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10. 给出下列说法:①4 是 16 的算术平方根,即$\pm\sqrt{16}=4$;②4 是 16 的算术平方根,即$\sqrt{16}=4$;
③$-7$是 49 的算术平方根,即$\sqrt{(-7)^2}=-7$;④7 是$(-7)^2$的算术平方根,即$\sqrt{(-7)^2}=7$.
其中说法正确的是 （
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④
③$-7$是 49 的算术平方根,即$\sqrt{(-7)^2}=-7$;④7 是$(-7)^2$的算术平方根,即$\sqrt{(-7)^2}=7$.
其中说法正确的是 （
C
）A.①③
B.②③
C.②④
D.①④
答案
10.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确算术平方根的核心性质：算术平方根是一个非负数的正的平方根，符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）本身就表示非负的结果，和表示正负两个根的$\pm\sqrt{a}$（平方根）有明确区别；其次计算$\sqrt{a^2}$时，结果等于$|a|$，一定是非负的。我们只需要逐个验证四个说法是否符合上述规则即可。
【解析】
我们根据算术平方根的定义逐个判断：
1. 分析说法①：$\pm\sqrt{16}$表示16的平方根，结果为$\pm4$，不是仅等于4，且算术平方根应使用$\sqrt{16}$表示，故①错误；
2. 分析说法②：16的算术平方根是其正的平方根，即$\sqrt{16}=4$，符合定义，故②正确；
3. 分析说法③：算术平方根的结果一定是非负的，$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$，不可能等于负数$-7$，故③错误；
4. 分析说法④：$(-7)^2=49$，49的算术平方根是7，即$\sqrt{(-7)^2}=7$，符合定义，故④正确。
综上，②④说法正确，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的概念，根式化简，平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆算术平方根和平方根的符号表示，以及计算$\sqrt{a^2}$时忽略结果的非负性，只要牢牢抓住算术平方根结果非负的核心特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确算术平方根的核心性质：算术平方根是一个非负数的正的平方根，符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）本身就表示非负的结果，和表示正负两个根的$\pm\sqrt{a}$（平方根）有明确区别；其次计算$\sqrt{a^2}$时，结果等于$|a|$，一定是非负的。我们只需要逐个验证四个说法是否符合上述规则即可。
【解析】
我们根据算术平方根的定义逐个判断：
1. 分析说法①：$\pm\sqrt{16}$表示16的平方根，结果为$\pm4$，不是仅等于4，且算术平方根应使用$\sqrt{16}$表示，故①错误；
2. 分析说法②：16的算术平方根是其正的平方根，即$\sqrt{16}=4$，符合定义，故②正确；
3. 分析说法③：算术平方根的结果一定是非负的，$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$，不可能等于负数$-7$，故③错误；
4. 分析说法④：$(-7)^2=49$，49的算术平方根是7，即$\sqrt{(-7)^2}=7$，符合定义，故④正确。
综上，②④说法正确，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的概念，根式化简，平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆算术平方根和平方根的符号表示，以及计算$\sqrt{a^2}$时忽略结果的非负性，只要牢牢抓住算术平方根结果非负的核心特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11. 若一个自然数的算术平方根为$ a $，则下一个自然数的算术平方根为________.
