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四、我会做。
把下表中9的倍数圈出来。
1. 你发现9的倍数有什么样的特征？
2. 想一想，9的倍数都是3的倍数吗？3的倍数都是9的倍数吗？
把下表中9的倍数圈出来。
1. 你发现9的倍数有什么样的特征？
2. 想一想，9的倍数都是3的倍数吗？3的倍数都是9的倍数吗？
答案
圈数略
1.若一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，则这个数是9的倍数。
2.9的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是9的倍数。
1.若一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，则这个数是9的倍数。
2.9的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是9的倍数。
解析
【分析】
首先我们需要先从给定表格中找出9的倍数，接着观察这些数的数位数字和，总结9的倍数特征；再结合3和9的倍数关系，分析两者的包含关系：
1. 先定位表格里的9的倍数：9、18、27、36，计算这些数各个数位上的数字之和，观察规律得出特征；
2. 从倍数的定义出发，因为9是3的倍数，所以9的倍数一定能被3整除，但3的倍数不一定能被9整除，举例验证即可。
【解析】
1. 先圈出表格中的9的倍数：9、18、27、36。
观察这些数的数位特征：
9：数位数字和为9，是9的倍数；
18：1+8=9，是9的倍数；
27：2+7=9，是9的倍数；
36：3+6=9，是9的倍数；
由此总结：若一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，则这个数是9的倍数。
2. 从倍数定义分析：
因为9=3×3，所以9的倍数可以表示为9×k=3×(3k)（k为整数），因此9的倍数一定能被3整除，即9的倍数都是3的倍数；
而3的倍数比如3、6、12等，这些数无法被9整除，所以3的倍数不一定是9的倍数。
【答案】
圈出9、18、27、36
1. 若一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，则这个数是9的倍数。
2. 9的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是9的倍数。
【知识点】
1. 9的倍数特征
2. 倍数的包含关系
【点评】
本题通过找数、观察、归纳的过程，帮助学生掌握9的倍数特征，同时理清9和3的倍数之间的逻辑关系，锻炼学生的归纳总结与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先我们需要先从给定表格中找出9的倍数，接着观察这些数的数位数字和，总结9的倍数特征；再结合3和9的倍数关系，分析两者的包含关系：
1. 先定位表格里的9的倍数：9、18、27、36，计算这些数各个数位上的数字之和，观察规律得出特征；
2. 从倍数的定义出发，因为9是3的倍数，所以9的倍数一定能被3整除，但3的倍数不一定能被9整除，举例验证即可。
【解析】
1. 先圈出表格中的9的倍数：9、18、27、36。
观察这些数的数位特征：
9：数位数字和为9，是9的倍数；
18：1+8=9，是9的倍数；
27：2+7=9，是9的倍数；
36：3+6=9，是9的倍数；
由此总结：若一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，则这个数是9的倍数。
2. 从倍数定义分析：
因为9=3×3，所以9的倍数可以表示为9×k=3×(3k)（k为整数），因此9的倍数一定能被3整除，即9的倍数都是3的倍数；
而3的倍数比如3、6、12等，这些数无法被9整除，所以3的倍数不一定是9的倍数。
【答案】
圈出9、18、27、36
1. 若一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，则这个数是9的倍数。
2. 9的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是9的倍数。
