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1. 在括号里写出每组数的最大公因数。
12 和 4(
6 和 13(
3 和 27(
我发现：
。
12 和 4(
4
) 48 和 16(16
)6 和 13(
1
) 9 和 36(9
)3 和 27(
3
) 14 和 28(14
)我发现：
当两个数是倍数关系时,它们的最大公因数是两个数中的较小数。(合理即可)
。
答案
4
16
1
9
3
14
当两个数是倍数关系时，它们
的最大公因数是两个数中的较小数。
16
1
9
3
14
当两个数是倍数关系时，它们
的最大公因数是两个数中的较小数。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先回忆最大公因数的两种常见情况：一是两个数成倍数关系，二是两个数是互质数（除了1没有其他公因数）。首先判断每组数的关系：对于12和4、48和16、9和36、3和27、14和28，每组中较大数都是较小数的倍数；而6和13除了1没有其他公因数，属于互质数。针对倍数关系的数，它们的最大公因数是较小数；互质数的最大公因数是1。最后通过观察这些结果，总结出对应的规律。
【解析】
1. 对于12和4：因为12÷4=3，即12是4的倍数，所以它们的最大公因数是较小数4；
2. 对于48和16：48÷16=3，即48是16的倍数，所以它们的最大公因数是较小数16；
3. 对于6和13：6的因数为1、2、3、6，13的因数为1、13，两者的公因数只有1，所以最大公因数是1；
4. 对于9和36：36÷9=4，即36是9的倍数，所以它们的最大公因数是较小数9；
5. 对于3和27：27÷3=9，即27是3的倍数，所以它们的最大公因数是较小数3；
6. 对于14和28：28÷14=2，即28是14的倍数，所以它们的最大公因数是较小数14；
观察上述倍数关系的数的最大公因数，可总结规律：当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中的较小数。
【答案】
4
16
1
9
3
14
当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中的较小数。
【知识点】
最大公因数求法，倍数关系的最大公因数
【点评】
本题通过几组典型的数对，考查学生对最大公因数求法的掌握，引导学生总结倍数关系下最大公因数的规律，帮助学生快速解决此类问题，强化对最大公因数概念的理解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以先回忆最大公因数的两种常见情况：一是两个数成倍数关系，二是两个数是互质数（除了1没有其他公因数）。首先判断每组数的关系：对于12和4、48和16、9和36、3和27、14和28，每组中较大数都是较小数的倍数；而6和13除了1没有其他公因数，属于互质数。针对倍数关系的数，它们的最大公因数是较小数；互质数的最大公因数是1。最后通过观察这些结果，总结出对应的规律。
【解析】
1. 对于12和4：因为12÷4=3，即12是4的倍数，所以它们的最大公因数是较小数4；
2. 对于48和16：48÷16=3，即48是16的倍数，所以它们的最大公因数是较小数16；
3. 对于6和13：6的因数为1、2、3、6，13的因数为1、13，两者的公因数只有1，所以最大公因数是1；
4. 对于9和36：36÷9=4，即36是9的倍数，所以它们的最大公因数是较小数9；
5. 对于3和27：27÷3=9，即27是3的倍数，所以它们的最大公因数是较小数3；
6. 对于14和28：28÷14=2，即28是14的倍数，所以它们的最大公因数是较小数14；
观察上述倍数关系的数的最大公因数，可总结规律：当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中的较小数。
【答案】
4
16
1
9
3
14
当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中的较小数。
【知识点】
最大公因数求法，倍数关系的最大公因数
【点评】
本题通过几组典型的数对，考查学生对最大公因数求法的掌握，引导学生总结倍数关系下最大公因数的规律，帮助学生快速解决此类问题，强化对最大公因数概念的理解。
【难度系数】
0.8
2. 按要求写两个数，使它们的最大公因数是 1。
(1) 两个质数：
(2) 两个合数：
(3) 一个质数，一个合数：
(1) 两个质数：
答案不唯一
。(2) 两个合数：
答案不唯一
。(3) 一个质数，一个合数：
答案不唯一
。答案
答案不唯一，如2和3
答案不唯一，如8和9
答案不唯一，
如3和4
答案不唯一，如8和9
答案不唯一，
如3和4