答案
11.$\sqrt{a^2+1}$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$m$，那么$x$叫做$m$的算术平方根。我们可以按照三步推导：第一步根据已知的算术平方根反推出对应的原自然数；第二步计算原自然数的下一个自然数；第三步再求新自然数的算术平方根即可。要注意避免走入“下一个数的算术平方根就是$a+1$”的误区，要先还原原数再推导。
【解析】
解：已知一个自然数的算术平方根为$a$
根据算术平方根的定义，可得这个自然数为：$a^2$
它的下一个自然数比它大1，因此下一个自然数为：$a^2+1$
根据算术平方根的定义，下一个自然数的算术平方根为：$\sqrt{a^2+1}$
【答案】
$\sqrt{a^2+1}$
【知识点】
算术平方根的定义、自然数的概念
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对算术平方根定义的理解，易错点是容易跳过还原原自然数的步骤，错误认为下一个自然数的算术平方根是$a+1$，解题时要明确算术平方根和原数的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$m$，那么$x$叫做$m$的算术平方根。我们可以按照三步推导：第一步根据已知的算术平方根反推出对应的原自然数；第二步计算原自然数的下一个自然数；第三步再求新自然数的算术平方根即可。要注意避免走入“下一个数的算术平方根就是$a+1$”的误区，要先还原原数再推导。
【解析】
解：已知一个自然数的算术平方根为$a$
根据算术平方根的定义，可得这个自然数为：$a^2$
它的下一个自然数比它大1，因此下一个自然数为：$a^2+1$
根据算术平方根的定义，下一个自然数的算术平方根为：$\sqrt{a^2+1}$
【答案】
$\sqrt{a^2+1}$
【知识点】
算术平方根的定义、自然数的概念
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对算术平方根定义的理解，易错点是容易跳过还原原自然数的步骤，错误认为下一个自然数的算术平方根是$a+1$，解题时要明确算术平方根和原数的对应关系。
【难度系数】
0.8
12. 已知$\sqrt{9.31}\approx3.051\ 2$，$\sqrt{0.931}\approx0.9\ 649$，则$\sqrt{93.1}\approx$
9.649
.答案
12.9.649
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的变化规律：当被开方数的小数点向右（或向左）移动2位时，它的算术平方根的小数点对应向右（或向左）移动1位。观察待求的$\sqrt{93.1}$的被开方数93.1，和已知的$\sqrt{0.931}$的被开方数0.931对比，发现0.931的小数点向右移动2位就得到93.1，因此对应的算术平方根只要将0.9649的小数点向右移动1位即可得到结果。
【解析】
解：根据算术平方根的性质，被开方数扩大100倍，其算术平方根扩大10倍。
∵$93.1 = 0.931 × 100$，且已知$\sqrt{0.931}\approx0.9649$
∴$\sqrt{93.1} = \sqrt{0.931×100} = \sqrt{0.931} × \sqrt{100} = 10×\sqrt{0.931} \approx10×0.9649=9.649$
【答案】
9.649
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 被开方数与算术平方根的变化规律
【点评】
本题考查算术平方根的相关规律应用，解题核心是掌握被开方数和其算术平方根的小数点移动的对应关系，找准待求式与已知条件中被开方数的倍数关系即可快速解答，易错点是容易混淆小数点移动的方向和位数。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的变化规律：当被开方数的小数点向右（或向左）移动2位时，它的算术平方根的小数点对应向右（或向左）移动1位。观察待求的$\sqrt{93.1}$的被开方数93.1，和已知的$\sqrt{0.931}$的被开方数0.931对比，发现0.931的小数点向右移动2位就得到93.1，因此对应的算术平方根只要将0.9649的小数点向右移动1位即可得到结果。
【解析】
解：根据算术平方根的性质，被开方数扩大100倍，其算术平方根扩大10倍。
∵$93.1 = 0.931 × 100$，且已知$\sqrt{0.931}\approx0.9649$
∴$\sqrt{93.1} = \sqrt{0.931×100} = \sqrt{0.931} × \sqrt{100} = 10×\sqrt{0.931} \approx10×0.9649=9.649$
【答案】
9.649
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 被开方数与算术平方根的变化规律
【点评】
本题考查算术平方根的相关规律应用，解题核心是掌握被开方数和其算术平方根的小数点移动的对应关系，找准待求式与已知条件中被开方数的倍数关系即可快速解答，易错点是容易混淆小数点移动的方向和位数。
【难度系数】
0.8
13. (1)若$(a-3)^2+\sqrt{b-5}=0$,则以$a、b$为边长的等腰三角形的周长为
11或13
.答案
13.(1)11或13 解析:$\because (a-3)^2+\sqrt{b-5}=0,\therefore a-3=0,b-5=0$,$\therefore a=3,b=5$.设三角形的第三边为$c$,当$c=a=3$时,三角形的周长为$a+b+c=3+5+3=11$;当$c=b=5$时,三角形的周长为$3+5+5=13$.综上所述,等腰三角形的周长为11或13.
