登录
6.如图所示的是丁丁利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线的过程,其直接的理由是 （
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.垂直于同一直线的两条直线平行
A
）A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.垂直于同一直线的两条直线平行
答案
6.A
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：第一步，明确本题核心是考查平行线作图的判定依据，需要结合角的位置和大小关系分析；第二步，观察作图过程：平移三角尺时，三角尺与直尺的夹角大小不变，即图中的∠1和∠2度数相等；第三步，判断角的位置：∠1和∠2都在截线（直尺所在直线）的同侧，且分别在被截的直线a、直线l的同一方，属于同位角；第四步，对应平行线判定定理，同位角相等时两直线平行，即可匹配到正确选项。
【解析】
平移三角尺的过程中，三角尺和直尺的夹角始终保持不变，因此∠1=∠2；
∠1与∠2是同位角，满足“在截线同侧，在被截两直线同方向”的位置特征；
根据平行线判定定理：同位角相等，两直线平行，可推出所作直线a与已知直线l平行，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定；同位角的识别
【点评】
本题结合平行线的实操作图考查判定定理，解题关键是理解平移过程中角的大小不变，准确区分同位角、内错角、同旁内角的位置特征，属于基础考题。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路思考：第一步，明确本题核心是考查平行线作图的判定依据，需要结合角的位置和大小关系分析；第二步，观察作图过程：平移三角尺时，三角尺与直尺的夹角大小不变，即图中的∠1和∠2度数相等；第三步，判断角的位置：∠1和∠2都在截线（直尺所在直线）的同侧，且分别在被截的直线a、直线l的同一方，属于同位角；第四步，对应平行线判定定理，同位角相等时两直线平行，即可匹配到正确选项。
【解析】
平移三角尺的过程中，三角尺和直尺的夹角始终保持不变，因此∠1=∠2；
∠1与∠2是同位角，满足“在截线同侧，在被截两直线同方向”的位置特征；
根据平行线判定定理：同位角相等，两直线平行，可推出所作直线a与已知直线l平行，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定；同位角的识别
【点评】
本题结合平行线的实操作图考查判定定理，解题关键是理解平移过程中角的大小不变，准确区分同位角、内错角、同旁内角的位置特征，属于基础考题。
【难度系数】
0.8
7.一个角的余角比它的补角的一半少$30°$，则这个角的度数为
$60°$
。答案
7.$60°$
解析
【分析】
遇到这类涉及余角、补角的角度计算问题，首先我们可以设这个角的度数为未知数，再根据余角（两个角和为90°则互余）、补角（两个角和为180°则互补）的定义，用含未知数的式子分别表示出这个角的余角和补角，最后根据题目给出的“余角比补角的一半少30°”的等量关系列方程，求解方程就能得到答案。
【解析】
设这个角的度数为$x°$。
根据余角和补角的定义可知：
这个角的余角为$(90 - x)°$，这个角的补角为$(180 - x)°$。
根据题意可列方程：
$90 - x = \frac{1}{2}(180 - x) - 30$
去括号得：
$90 - x = 90 - \frac{1}{2}x - 30$
移项、合并同类项得：
$-\frac{1}{2}x = -30$
系数化为1得：
$x = 60$
【答案】
$60°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的角度计算应用题，解题的核心是熟练掌握余角、补角的概念，准确梳理题干中的等量关系列出方程，计算量小，掌握相关概念后很容易得分。
【难度系数】
0.8
遇到这类涉及余角、补角的角度计算问题，首先我们可以设这个角的度数为未知数，再根据余角（两个角和为90°则互余）、补角（两个角和为180°则互补）的定义，用含未知数的式子分别表示出这个角的余角和补角，最后根据题目给出的“余角比补角的一半少30°”的等量关系列方程，求解方程就能得到答案。
【解析】
设这个角的度数为$x°$。
根据余角和补角的定义可知：
这个角的余角为$(90 - x)°$，这个角的补角为$(180 - x)°$。
根据题意可列方程：
$90 - x = \frac{1}{2}(180 - x) - 30$
去括号得：
$90 - x = 90 - \frac{1}{2}x - 30$
移项、合并同类项得：
$-\frac{1}{2}x = -30$
系数化为1得：
$x = 60$
【答案】
$60°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的角度计算应用题，解题的核心是熟练掌握余角、补角的概念，准确梳理题干中的等量关系列出方程，计算量小，掌握相关概念后很容易得分。
【难度系数】
0.8
8.如图,写出一个使AB//CE的条件：
$∠3=∠B$(答案不唯一)
。答案
8.$∠3=∠B$(答案不唯一)
解析
【分析】
要得到AB//CE的条件，需结合平行线的判定定理思考：先观察AB、CE被哪条直线所截，再识别截线与两条直线形成的角是同位角、内错角还是同旁内角，最后根据对应判定定理写出角的数量关系即可。
【解析】
平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
观察图形：
1. 若AB、CE被直线BD所截，∠B和∠3是同位角，当∠3=∠B时，同位角相等，两直线平行，可得AB//CE；
2. 若AB、CE被直线AC所截，∠1和∠2是内错角，当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，可得AB//CE；
3. 若AB、CE被直线BD所截，∠B和∠BCE是同旁内角，当∠B+∠BCE=180°时，同旁内角互补，两直线平行，可得AB//CE。
以上条件任选其一均符合要求。
【答案】
∠3=∠B（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定；同位角识别；内错角识别