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确核心概念：质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，最大公因数是1的两个数称为互质数。
（1）两个质数：质数的因数仅为1和自身，任意两个不同质数的公因数只有1，满足最大公因数是1的要求，只需选两个不同质数即可。
（2）两个合数：合数有多个因数，需找除1外无其他公因数的合数，比如相邻合数（相邻数最大公因数为1），或因数完全不同的合数。
（3）一个质数一个合数：只要合数不是该质数的倍数，两者公因数就只有1，因为质数因数仅1和自身，若合数不含该质数作为因数，最大公因数就是1。
【解析】
（1）选取两个不同质数，如2和3：2的因数是1、2，3的因数是1、3，公因数只有1，最大公因数为1，符合要求。
（2）选取两个合数，如8和9：8的因数是1、2、4、8，9的因数是1、3、9，公因数只有1，最大公因数为1，符合要求。
（3）选取一个质数和一个合数，如3和4：3的因数是1、3，4的因数是1、2、4，公因数只有1，最大公因数为1，符合要求。
【答案】
（1）答案不唯一，如2和3
（2）答案不唯一，如8和9
（3）答案不唯一，如3和4
【知识点】
质数与合数定义、互质数概念
【点评】
本题考查质数、合数及互质数的概念理解，答案具有开放性，需灵活运用概念判断两个数最大公因数为1的条件，能帮助学生深化对因数、公因数相关知识的掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确核心概念：质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，最大公因数是1的两个数称为互质数。
（1）两个质数：质数的因数仅为1和自身，任意两个不同质数的公因数只有1，满足最大公因数是1的要求，只需选两个不同质数即可。
（2）两个合数：合数有多个因数，需找除1外无其他公因数的合数，比如相邻合数（相邻数最大公因数为1），或因数完全不同的合数。
（3）一个质数一个合数：只要合数不是该质数的倍数，两者公因数就只有1，因为质数因数仅1和自身，若合数不含该质数作为因数，最大公因数就是1。
【解析】
（1）选取两个不同质数，如2和3：2的因数是1、2，3的因数是1、3，公因数只有1，最大公因数为1，符合要求。
（2）选取两个合数，如8和9：8的因数是1、2、4、8，9的因数是1、3、9，公因数只有1，最大公因数为1，符合要求。
（3）选取一个质数和一个合数，如3和4：3的因数是1、3，4的因数是1、2、4，公因数只有1，最大公因数为1，符合要求。
【答案】
（1）答案不唯一，如2和3
（2）答案不唯一，如8和9
（3）答案不唯一，如3和4
【知识点】
质数与合数定义、互质数概念
【点评】
本题考查质数、合数及互质数的概念理解，答案具有开放性，需灵活运用概念判断两个数最大公因数为1的条件，能帮助学生深化对因数、公因数相关知识的掌握。
【难度系数】
0.8
3. 填一填。
(1) 两个相邻奇数的最大公因数是(
(2) $ x $和$ y $是非 0 自然数，若$ 10x = y $，则$ x $和$ y $的最大公因数是(
(3) $ b $是非 0 自然数，若$ a = b + 1 $，则$ a $和$ b $的最大公因数是(
(1) 两个相邻奇数的最大公因数是(
1
)，两个相邻偶数的最大公因数是(2
)。(2) $ x $和$ y $是非 0 自然数，若$ 10x = y $，则$ x $和$ y $的最大公因数是(
x
)。(3) $ b $是非 0 自然数，若$ a = b + 1 $，则$ a $和$ b $的最大公因数是(
1
)。答案
1
2
x
1
2
x
1
解析
【分析】
我们可以结合最大公因数的定义，针对不同数的关系逐一分析：
1. 对于相邻奇数：相邻的奇数（如1和3、3和5），它们除了1以外没有其他共同因数，属于互质数，因此最大公因数是1；相邻偶数（如2和4、4和6），它们都能被2整除，且不存在比2更大的共同因数，所以最大公因数是2。
2. 当$10x = y$时，说明y是x的10倍，两个数成倍数关系，根据“成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数”的规律，可知x和y的最大公因数是x。
3. 当$a = b + 1$时，a和b是相邻的非0自然数，相邻的非0自然数是互质数，互质数的最大公因数是1。
【解析】
(1) 举例验证：取相邻奇数3和5，它们的公因数只有1，故最大公因数是1；取相邻偶数4和6，公因数有1、2，最大的是2，故最大公因数是2。
(2) 由$10x = y$可得$y÷ x=10$，即y是x的倍数，根据倍数关系的两个数的最大公因数规律，最大公因数为较小数$x$。
(3) 因为$a = b + 1$，所以a和b是相邻的非0自然数，相邻自然数互质，互质的两个数最大公因数是1。
【答案】