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：平方数和算术平方根均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此先求出a、b的值。再结合等腰三角形两腰相等的特点，分腰长为a、腰长为b两种情况讨论，最后每种情况都要验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），符合要求的再计算周长即可。
【解析】
$\because (a-3)^2≥0$，$\sqrt{b-5}≥0$，且$(a-3)^2+\sqrt{b-5}=0$
$\therefore a-3=0$，$b-5=0$，解得$a=3$，$b=5$
已知三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为3，底边长为5时，三边长为3、3、5
$\because 3+3＞5$，满足三角形三边关系，此时周长$=3+3+5=11$
② 当腰长为5，底边长为3时，三边长为5、5、3
$\because 3+5＞5$，满足三角形三边关系，此时周长$=5+5+3=13$
综上，等腰三角形的周长为11或13。
【答案】
11或13
【知识点】
非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先求出边长，再结合等腰三角形的特征分类讨论，注意一定要验证三边是否能构成三角形，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：平方数和算术平方根均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此先求出a、b的值。再结合等腰三角形两腰相等的特点，分腰长为a、腰长为b两种情况讨论，最后每种情况都要验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），符合要求的再计算周长即可。
【解析】
$\because (a-3)^2≥0$，$\sqrt{b-5}≥0$，且$(a-3)^2+\sqrt{b-5}=0$
$\therefore a-3=0$，$b-5=0$，解得$a=3$，$b=5$
已知三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为3，底边长为5时，三边长为3、3、5
$\because 3+3＞5$，满足三角形三边关系，此时周长$=3+3+5=11$
② 当腰长为5，底边长为3时，三边长为5、5、3
$\because 3+5＞5$，满足三角形三边关系，此时周长$=5+5+3=13$
综上，等腰三角形的周长为11或13。
【答案】
11或13
【知识点】
非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先求出边长，再结合等腰三角形的特征分类讨论，注意一定要验证三边是否能构成三角形，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
(2)若$\sqrt{a+3}+\sqrt{2-b}=0$，则$a^b$的值是________.
答案
13.(2)9 解析:$\because \sqrt{a+3}+\sqrt{2-b}=0,\therefore \begin{cases}a+3=0,\\2-b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-3,\\b=2,\end{cases}$$\therefore a^b=(-3)^2=9$.
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数（即大于等于0）。题目中两个算术平方根的和为0，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0。因此我们可以分别令两个根号内的代数式等于0，解出a、b的取值，再代入$a^b$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 算术平方根具有非负性，即$\sqrt{a+3}≥0$，$\sqrt{2-b}≥0$，且$\sqrt{a+3}+\sqrt{2-b}=0$
$\therefore \begin{cases}a+3=0\\2-b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-3\\b=2\end{cases}$
将$a=-3$，$b=2$代入$a^b$得：
$a^b=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
算术平方根的非负性；非负数和为0的性质；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查算术平方根非负性的应用，解题关键是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”的性质，计算时注意负数的偶次幂结果为正即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数（即大于等于0）。题目中两个算术平方根的和为0，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0。因此我们可以分别令两个根号内的代数式等于0，解出a、b的取值，再代入$a^b$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 算术平方根具有非负性，即$\sqrt{a+3}≥0$，$\sqrt{2-b}≥0$，且$\sqrt{a+3}+\sqrt{2-b}=0$
$\therefore \begin{cases}a+3=0\\2-b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-3\\b=2\end{cases}$
将$a=-3$，$b=2$代入$a^b$得：
$a^b=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
算术平方根的非负性；非负数和为0的性质；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查算术平方根非负性的应用，解题关键是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”的性质，计算时注意负数的偶次幂结果为正即可。
【难度系数】
0.8
14. 已知$\sqrt{5}$是$2a-1$的算术平方根，3是$3a+2b-3$的算术平方根，求$a+2b$的算术平方根。
答案
14. 由题意,得$\begin{cases}2a-1=5,\\3a+2b-3=9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=\dfrac{3}{2},\end{cases}$$\therefore a+2b=3+2×\dfrac{3}{2}=6$,$\therefore a+2b$的算术平方根为$\sqrt{6}$.