【知识点】
1. 9的倍数特征
2. 倍数的包含关系
【点评】
本题通过找数、观察、归纳的过程，帮助学生掌握9的倍数特征，同时理清9和3的倍数之间的逻辑关系，锻炼学生的归纳总结与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
五、按要求填数，把符合要求的所有数字都填在( )里。
1. 在下面的里填一个数字，使这个数是3的倍数。
32 $ \Box $ ( ) 6 $ \Box 3 $ ( ) 5 $ \Box 7 $ ( )
2. 在下面的里填一个数字，使这个数既是3的倍数，又是5的倍数。
25 $ \Box $ ( ) 0( ) 6 $ \Box 5 $ ( )
1. 在下面的里填一个数字，使这个数是3的倍数。
32 $ \Box $ ( ) 6 $ \Box 3 $ ( ) 5 $ \Box 7 $ ( )
2. 在下面的里填一个数字，使这个数既是3的倍数，又是5的倍数。
25 $ \Box $ ( ) 0( ) 6 $ \Box 5 $ ( )
答案
1.1,4,7 0,3,6,9 0,3,6,9
2.5 3,6,9 1,4,7
2.5 3,6,9 1,4,7
解析
【分析】
要解决这类问题，核心是掌握3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数）以及同时是3和5的倍数的特征（个位是0或5，且各位数字之和是3的倍数）。
1. 对于填数字使数是3的倍数的题目：先计算已知数位上数字的和，再找出能让总和成为3的倍数的一位数，这些数字就是符合要求的数。
32□：先算3+2=5，找与5相加后是3的倍数的数，5+1=6、5+4=9、5+7=12，均为3的倍数，所以可填1,4,7。
6□3：计算6+3=9，9本身是3的倍数，因此加上0、3、6、9后总和仍是3的倍数，可填0,3,6,9。
5□7：计算5+7=12，12是3的倍数，同理加上0、3、6、9后总和还是3的倍数，可填0,3,6,9。
2. 对于填数字使数既是3又是5的倍数的题目：先满足5的倍数特征（个位是0或5），再验证各位数字之和是否是3的倍数。
25□：个位只能是0或5，填0时2+5+0=7不是3的倍数；填5时2+5+5=12是3的倍数，所以填5。
□0：个位是0满足5的倍数，只需十位数字与0的和是3的倍数，一位数中3、6、9符合要求，所以填3,6,9。
6□5：个位是5满足5的倍数，计算6+5=11，找与11相加后是3的倍数的数，11+1=12、11+4=15、11+7=18，均为3的倍数，所以填1,4,7。
【解析】
1. （1）$32□$：
已知数字和为$3+2=5$，要使总和是3的倍数，需$5+□$是3的倍数，一位数中符合条件的有1、4、7，故填1,4,7。
（2）$6□3$：
已知数字和为$6+3=9$，9是3的倍数，所以$□$里填0、3、6、9时，总和仍是3的倍数，故填0,3,6,9。
（3）$5□7$：
已知数字和为$5+7=12$，12是3的倍数，所以$□$里填0、3、6、9时，总和仍是3的倍数，故填0,3,6,9。
2. （1）$25□$：
既是3的倍数又是5的倍数，个位需是0或5。
若填0：$2+5+0=7$，7不是3的倍数，不符合；
若填5：$2+5+5=12$，12是3的倍数，符合，故填5。
（2）$□0$：
个位是0满足5的倍数，需十位数字与0的和是3的倍数，一位数中3、6、9满足，故填3,6,9。
（3）$6□5$：
个位是5满足5的倍数，已知数字和为$6+5=11$，需$11+□$是3的倍数，一位数中1、4、7满足，故填1,4,7。
【答案】
1. 1,4,7；0,3,6,9；0,3,6,9
2. 5；3,6,9；1,4,7
【知识点】
3的倍数特征；5的倍数特征；同时是3和5的倍数特征
【点评】
本题主要考查3和5的倍数特征的综合应用，解题时需先明确各类倍数的判定规则，再逐步验证，注意要找出所有符合条件的数字，避免遗漏。
【难度系数】
0.6
要解决这类问题，核心是掌握3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数）以及同时是3和5的倍数的特征（个位是0或5，且各位数字之和是3的倍数）。