1；2；x；1
【知识点】
最大公因数定义；互质数性质；倍数关系的最大公因数规律
【点评】
本题考查不同情境下最大公因数的判断方法，需要熟练掌握互质数、倍数关系的数的最大公因数特点，通过举例或定义分析即可快速得出结果，属于基础概念题。
【难度系数】
0.8
我们可以结合最大公因数的定义，针对不同数的关系逐一分析：
1. 对于相邻奇数：相邻的奇数（如1和3、3和5），它们除了1以外没有其他共同因数，属于互质数，因此最大公因数是1；相邻偶数（如2和4、4和6），它们都能被2整除，且不存在比2更大的共同因数，所以最大公因数是2。
2. 当$10x = y$时，说明y是x的10倍，两个数成倍数关系，根据“成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数”的规律，可知x和y的最大公因数是x。
3. 当$a = b + 1$时，a和b是相邻的非0自然数，相邻的非0自然数是互质数，互质数的最大公因数是1。
【解析】
(1) 举例验证：取相邻奇数3和5，它们的公因数只有1，故最大公因数是1；取相邻偶数4和6，公因数有1、2，最大的是2，故最大公因数是2。
(2) 由$10x = y$可得$y÷ x=10$，即y是x的倍数，根据倍数关系的两个数的最大公因数规律，最大公因数为较小数$x$。
(3) 因为$a = b + 1$，所以a和b是相邻的非0自然数，相邻自然数互质，互质的两个数最大公因数是1。
【答案】
1；2；x；1
【知识点】
最大公因数定义；互质数性质；倍数关系的最大公因数规律
【点评】
本题考查不同情境下最大公因数的判断方法，需要熟练掌握互质数、倍数关系的数的最大公因数特点，通过举例或定义分析即可快速得出结果，属于基础概念题。
【难度系数】
0.8
4. 把一张长 84 厘米、宽 60 厘米的长方形纸裁成同样大的正方形且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？至少能裁出多少个？
答案
(84,60)=12
(84÷12)×(60÷12)=35（个）
答：正方形边长最大是12厘米，至少能裁35个。
(84÷12)×(60÷12)=35（个）
答：正方形边长最大是12厘米，至少能裁35个。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确核心思路：裁出的正方形边长必须同时是长方形长和宽的因数，这样才能保证裁剪后没有剩余。而要求正方形的最大边长，本质就是求长方形长84厘米和宽60厘米的最大公因数。求出最大边长后，计算至少能裁出的正方形个数，可分别算出长方形的长和宽里各包含多少个正方形的边长，再将这两个数量相乘，因为边长越大，裁出的正方形数量越少，这样得到的就是最少个数。
【解析】
1. 求84和60的最大公因数：
通过计算可得，84和60的最大公因数为12，即$(84,60)=12$，所以正方形的最大边长是12厘米。
2. 计算能裁出的正方形个数：
长方形长包含的边长个数：$84÷12=7$（个）
长方形宽包含的边长个数：$60÷12=5$（个）
总个数：$7×5=35$（个）
答：正方形边长最大是12厘米，至少能裁35个。
【答案】
正方形边长最大是12厘米，至少能裁35个。
【知识点】
最大公因数的应用、图形裁剪问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，关键是理解“裁成同样大的正方形且无剩余”的本质是求长和宽的最大公因数。计算正方形个数时，利用长和宽分别除以最大边长后相乘的方法，既直观又简便，有助于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确核心思路：裁出的正方形边长必须同时是长方形长和宽的因数，这样才能保证裁剪后没有剩余。而要求正方形的最大边长，本质就是求长方形长84厘米和宽60厘米的最大公因数。求出最大边长后，计算至少能裁出的正方形个数，可分别算出长方形的长和宽里各包含多少个正方形的边长，再将这两个数量相乘，因为边长越大，裁出的正方形数量越少，这样得到的就是最少个数。
【解析】
1. 求84和60的最大公因数：
通过计算可得，84和60的最大公因数为12，即$(84,60)=12$，所以正方形的最大边长是12厘米。
2. 计算能裁出的正方形个数：
长方形长包含的边长个数：$84÷12=7$（个）
长方形宽包含的边长个数：$60÷12=5$（个）
总个数：$7×5=35$（个）
答：正方形边长最大是12厘米，至少能裁35个。
【答案】
正方形边长最大是12厘米，至少能裁35个。
【知识点】
