1. (教材例题变式)64 的平方根是 ()

A.$\pm 4$
B.4
C.$\pm 8$
D.8

C

【分析】
解题首先要明确平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。需要注意正数有两个互为相反数的平方根，不要和仅取非负值的算术平方根混淆。解题时先找到平方后等于64的所有数，再对应选项判断即可。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根。
计算可得：$(+8)^2=64$，$(-8)^2=64$，
因此平方等于64的数为$\pm8$，即64的平方根是$\pm8$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易混淆平方根和算术平方根，只考虑正的平方根从而误选D，学习相关概念时要注意区分二者差异，牢记正数的平方根有一正一负两个，互为相反数。
【难度系数】
0.8

2. 下列各数在实数范围内没有平方根的是 （）

A.$-(-1)^{2025}$
B.0
C.$-3^{2}$
D.$\sqrt{9}$

C

【分析】
解决本题首先要明确平方根的核心性质：实数范围内，只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。解题时需要先按照运算规则分别计算每个选项对应的数值，再判断数值的正负性，找到其中为负数的选项即为答案，计算时要注意运算顺序，避免符号判断错误。
【解析】
我们逐个计算、判断每个选项：
1. 选项A：先计算乘方，2025是奇数，故$(-1)^{2025}=-1$，因此$-(-1)^{2025}=-(-1)=1$，1是正数，有平方根，不符合要求；
2. 选项B：0的平方根是0本身，有平方根，不符合要求；
3. 选项C：按照运算优先级先算乘方再算负号，$-3^2=-9$，-9是负数，实数范围内没有平方根，符合要求；
4. 选项D：$\sqrt{9}=3$，3是正数，有平方根，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质、有理数乘方运算、算术平方根化简
【点评】
本题属于平方根的基础考查题，解题的关键是牢记负数没有平方根的性质，同时要注意区分$-3^2$和$(-3)^2$的运算结果，避免因运算顺序搞错导致符号判断错误。
【难度系数】
0.7

3. “$\dfrac{16}{49}$的平方根是$\pm\dfrac{4}{7}$”用数学式子表示为 （）

A.$\sqrt{\dfrac{16}{49}}=\pm\dfrac{4}{7}$
B.$\sqrt{\dfrac{16}{49}}=\dfrac{4}{7}$
C.$\pm\sqrt{\dfrac{16}{49}}=\pm\dfrac{4}{7}$
D.$-\sqrt{\dfrac{16}{49}}=-\dfrac{4}{7}$

C

【分析】
解题时首先要明确平方根和算术平方根的表示规则：①$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，结果为非负数；②$\pm\sqrt{a}$才表示$a$的平方根，结果为正负两个值。题目要表示“$\dfrac{16}{49}$的平方根是$\pm\dfrac{4}{7}$”，因此式子左侧必须是表示$\dfrac{16}{49}$平方根的形式，即带$\pm$的根号形式，再逐一排查选项即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，记作$\boldsymbol{x=\pm\sqrt{a}}$；
2. $a$的非负平方根叫做$a$的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，结果恒为非负数。
对各选项逐一分析：
选项A：左侧$\sqrt{\dfrac{16}{49}}$是算术平方根，结果只能为$\dfrac{4}{7}$，不能等于$\pm\dfrac{4}{7}$，等式错误，排除；
选项B：虽然$\sqrt{\dfrac{16}{49}}=\dfrac{4}{7}$等式成立，但仅表示$\dfrac{16}{49}$的算术平方根，没有体现“平方根是正负两个值”的题意，排除；
选项C：左侧$\pm\sqrt{\dfrac{16}{49}}$表示$\dfrac{16}{49}$的平方根，等于$\pm\dfrac{4}{7}$，完全符合题意，正确；
选项D：仅表示$\dfrac{16}{49}$的负平方根，没有体现正的平方根，表述不完整，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义、平方根的表示、算术平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的基础概念题，核心易错点是混淆平方根和算术平方根的符号表示，解题时需牢记：单独的根号仅代表算术平方根，只有根号前带正负号时才表示一个数的全部平方根。
【难度系数】
0.7

4. 下列说法正确的是 （）

A.0的平方根是0
B.1的平方根是1
C.－1的平方根是－1
D.0.01是0.1的一个平方根

A 解析:0的平方根是0,故A选项符合题意;1的平方根是±1,故B选项不符合题意;-1没有平方根,故C选项不符合题意;0.1是0.01的一个平方根,故D选项不符合题意.