解析
【分析】
解题核心是运用算术平方根的定义：若x是y的算术平方根，则$x^2=y$。首先根据已知的算术平方根，分别列出关于a、b的方程，先求出a的值，再代入求出b的值，最后计算$a+2b$的结果，再求其算术平方根即可。
【解析】
解：由算术平方根的定义，得
$\begin{cases}2a-1=(\sqrt{5})^2=5\\3a+2b-3=3^2=9\end{cases}$
解第一个方程：$2a-1=5$，移项得$2a=6$，解得$a=3$。
把$a=3$代入第二个方程：$3×3 + 2b - 3 =9$，化简得$6+2b=9$，移项得$2b=3$，解得$b=\dfrac{3}{2}$。
将$a=3$，$b=\dfrac{3}{2}$代入$a+2b$：
$a+2b=3 + 2×\dfrac{3}{2}=6$
6的算术平方根为$\sqrt{6}$，即$a+2b$的算术平方根是$\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
算术平方根的定义；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于算术平方根的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握算术平方根的性质，根据已知条件建立方程求出未知字母的值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题核心是运用算术平方根的定义：若x是y的算术平方根，则$x^2=y$。首先根据已知的算术平方根，分别列出关于a、b的方程，先求出a的值，再代入求出b的值，最后计算$a+2b$的结果，再求其算术平方根即可。
【解析】
解：由算术平方根的定义，得
$\begin{cases}2a-1=(\sqrt{5})^2=5\\3a+2b-3=3^2=9\end{cases}$
解第一个方程：$2a-1=5$，移项得$2a=6$，解得$a=3$。
把$a=3$代入第二个方程：$3×3 + 2b - 3 =9$，化简得$6+2b=9$，移项得$2b=3$，解得$b=\dfrac{3}{2}$。
将$a=3$，$b=\dfrac{3}{2}$代入$a+2b$：
$a+2b=3 + 2×\dfrac{3}{2}=6$
6的算术平方根为$\sqrt{6}$，即$a+2b$的算术平方根是$\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
算术平方根的定义；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于算术平方根的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握算术平方根的性质，根据已知条件建立方程求出未知字母的值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
15. 某同学想用一张面积为 $ 400 \ \mathrm{cm}^2 $ 的正方形纸(如图),沿着边的方向裁出一块面积为$ 300 \ \mathrm{cm}^2 $的长方形纸片,使它的长、宽之比为 $ 6:5 $.请你用所学过的知识来说明能否用这张纸裁出符合要求的纸片.
答案
15. 能裁出符合要求的纸片.理由如下:设长方形纸片的长为$6x\ \mathrm{cm}$,则宽为$5x\ \mathrm{cm}$.由题意,得$6x·5x=300$,$\therefore x^2=10$.$\because x＞0$,$\therefore x=\sqrt{10}$,$\therefore$长方形纸片的长为$6\sqrt{10}\mathrm{cm}$.由正方形纸的面积为$400\ \mathrm{cm}^2$,可知其边长为$20\ \mathrm{cm}$.$\because (6\sqrt{10})^2=360＜20^2=400$,$\therefore 6\sqrt{10}＜20$,$\therefore$长方形纸片的长小于正方形纸的边长,$\therefore$能用这张纸裁出符合要求的纸片.
解析
【分析】
要判断能否裁出符合要求的长方形，首先需要明确判断依据：只要长方形的长不超过正方形的边长，就可以裁出。解题思路为：第一步根据长方形长宽的比例关系设未知数，结合长方形面积公式列方程，求出长方形的长；第二步根据正方形面积求出正方形的边长；第三步比较长方形的长和正方形边长的大小，即可得出结论。
【解析】
设长方形纸片的长为$6x\ \mathrm{cm}$，由长、宽之比为$6:5$，可得宽为$5x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式，结合面积为$300\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$6x· 5x=300$
化简得$30x^2=300$，即$x^2=10$。
因为边长为正数，$x＞0$，所以$x=\sqrt{10}$，因此长方形的长为$6\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
已知正方形纸的面积为$400\ \mathrm{cm}^2$，则正方形的边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
通过平方比较大小：$(6\sqrt{10})^2=360$，$20^2=400$，因为$360＜400$，所以$6\sqrt{10}＜20$，即长方形的长小于正方形的边长。
【答案】
能裁出符合要求的纸片。
【知识点】
算术平方根应用；面积公式计算；实数大小比较
【点评】
本题属于算术平方根的实际应用类题目，解题的关键是将实际裁剪问题转化为数学中的长度比较问题，通过设参数、列方程求出长方形的长后和正方形边长对比即可求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断能否裁出符合要求的长方形，首先需要明确判断依据：只要长方形的长不超过正方形的边长，就可以裁出。解题思路为：第一步根据长方形长宽的比例关系设未知数，结合长方形面积公式列方程，求出长方形的长；第二步根据正方形面积求出正方形的边长；第三步比较长方形的长和正方形边长的大小，即可得出结论。
【解析】
设长方形纸片的长为$6x\ \mathrm{cm}$，由长、宽之比为$6:5$，可得宽为$5x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式，结合面积为$300\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$6x· 5x=300$
化简得$30x^2=300$，即$x^2=10$。
因为边长为正数，$x＞0$，所以$x=\sqrt{10}$，因此长方形的长为$6\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
已知正方形纸的面积为$400\ \mathrm{cm}^2$，则正方形的边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
通过平方比较大小：$(6\sqrt{10})^2=360$，$20^2=400$，因为$360＜400$，所以$6\sqrt{10}＜20$，即长方形的长小于正方形的边长。
【答案】
能裁出符合要求的纸片。
【知识点】
算术平方根应用；面积公式计算；实数大小比较
【点评】
本题属于算术平方根的实际应用类题目，解题的关键是将实际裁剪问题转化为数学中的长度比较问题，通过设参数、列方程求出长方形的长后和正方形边长对比即可求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
16. (1)求$\sqrt{2^2}$、$\sqrt{(-3)^2}$、$\sqrt{5^2}$、$\sqrt{(-6)^2}$、$\sqrt{7^2}$、$\sqrt{0^2}$的值. 对于任意实数$a$，$\sqrt{a^2}$等于多少？
(2)求$(\sqrt{4})^2$、$(\sqrt{9})^2$、$(\sqrt{25})^2$、$(\sqrt{36})^2$、$(\sqrt{49})^2$、$(\sqrt{0})^2$的值. 对于任意非负实数$a$，$(\sqrt{a})^2$等于多少？
(3)比较(1)(2)的结果，把你的发现用式子表示出来.