最大公因数的应用、图形裁剪问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，关键是理解“裁成同样大的正方形且无剩余”的本质是求长和宽的最大公因数。计算正方形个数时，利用长和宽分别除以最大边长后相乘的方法，既直观又简便，有助于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5. 五年级组织社会实践活动，男生有 36 人，女生有 42 人，现在将男、女生混合编组，要求每组人数相同，且各组中的男生人数一样多，女生人数也一样多。最多可以分成几组？每组中男生有几人，女生有几人？
答案
(36,42)=6
36÷6=6（人） 42÷6=7（人）
答：最多可以分成6组，每组中男生有6人，女生有7人。
36÷6=6（人） 42÷6=7（人）
答：最多可以分成6组，每组中男生有6人，女生有7人。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确分组核心要求：每组中男生人数相同、女生人数相同，且分组数量最多。这意味着组数必须同时是男生人数36和女生人数42的公因数，而最多的组数就是两者的最大公因数。因为只有组数为最大公因数时，才能保证每组男女生人数为整数，且分组数量达到最多。接下来先求出36和42的最大公因数，再用男女生总人数分别除以该最大公因数，即可得到每组的男女生人数。
【解析】
1. 求36和42的最大公因数：
分解质因数可得，36=2×2×3×3，42=2×3×7，二者公有的质因数是2和3，因此最大公因数为2×3=6，即最多可以分成6组。
2. 计算每组男生人数：
男生总人数为36人，分成6组，每组男生人数为36÷6=6（人）。
3. 计算每组女生人数：
女生总人数为42人，分成6组，每组女生人数为42÷6=7（人）。
答：最多可以分成6组，每组中男生有6人，女生有7人。
【答案】
最多可以分成6组，每组中男生有6人，女生有7人。
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际分组问题中的应用，要求学生准确理解分组条件与最大公因数的关联，通过求两个数的最大公因数确定最多分组数，再利用整数除法求出每组的男女生人数，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确分组核心要求：每组中男生人数相同、女生人数相同，且分组数量最多。这意味着组数必须同时是男生人数36和女生人数42的公因数，而最多的组数就是两者的最大公因数。因为只有组数为最大公因数时，才能保证每组男女生人数为整数，且分组数量达到最多。接下来先求出36和42的最大公因数，再用男女生总人数分别除以该最大公因数，即可得到每组的男女生人数。
【解析】
1. 求36和42的最大公因数：
分解质因数可得，36=2×2×3×3，42=2×3×7，二者公有的质因数是2和3，因此最大公因数为2×3=6，即最多可以分成6组。
2. 计算每组男生人数：
男生总人数为36人，分成6组，每组男生人数为36÷6=6（人）。
3. 计算每组女生人数：
女生总人数为42人，分成6组，每组女生人数为42÷6=7（人）。
答：最多可以分成6组，每组中男生有6人，女生有7人。
【答案】
最多可以分成6组，每组中男生有6人，女生有7人。
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际分组问题中的应用，要求学生准确理解分组条件与最大公因数的关联，通过求两个数的最大公因数确定最多分组数，再利用整数除法求出每组的男女生人数，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6. 班主任把 25 支钢笔和 40 本练习本平均奖励给书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了 1 支，练习本少了 2 本。在书法比赛中获奖的学生最多有多少人？
答案
25-1=24（支） 40+2=42（本）
(24,42)=6
答：在书法比赛中获奖的学生最多有6人。
(24,42)=6
答：在书法比赛中获奖的学生最多有6人。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要将题目中的条件转化为“刚好能平均分配”的情况：钢笔多1支，说明如果减去多的1支，剩余的钢笔数量就能刚好平均分给获奖学生；练习本少2本，说明如果补上缺少的2本，练习本的数量也能刚好平均分给获奖学生。此时，获奖学生的人数就是这两个调整后数量的公因数，要求最多的人数，就是求这两个数的最大公因数。具体思考步骤如下：
1. 先算出刚好能平均分的钢笔数量：用原钢笔数减去多出来的1支。
2. 再算出刚好能平均分的练习本数量：用原练习本数加上缺少的2本。
3. 最后求这两个调整后数量的最大公因数，这个数就是获奖学生的最多人数。
【解析】
1. 计算刚好能平均分配的钢笔数量：
$25 - 1 = 24$（支）
2. 计算刚好能平均分配的练习本数量：
$40 + 2 = 42$（本）
3. 求24和42的最大公因数：
