE=180°−∠BEF$。
因为$FG⊥EF$,
所以$∠DFE=90°−∠DFG$,
所以$180°−∠BEF=90°−∠DFG$,
所以$∠BEF−∠DFG=90°$。
理由如下:因为$AB//CD$,
所以$∠BEF+∠DFE=180°$,
即$∠DFE=180°−∠BEF$。
因为$FG⊥EF$,
所以$∠DFE=90°−∠DFG$,
所以$180°−∠BEF=90°−∠DFG$,
所以$∠BEF−∠DFG=90°$。
解析
【分析】
要解决本题可按以下思路思考：第一步，根据已知AB//CD，利用平行线同旁内角互补的性质，得到∠BEF和∠DFE的和为180°，可用∠BEF表示出∠DFE；第二步，根据FG⊥EF的垂直关系，可知∠EFG为90°，得到∠DFE和∠DFG的和为90°，也可用∠DFG表示出∠DFE；第三步，两个表达式都等于∠DFE，联立等式整理即可得到两个角的数量关系。
【解析】
解：$∠ BEF-∠ DFG=90°$，理由如下：
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，
所以$∠ BEF+∠ DFE=180°$，
即$∠ DFE=180°-∠ BEF$。
因为$FG⊥ EF$，根据垂直的定义可得$∠ EFG=90°$，
所以$∠ DFE+∠ DFG=90°$，即$∠ DFE=90°-∠ DFG$。
联立两个表示$∠ DFE$的等式可得：
$180°-∠ BEF=90°-∠ DFG$，
移项整理后得$∠ BEF-∠ DFG=90°$。
【答案】
$∠ BEF-∠ DFG=90°$
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，角度运算
【点评】
本题属于基础几何推理题，解题关键是找到中间量$∠ DFE$，通过等量代换建立两个待求角的关系，要求熟练掌握平行线性质和垂直的定义，能准确分析图形中角的和差关系。
【难度系数】
0.7
要解决本题可按以下思路思考：第一步，根据已知AB//CD，利用平行线同旁内角互补的性质，得到∠BEF和∠DFE的和为180°，可用∠BEF表示出∠DFE；第二步，根据FG⊥EF的垂直关系，可知∠EFG为90°，得到∠DFE和∠DFG的和为90°，也可用∠DFG表示出∠DFE；第三步，两个表达式都等于∠DFE，联立等式整理即可得到两个角的数量关系。
【解析】
解：$∠ BEF-∠ DFG=90°$，理由如下：
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，
所以$∠ BEF+∠ DFE=180°$，
即$∠ DFE=180°-∠ BEF$。
因为$FG⊥ EF$，根据垂直的定义可得$∠ EFG=90°$，
所以$∠ DFE+∠ DFG=90°$，即$∠ DFE=90°-∠ DFG$。
联立两个表示$∠ DFE$的等式可得：
$180°-∠ BEF=90°-∠ DFG$，
移项整理后得$∠ BEF-∠ DFG=90°$。
【答案】
$∠ BEF-∠ DFG=90°$
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，角度运算
【点评】
本题属于基础几何推理题，解题关键是找到中间量$∠ DFE$，通过等量代换建立两个待求角的关系，要求熟练掌握平行线性质和垂直的定义，能准确分析图形中角的和差关系。
【难度系数】
0.7
16.如图，已知∠1，∠2互为补角，且∠3＝∠B。试说明：EF//BC。
第16题图
第16题图答案
16.解:因为$∠1+∠FDE=180°$,$∠1$,$∠2$互为补角,
所以$∠2=∠FDE$,所以$DF//AB$,所以$∠3=∠AEF$。
因为$∠3=∠B$,所以$∠B=∠AEF$,所以$EF//BC$。
所以$∠2=∠FDE$,所以$DF//AB$,所以$∠3=∠AEF$。
因为$∠3=∠B$,所以$∠B=∠AEF$,所以$EF//BC$。
解析
【分析】
要证明EF//BC，可通过寻找同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的关系推导。首先从已知条件∠1和∠2互补切入，结合邻补角的定义，先推出∠2与∠FDE相等，得到DF//AB；再利用平行线的性质得到∠3与∠AEF相等，结合已知∠3=∠B，等量代换得到同位角∠B=∠AEF，最终根据平行线判定定理证明EF//BC。
【解析】
解：因为$∠1+∠FDE=180°$（邻补角的定义），$∠1$，$∠2$互为补角（已知），
所以$∠2=∠FDE$（同角的补角相等），
所以$DF//AB$（内错角相等，两直线平行），
所以$∠3=∠AEF$（两直线平行，内错角相等）。
因为$∠3=∠B$（已知），
所以$∠B=∠AEF$（等量代换），
所以$EF//BC$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
因为$∠1+∠FDE=180°$,$∠1$,$∠2$互为补角,所以$∠2=∠FDE$,所以$DF//AB$,所以$∠3=∠AEF$。
因为$∠3=∠B$,所以$∠B=∠AEF$,所以$EF//BC$。
【知识点】
补角的性质；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，主要考查平行线的判定与性质的综合运用，解题时需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，再结合平行线的判定定理得到结论，熟练掌握相关定理的应用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明EF//BC，可通过寻找同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的关系推导。首先从已知条件∠1和∠2互补切入，结合邻补角的定义，先推出∠2与∠FDE相等，得到DF//AB；再利用平行线的性质得到∠3与∠AEF相等，结合已知∠3=∠B，等量代换得到同位角∠B=∠AEF，最终根据平行线判定定理证明EF//BC。
【解析】
解：因为$∠1+∠FDE=180°$（邻补角的定义），$∠1$，$∠2$互为补角（已知），
所以$∠2=∠FDE$（同角的补角相等），
所以$DF//AB$（内错角相等，两直线平行），
所以$∠3=∠AEF$（两直线平行，内错角相等）。
因为$∠3=∠B$（已知），
所以$∠B=∠AEF$（等量代换），
所以$EF//BC$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
因为$∠1+∠FDE=180°$,$∠1$,$∠2$互为补角,所以$∠2=∠FDE$,所以$DF//AB$,所以$∠3=∠AEF$。
因为$∠3=∠B$,所以$∠B=∠AEF$,所以$EF//BC$。
【知识点】
补角的性质；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，主要考查平行线的判定与性质的综合运用，解题时需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，再结合平行线的判定定理得到结论，熟练掌握相关定理的应用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.8