【点评】
本题是开放性试题，核心考查平行线判定定理的应用，解题关键是准确识别三线八角的位置关系，结合判定定理写出对应条件即可，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
要得到AB//CE的条件，需结合平行线的判定定理思考：先观察AB、CE被哪条直线所截，再识别截线与两条直线形成的角是同位角、内错角还是同旁内角，最后根据对应判定定理写出角的数量关系即可。
【解析】
平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
观察图形：
1. 若AB、CE被直线BD所截，∠B和∠3是同位角，当∠3=∠B时，同位角相等，两直线平行，可得AB//CE；
2. 若AB、CE被直线AC所截，∠1和∠2是内错角，当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，可得AB//CE；
3. 若AB、CE被直线BD所截，∠B和∠BCE是同旁内角，当∠B+∠BCE=180°时，同旁内角互补，两直线平行，可得AB//CE。
以上条件任选其一均符合要求。
【答案】
∠3=∠B（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定；同位角识别；内错角识别
【点评】
本题是开放性试题，核心考查平行线判定定理的应用，解题关键是准确识别三线八角的位置关系，结合判定定理写出对应条件即可，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
9.如图，△ABC是直角三角尺，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°，直尺的一边DE经过点A。若DE//CB，则∠DAB为
120
度。答案
9.120
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①直角三角尺ABC中∠C=90°，∠BAC=30°；②直尺的边DE//BC。我们可以先利用三角形内角和定理算出∠B的度数，再根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，得到∠DAB和∠B的互补关系，进而计算出∠DAB的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠B = 180° - ∠C - ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°
∵DE//CB，AB为两条平行线的截线，根据两直线平行，同旁内角互补
∴∠DAB + ∠B = 180°
将∠B=60°代入计算得：
∠DAB = 180° - 60° = 120°
【答案】
120
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，结合生活中常见的直尺、三角尺模型命题，解题核心是熟练掌握平行线的性质，准确识别平行线被截线形成的角的数量关系，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时先梳理已知条件：①直角三角尺ABC中∠C=90°，∠BAC=30°；②直尺的边DE//BC。我们可以先利用三角形内角和定理算出∠B的度数，再根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，得到∠DAB和∠B的互补关系，进而计算出∠DAB的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠B = 180° - ∠C - ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°
∵DE//CB，AB为两条平行线的截线，根据两直线平行，同旁内角互补
∴∠DAB + ∠B = 180°
将∠B=60°代入计算得：
∠DAB = 180° - 60° = 120°
【答案】
120
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，结合生活中常见的直尺、三角尺模型命题，解题核心是熟练掌握平行线的性质，准确识别平行线被截线形成的角的数量关系，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.85
10.如图，C岛在A岛的北偏东$50°$方向，C岛在B岛的北偏西$35°$方向，则$∠ ACB$的度数是
$85°$
。答案
10.$85°$
解析
【分析】
这是一道结合方位角计算角度的题目，解题思路如下：首先A、B两点的正北方向线互相平行，我们可以通过过点C作平行于正北方向的辅助线，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，把已知的两个方位角转化为∠ACB的两个组成部分，最后将两个角度相加即可得到∠ACB的度数。
【解析】
过点C作CD//A点的正北方向线，
∵A、B两点的正北方向线互相平行，
∴CD//B点的正北方向线。
根据两直线平行，内错角相等，可得：
∠ACD = 50°（对应C岛在A岛北偏东50°的方位角），
∠BCD = 35°（对应C岛在B岛北偏西35°的方位角），
∴∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 50° + 35° = 85°。
【答案】
85°
【知识点】
方位角识别、平行线的性质、角度和差计算
【点评】
本题属于方位角与平行线性质结合的基础题型，解题核心是通过构造平行辅助线转移已知方位角，将待求角拆分为已知角的和进行计算，熟练掌握平行线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是一道结合方位角计算角度的题目，解题思路如下：首先A、B两点的正北方向线互相平行，我们可以通过过点C作平行于正北方向的辅助线，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，把已知的两个方位角转化为∠ACB的两个组成部分，最后将两个角度相加即可得到∠ACB的度数。
【解析】
过点C作CD//A点的正北方向线，