【分析】
解题时首先要明确平方根的定义与性质：若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。按照这个判定规则逐一分析四个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据平方根的性质逐个判断选项：
A选项：根据平方根的性质，0的平方根是0，该说法正确；
B选项：1是正数，平方根有两个，为$\pm1$，不是只有1，该说法错误；
C选项：负数没有平方根，因此-1不存在平方根，该说法错误；
D选项：因为$0.1^2=0.01$，所以0.1是0.01的一个平方根，选项表述逻辑颠倒，错误。
综上只有A选项符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义、平方根的性质
【点评】
本题是平方根相关的基础概念题，易错点在于容易混淆平方根与算术平方根的区别，以及搞反“谁是谁的平方根”的对应关系，学习时要牢记平方根的性质，理清逻辑对应关系。
【难度系数】
0.75

5. (1)4 的平方根是________.
(2)0 的平方根是________.
(3)2 的平方根是________.
(4)$(-3)^2$的平方根是________.

5.(1)±2 (2)0 (3)±√2 (4)±3

【分析】
解题需依据平方根的定义和性质展开思考：①如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根；②正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。解题步骤：先确定每一问的被开方数（第(4)问需先计算乘方得到被开方数），再根据定义找出平方等于被开方数的数，注意正数不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 因为$(±2)^2=4$，根据平方根的定义，可得4的平方根是$±2$；
(2) 因为$0^2=0$，所以0的平方根是$0$；
(3) 因为$(±\sqrt{2})^2=2$，所以2的平方根是$±\sqrt{2}$；
(4) 先计算乘方得$(-3)^2=9$，又因为$(±3)^2=9$，所以$(-3)^2$的平方根是$±3$。
【答案】
(1)$±2$ (2)$0$ (3)$±\sqrt{2}$ (4)$±3$
【知识点】
平方根的定义，平方根的性质，乘方运算
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对平方根定义和性质的理解，解题时要注意：正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏写负根；若被开方数是运算式，要先算出运算结果再求平方根，避免出错。
【难度系数】
0.8

6. (1)如果12是一个数的平方根，那么这个数的另一个平方根是.

-12

【分析】
解题时首先回忆平方根的相关性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。题目已知12是某个数的一个平方根，要求另一个平方根，只需要求出12的相反数即可得到结果。
【解析】
根据平方根的性质可知，正数的两个平方根互为相反数。
已知12是该数的一个平方根，因此它的另一个平方根是12的相反数，即$-12$。
【答案】
-12
【知识点】
平方根的性质，相反数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对平方根基本性质的理解和运用，熟练掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

(2)若一个数的平方等于 3,则这个数为________.

±√3

【分析】
首先明确本题考查平方根的相关知识，解题思路如下：第一步，回忆平方根的定义：如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$就叫做$a$的平方根；第二步，牢记正数平方根的性质：正数有两个平方根，且二者互为相反数；第三步，结合题干，已知平方的结果是3（正数），因此要求的数是3的两个平方根，注意不要漏写负的结果。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意列等式：
$x^2=3$
根据平方根的定义可得，3的平方根为$\pm\sqrt{3}$，因此$x=\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对平方根定义和性质的掌握，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，仅写出正的结果$\sqrt{3}$，解题时要注意审题，明确题目要求的是平方根还是算术平方根。
【难度系数】
0.7

7. 若$2x-5$没有平方根，则$x$的取值范围为________.

$x＜\dfrac{5}{2}$

【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。题目给出$2x-5$没有平方根，说明$2x-5$是负数，据此可列出关于$x$的一元一次不等式，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据平方根的性质可知：负数没有平方根。
$\because 2x-5$没有平方根
$\therefore 2x-5＜0$
移项得：$2x＜5$
不等式两边同时除以2，得：
$x＜\dfrac{5}{2}$
【答案】
$x＜\dfrac{5}{2}$
【知识点】
平方根的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是平方根性质的基础应用，解题核心是明确“负数没有平方根”这一判定规则，将代数式无平方根的条件转化为不等式求解即可，注意不要错误添加等号。
【难度系数】
0.8

8. 求下列各数的平方根.
(1)$\frac{25}{169}$；
(2)$1\frac{17}{64}$；
(3)$(-12)^2$；
(4)$0.49$；
(5)$(-\frac{4}{5})^2$；
(6)$3^{-4}$.