(4)根据上面发现的规律，求$(3-π)^2$的算术平方根.
(2)求$(\sqrt{4})^2$、$(\sqrt{9})^2$、$(\sqrt{25})^2$、$(\sqrt{36})^2$、$(\sqrt{49})^2$、$(\sqrt{0})^2$的值. 对于任意非负实数$a$，$(\sqrt{a})^2$等于多少？
(3)比较(1)(2)的结果，把你的发现用式子表示出来.
(4)根据上面发现的规律，求$(3-π)^2$的算术平方根.
答案
16. (1)$\sqrt{2^2}=2$,$\sqrt{(-3)^2}=3$,$\sqrt{5^2}=5$,$\sqrt{(-6)^2}=6$,$\sqrt{7^2}=7$,$\sqrt{0^2}=0$;$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a＞0),\\0(a=0),\\-a(a＜0).\end{cases}$
(2)$(\sqrt{4})^2=4$,$(\sqrt{9})^2=9$,$(\sqrt{25})^2=25$,$(\sqrt{36})^2=36$,$(\sqrt{49})^2=49$,$(\sqrt{0})^2=0$;当$a≥0$时,$(\sqrt{a})^2=a$.
(3)若$a≥0$,则$\sqrt{a^2}=a$,$(\sqrt{a})^2=a$;若$a＜0$,则$\sqrt{a^2}=-a$.
(4)$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3$.
(2)$(\sqrt{4})^2=4$,$(\sqrt{9})^2=9$,$(\sqrt{25})^2=25$,$(\sqrt{36})^2=36$,$(\sqrt{49})^2=49$,$(\sqrt{0})^2=0$;当$a≥0$时,$(\sqrt{a})^2=a$.
(3)若$a≥0$,则$\sqrt{a^2}=a$,$(\sqrt{a})^2=a$;若$a＜0$,则$\sqrt{a^2}=-a$.
(4)$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3$.
解析
【分析】
解题按照小问逐步推导：
(1) 先依据算术平方根的定义（一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根）计算给出的具体式子的结果，观察结果与原式底数的关系：底数为正时结果等于本身，底数为负时结果等于底数的相反数，底数为0时结果为0，由此可归纳出$\sqrt{a^2}$的结果等于a的绝对值，再按绝对值的分类规则展开即可。
(2) 先计算每个具体式子的值，可发现结果都等于根号内的原数，由于根号下的数均为非负数，由此归纳出非负实数a满足$(\sqrt{a})^2=a$。
(3) 对比(1)(2)的结论，分$a≥0$和$a＜0$两种情况整理两个性质的关联即可。
(4) 求$(3-π)^2$的算术平方根即计算$\sqrt{(3-π)^2}$，直接使用(1)的规律，先判断$3-π$的正负，再去绝对值即可得到结果。
【解析】
(1) 逐个计算得：
$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，$\sqrt{5^2}=\sqrt{25}=5$，$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{7^2}=\sqrt{49}=7$，$\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$；
观察结果总结规律：$\sqrt{a^2}=|a|$，按绝对值的意义分类为$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a＞0)\\0(a=0)\\-a(a＜0)\end{cases}$。
(2) 逐个计算得：
$(\sqrt{4})^2=2^2=4$，$(\sqrt{9})^2=3^2=9$，$(\sqrt{25})^2=5^2=25$，$(\sqrt{36})^2=6^2=36$，$(\sqrt{49})^2=7^2=49$，$(\sqrt{0})^2=0^2=0$；
观察结果总结规律：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$。
(3) 对比(1)(2)的结论整理规律：
当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$，此时$\sqrt{a}$无意义。
(4) $(3-π)^2$的算术平方根为$\sqrt{(3-π)^2}$，因为$π\approx3.14＞3$，所以$3-π＜0$，代入(1)的规律得：$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3$。
【答案】
(1)$\sqrt{2^2}=2$,$\sqrt{(-3)^2}=3$,$\sqrt{5^2}=5$,$\sqrt{(-6)^2}=6$,$\sqrt{7^2}=7$,$\sqrt{0^2}=0$;$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a＞0),\\0(a=0),\\-a(a＜0).\end{cases}$
(2)$(\sqrt{4})^2=4$,$(\sqrt{9})^2=9$,$(\sqrt{25})^2=25$,$(\sqrt{36})^2=36$,$(\sqrt{49})^2=49$,$(\sqrt{0})^2=0$;当$a≥0$时,$(\sqrt{a})^2=a$.