通过分解质因数可得，$24 = 2×2×2×3$，$42 = 2×3×7$，二者公有的质因数为2和3，因此最大公因数为$2×3 = 6$。
答：在书法比赛中获奖的学生最多有6人。
【答案】
6人
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，解题核心是将“有余、不足”的条件转化为“刚好整除”的情况，再利用最大公因数的概念求解，既考查了学生对概念的理解，也锻炼了问题转化的思维能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要将题目中的条件转化为“刚好能平均分配”的情况：钢笔多1支，说明如果减去多的1支，剩余的钢笔数量就能刚好平均分给获奖学生；练习本少2本，说明如果补上缺少的2本，练习本的数量也能刚好平均分给获奖学生。此时，获奖学生的人数就是这两个调整后数量的公因数，要求最多的人数，就是求这两个数的最大公因数。具体思考步骤如下：
1. 先算出刚好能平均分的钢笔数量：用原钢笔数减去多出来的1支。
2. 再算出刚好能平均分的练习本数量：用原练习本数加上缺少的2本。
3. 最后求这两个调整后数量的最大公因数，这个数就是获奖学生的最多人数。
【解析】
1. 计算刚好能平均分配的钢笔数量：
$25 - 1 = 24$（支）
2. 计算刚好能平均分配的练习本数量：
$40 + 2 = 42$（本）
3. 求24和42的最大公因数：
通过分解质因数可得，$24 = 2×2×2×3$，$42 = 2×3×7$，二者公有的质因数为2和3，因此最大公因数为$2×3 = 6$。
答：在书法比赛中获奖的学生最多有6人。
【答案】
6人
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，解题核心是将“有余、不足”的条件转化为“刚好整除”的情况，再利用最大公因数的概念求解，既考查了学生对概念的理解，也锻炼了问题转化的思维能力。
【难度系数】
0.6
7. 一个长方形操场长 78 米，宽 60 米。先在操场的四个角各放一盆花，再在操场的每条边上等距离地放置盆花，要求相邻两盆花之间的距离尽可能大，一共可以放多少盆花？
答案
(78,60)=6
(78+60)×2÷6=46（盆）
答：一共可以放46盆花。
(78+60)×2÷6=46（盆）
答：一共可以放46盆花。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们分两步思考：
1. 确定相邻两盆花的最大距离：因为要在每条边上等距离放花，且相邻距离尽可能大，这个距离必须同时是长和宽的因数，所以需要求出长78米和宽60米的最大公因数，它就是相邻两盆花的最大距离。
2. 计算总盆数：长方形操场是封闭图形，在封闭图形中，放置的盆数等于间隔数。我们先算出操场的周长，再用周长除以相邻两盆花的距离，就能得到总盆数，四个角的花已经包含在间隔数中，无需额外加减。
【解析】
1. 求78和60的最大公因数：
通过计算可得，(78, 60) = 6，即相邻两盆花的最大距离是6米。
2. 计算操场的周长：
周长 = (长 + 宽)×2 = (78 + 60)×2 = 276（米）
3. 计算总盆数：
总盆数 = 周长÷相邻间距 = 276÷6 = 46（盆）
答：一共可以放46盆花。
【答案】
46盆
【知识点】
最大公因数应用、封闭图形植树问题
【点评】
本题综合考查了最大公因数的实际应用和封闭图形的植树问题，关键在于理解“相邻两盆花最大距离”是长和宽的最大公因数，以及封闭图形中盆数与间隔数的等量关系，需要将两个知识点结合起来解决问题。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，我们分两步思考：
1. 确定相邻两盆花的最大距离：因为要在每条边上等距离放花，且相邻距离尽可能大，这个距离必须同时是长和宽的因数，所以需要求出长78米和宽60米的最大公因数，它就是相邻两盆花的最大距离。
2. 计算总盆数：长方形操场是封闭图形，在封闭图形中，放置的盆数等于间隔数。我们先算出操场的周长，再用周长除以相邻两盆花的距离，就能得到总盆数，四个角的花已经包含在间隔数中，无需额外加减。
【解析】
1. 求78和60的最大公因数：
通过计算可得，(78, 60) = 6，即相邻两盆花的最大距离是6米。
2. 计算操场的周长：
周长 = (长 + 宽)×2 = (78 + 60)×2 = 276（米）
3. 计算总盆数：
总盆数 = 周长÷相邻间距 = 276÷6 = 46（盆）
答：一共可以放46盆花。
【答案】
46盆
【知识点】
最大公因数应用、封闭图形植树问题
【点评】
本题综合考查了最大公因数的实际应用和封闭图形的植树问题，关键在于理解“相邻两盆花最大距离”是长和宽的最大公因数，以及封闭图形中盆数与间隔数的等量关系，需要将两个知识点结合起来解决问题。
【难度系数】
0.4