8.(1)$\pm\dfrac{5}{13}$ (2)$\pm\dfrac{9}{8}$ (3)$\pm12$ (4)$\pm0.7$ (5)$\pm\dfrac{4}{5}$ (6)$\pm\dfrac{1}{9}$

【分析】
解题前首先明确平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题时第一步先将每个待求的数化简为最简的非负数形式，再根据定义找到平方后等于该数的两个互为相反数的数即可。需要注意：带分数要先化为假分数，含乘方的先计算乘方结果，负整数指数幂先转化为正指数幂计算。
【解析】
(1) 因为$(\pm\frac{5}{13})^2=\frac{25}{169}$，所以$\frac{25}{169}$的平方根是$\pm\frac{5}{13}$。
(2) 先将带分数化为假分数：$1\frac{17}{64}=\frac{64+17}{64}=\frac{81}{64}$，因为$(\pm\frac{9}{8})^2=\frac{81}{64}$，所以$1\frac{17}{64}$的平方根是$\pm\frac{9}{8}$。
(3) 先计算乘方：$(-12)^2=144$，因为$(\pm12)^2=144$，所以$(-12)^2$的平方根是$\pm12$。
(4) 因为$(\pm0.7)^2=0.49$，所以$0.49$的平方根是$\pm0.7$。
(5) 先计算乘方：$(-\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}$，因为$(\pm\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}$，所以$(-\frac{4}{5})^2$的平方根是$\pm\frac{4}{5}$。
(6) 先计算负指数幂：$3^{-4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$，因为$(\pm\frac{1}{9})^2=\frac{1}{81}$，所以$3^{-4}$的平方根是$\pm\frac{1}{9}$。
【答案】
(1)$\pm\dfrac{5}{13}$ (2)$\pm\dfrac{9}{8}$ (3)$\pm12$ (4)$\pm0.7$ (5)$\pm\dfrac{4}{5}$ (6)$\pm\dfrac{1}{9}$
【知识点】
平方根的定义，乘方运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题是平方根计算的基础题型，解题时要注意先化简待求数，正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负的平方根，同时要熟练掌握带分数、乘方、负指数幂的化简规则，避免因化简错误丢分。
【难度系数】
0.8

9. 求下列各式中 $ x $ 的值.
(1)$16x^2 = 81$;
(2)$(x - 2)^2 - 25 = 0$;
(3)$(4x + 1)^2 - 1 = \dfrac{63}{81}$.

9.(1)$\because 16x^2=81,\therefore x^2=\dfrac{81}{16},\therefore x=\pm\dfrac{9}{4}$.
(2)$\because (x-2)^2-25=0,\therefore x-2=\pm5,\therefore x=7$ 或 $x=-3$.
(3)$\because (4x+1)^2-1=\dfrac{63}{81},\therefore (4x+1)^2=\dfrac{144}{81}=\dfrac{16}{9},\therefore 4x+1=\pm\dfrac{4}{3},\therefore x=\dfrac{1}{12}$或$x=-\dfrac{7}{12}$.

【分析】
这三道题均采用直接开平方法求解，核心是利用平方根的定义：若$a^2=b$（$b\ge0$），则$a=\pm\sqrt{b}$。解题通用思路为：先通过移项、系数化为1等操作，将原式整理为“含未知数的整式的平方=非负常数”的形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到$x$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 对$16x^2 = 81$，两边同时除以16得：$x^2=\dfrac{81}{16}$，根据平方根的定义，$\dfrac{81}{16}$的平方根为$\pm\dfrac{9}{4}$，因此$x=\pm\dfrac{9}{4}$。
(2) 对$(x - 2)^2 - 25 = 0$，移项得：$(x-2)^2=25$，开平方得：$x-2=\pm5$，当$x-2=5$时，解得$x=7$；当$x-2=-5$时，解得$x=-3$，因此$x=7$或$x=-3$。
(3) 对$(4x + 1)^2 - 1 = \dfrac{63}{81}$，移项得：$(4x+1)^2=\dfrac{63}{81}+1=\dfrac{144}{81}=\dfrac{16}{9}$，开平方得：$4x+1=\pm\dfrac{4}{3}$，当$4x+1=\dfrac{4}{3}$时，$4x=\dfrac{1}{3}$，解得$x=\dfrac{1}{12}$；当$4x+1=-\dfrac{4}{3}$时，$4x=-\dfrac{7}{3}$，解得$x=-\dfrac{7}{12}$，因此$x=\dfrac{1}{12}$或$x=-\dfrac{7}{12}$。
【答案】
(1)$x=\pm\dfrac{9}{4}$；(2)$x=7$或$x=-3$；(3)$x=\dfrac{1}{12}$或$x=-\dfrac{7}{12}$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程，一元一次方程解法
【点评】
本题是平方根应用的基础题型，重点考察对平方根概念的理解，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解，计算时先化简常数项再开方可降低出错概率。
【难度系数】
0.7