(3)若$a≥0$,则$\sqrt{a^2}=a$,$(\sqrt{a})^2=a$;若$a＜0$,则$\sqrt{a^2}=-a$.
(4)$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3$.
【知识点】
算术平方根的性质，绝对值的化简，二次根式运算
【点评】
本题通过从特殊到一般的归纳方法，引导推导二次根式的两个核心性质，重点考查对算术平方根非负性的理解与应用，是后续二次根式化简运算的基础，需熟练掌握两个性质的适用条件。
【难度系数】
0.75
解题按照小问逐步推导：
(1) 先依据算术平方根的定义（一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根）计算给出的具体式子的结果，观察结果与原式底数的关系：底数为正时结果等于本身，底数为负时结果等于底数的相反数，底数为0时结果为0，由此可归纳出$\sqrt{a^2}$的结果等于a的绝对值，再按绝对值的分类规则展开即可。
(2) 先计算每个具体式子的值，可发现结果都等于根号内的原数，由于根号下的数均为非负数，由此归纳出非负实数a满足$(\sqrt{a})^2=a$。
(3) 对比(1)(2)的结论，分$a≥0$和$a＜0$两种情况整理两个性质的关联即可。
(4) 求$(3-π)^2$的算术平方根即计算$\sqrt{(3-π)^2}$，直接使用(1)的规律，先判断$3-π$的正负，再去绝对值即可得到结果。
【解析】
(1) 逐个计算得：
$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，$\sqrt{5^2}=\sqrt{25}=5$，$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{7^2}=\sqrt{49}=7$，$\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$；
观察结果总结规律：$\sqrt{a^2}=|a|$，按绝对值的意义分类为$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a＞0)\\0(a=0)\\-a(a＜0)\end{cases}$。
(2) 逐个计算得：
$(\sqrt{4})^2=2^2=4$，$(\sqrt{9})^2=3^2=9$，$(\sqrt{25})^2=5^2=25$，$(\sqrt{36})^2=6^2=36$，$(\sqrt{49})^2=7^2=49$，$(\sqrt{0})^2=0^2=0$；
观察结果总结规律：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$。
(3) 对比(1)(2)的结论整理规律：
当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$，此时$\sqrt{a}$无意义。
(4) $(3-π)^2$的算术平方根为$\sqrt{(3-π)^2}$，因为$π\approx3.14＞3$，所以$3-π＜0$，代入(1)的规律得：$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3$。
【答案】
(1)$\sqrt{2^2}=2$,$\sqrt{(-3)^2}=3$,$\sqrt{5^2}=5$,$\sqrt{(-6)^2}=6$,$\sqrt{7^2}=7$,$\sqrt{0^2}=0$;$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a＞0),\\0(a=0),\\-a(a＜0).\end{cases}$
(2)$(\sqrt{4})^2=4$,$(\sqrt{9})^2=9$,$(\sqrt{25})^2=25$,$(\sqrt{36})^2=36$,$(\sqrt{49})^2=49$,$(\sqrt{0})^2=0$;当$a≥0$时,$(\sqrt{a})^2=a$.
(3)若$a≥0$,则$\sqrt{a^2}=a$,$(\sqrt{a})^2=a$;若$a＜0$,则$\sqrt{a^2}=-a$.
(4)$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3$.
【知识点】
算术平方根的性质，绝对值的化简，二次根式运算
【点评】
本题通过从特殊到一般的归纳方法，引导推导二次根式的两个核心性质，重点考查对算术平方根非负性的理解与应用，是后续二次根式化简运算的基础，需熟练掌握两个性质的适用条件。
【难度系数】
0.75