∵A、B两点的正北方向线互相平行，
∴CD//B点的正北方向线。
根据两直线平行，内错角相等，可得：
∠ACD = 50°（对应C岛在A岛北偏东50°的方位角），
∠BCD = 35°（对应C岛在B岛北偏西35°的方位角），
∴∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 50° + 35° = 85°。
【答案】
85°
【知识点】
方位角识别、平行线的性质、角度和差计算
【点评】
本题属于方位角与平行线性质结合的基础题型，解题核心是通过构造平行辅助线转移已知方位角，将待求角拆分为已知角的和进行计算，熟练掌握平行线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11.在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
答案
11.解:平行,理由略。
解析
【分析】
要判断两条直线的位置关系，可结合平行线的判定定理推导。首先明确已知条件：同一平面内，两条直线都和同一条直线垂直，根据垂直的定义，两条直线与这条公共垂线的夹角均为90°，由此可得同位角（或内错角）相等、同旁内角互补，满足平行线的判定条件，即可得出结论。
【解析】
已知：在同一平面内，直线a垂直于直线c，直线b垂直于直线c，求证a//b。
证明：
∵a⊥c（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义），
∵b⊥c（已知），
∴∠2=90°（垂直的定义），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴a//b（同位角相等，两直线平行）。
（也可通过内错角相等、同旁内角互补的判定方法推导，结论一致）
【答案】
平行，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
【知识点】
平行线的判定、垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础应用题，重点考查平行线判定的相关知识，解题时要注意“同一平面内”是该结论成立的前提条件，需准确把握相关几何定理的适用范围。
【难度系数】
0.9
要判断两条直线的位置关系，可结合平行线的判定定理推导。首先明确已知条件：同一平面内，两条直线都和同一条直线垂直，根据垂直的定义，两条直线与这条公共垂线的夹角均为90°，由此可得同位角（或内错角）相等、同旁内角互补，满足平行线的判定条件，即可得出结论。
【解析】
已知：在同一平面内，直线a垂直于直线c，直线b垂直于直线c，求证a//b。
证明：
∵a⊥c（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义），
∵b⊥c（已知），
∴∠2=90°（垂直的定义），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴a//b（同位角相等，两直线平行）。
（也可通过内错角相等、同旁内角互补的判定方法推导，结论一致）
【答案】
平行，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
【知识点】
平行线的判定、垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础应用题，重点考查平行线判定的相关知识，解题时要注意“同一平面内”是该结论成立的前提条件，需准确把握相关几何定理的适用范围。
【难度系数】
0.9
12.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE//DF。试说明:∠E=∠F。
答案
12.解:因为$∠A=∠1$,所以$AE//BF$,所以$∠E=∠EGF$。
又因为$CE//DF$,所以$∠F=∠EGF$,所以$∠E=∠F$。
又因为$CE//DF$,所以$∠F=∠EGF$,所以$∠E=∠F$。
解析
【分析】
要证明∠E=∠F，可通过中间角等量代换推导。首先观察已知∠A=∠1，这两个角是直线AE、BF被直线AD所截形成的同位角，根据同位角相等可判定AE//BF，再由平行线的性质可得∠E=∠EGF；接着结合已知CE//DF，根据平行线的性质可得∠F=∠EGF，最后通过等量代换即可得到∠E=∠F。
【解析】
解：
∵∠A=∠1（已知），
∴AE//BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠E=∠EGF（两直线平行，内错角相等）。
又
∵CE//DF（已知），
∴∠F=∠EGF（两直线平行，同位角相等），
∴∠E=∠F（等量代换）。
【答案】
因为$∠A=∠1$,所以$AE//BF$,所以$∠E=∠EGF$。又因为$CE//DF$,所以$∠F=∠EGF$,所以$∠E=∠F$。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于平行线性质与判定的基础综合题，解题的关键是找准截线和被截线，正确判断角的位置关系，灵活运用平行线的判定定理和性质定理，结合等量代换即可完成证明。
【难度系数】
0.8
要证明∠E=∠F，可通过中间角等量代换推导。首先观察已知∠A=∠1，这两个角是直线AE、BF被直线AD所截形成的同位角，根据同位角相等可判定AE//BF，再由平行线的性质可得∠E=∠EGF；接着结合已知CE//DF，根据平行线的性质可得∠F=∠EGF，最后通过等量代换即可得到∠E=∠F。
【解析】
解：
∵∠A=∠1（已知），
∴AE//BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠E=∠EGF（两直线平行，内错角相等）。
又
∵CE//DF（已知），
∴∠F=∠EGF（两直线平行，同位角相等），
∴∠E=∠F（等量代换）。
【答案】
因为$∠A=∠1$,所以$AE//BF$,所以$∠E=∠EGF$。又因为$CE//DF$,所以$∠F=∠EGF$,所以$∠E=∠F$。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于平行线性质与判定的基础综合题，解题的关键是找准截线和被截线，正确判断角的位置关系，灵活运用平行线的判定定理和性质定理，结合等量代换即可完成证明。
【难度系数】
0.8