1. 对于填数字使数是3的倍数的题目：先计算已知数位上数字的和，再找出能让总和成为3的倍数的一位数，这些数字就是符合要求的数。
32□：先算3+2=5，找与5相加后是3的倍数的数，5+1=6、5+4=9、5+7=12，均为3的倍数，所以可填1,4,7。
6□3：计算6+3=9，9本身是3的倍数，因此加上0、3、6、9后总和仍是3的倍数，可填0,3,6,9。
5□7：计算5+7=12，12是3的倍数，同理加上0、3、6、9后总和还是3的倍数，可填0,3,6,9。
2. 对于填数字使数既是3又是5的倍数的题目：先满足5的倍数特征（个位是0或5），再验证各位数字之和是否是3的倍数。
25□：个位只能是0或5，填0时2+5+0=7不是3的倍数；填5时2+5+5=12是3的倍数，所以填5。
□0：个位是0满足5的倍数，只需十位数字与0的和是3的倍数，一位数中3、6、9符合要求，所以填3,6,9。
6□5：个位是5满足5的倍数，计算6+5=11，找与11相加后是3的倍数的数，11+1=12、11+4=15、11+7=18，均为3的倍数，所以填1,4,7。
【解析】
1. （1）$32□$：
已知数字和为$3+2=5$，要使总和是3的倍数，需$5+□$是3的倍数，一位数中符合条件的有1、4、7，故填1,4,7。
（2）$6□3$：
已知数字和为$6+3=9$，9是3的倍数，所以$□$里填0、3、6、9时，总和仍是3的倍数，故填0,3,6,9。
（3）$5□7$：
已知数字和为$5+7=12$，12是3的倍数，所以$□$里填0、3、6、9时，总和仍是3的倍数，故填0,3,6,9。
2. （1）$25□$：
既是3的倍数又是5的倍数，个位需是0或5。
若填0：$2+5+0=7$，7不是3的倍数，不符合；
若填5：$2+5+5=12$，12是3的倍数，符合，故填5。
（2）$□0$：
个位是0满足5的倍数，需十位数字与0的和是3的倍数，一位数中3、6、9满足，故填3,6,9。
（3）$6□5$：
个位是5满足5的倍数，已知数字和为$6+5=11$，需$11+□$是3的倍数，一位数中1、4、7满足，故填1,4,7。
【答案】
1. 1,4,7；0,3,6,9；0,3,6,9
2. 5；3,6,9；1,4,7
【知识点】
3的倍数特征；5的倍数特征；同时是3和5的倍数特征
【点评】
本题主要考查3和5的倍数特征的综合应用，解题时需先明确各类倍数的判定规则，再逐步验证，注意要找出所有符合条件的数字，避免遗漏。
【难度系数】
0.6
六、我会想。
在7的后面补上三个数字，组成一个四位数，使它同时是2，5，3的倍数，符合条件的最小四位数是多少？补上数字后的四位数用7abc表示。
1. 因为这个四位数是2和5的倍数，所以可以确定个位：c=( )。
2. 这个四位数的各位上的数字之和( $ 7+a+b+c $ )必须是3的倍数，而且要求这个四位数最小，可以确定百位和十位： $ a= $ ( )， $ b= $ ( )，所以符合条件的最小四位数是 ( )。
在7的后面补上三个数字，组成一个四位数，使它同时是2，5，3的倍数，符合条件的最小四位数是多少？补上数字后的四位数用7abc表示。
1. 因为这个四位数是2和5的倍数，所以可以确定个位：c=( )。
2. 这个四位数的各位上的数字之和( $ 7+a+b+c $ )必须是3的倍数，而且要求这个四位数最小，可以确定百位和十位： $ a= $ ( )， $ b= $ ( )，所以符合条件的最小四位数是 ( )。
答案
1.0 2.0 2 7020
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合2、5、3的倍数特征逐步推导：
1. 先根据2和5的倍数特征确定个位数字：2的倍数个位为偶数，5的倍数个位为0或5，同时满足两个条件的数个位只能是0，由此可确定c的值。
2. 再根据3的倍数特征和“最小四位数”的要求确定百位和十位：要得到最小的四位数，高位数字应尽可能小，先让百位取最小的0，再计算各位数字之和，找到最小的十位数字使得总和是3的倍数，进而确定最终的四位数。
【解析】
1. 同时是2和5的倍数的数，个位数字必须是0（2的倍数个位为0、2、4、6、8，5的倍数个位为0或5，两者的公共特征是个位为0），所以$c=0$。
2. 已知四位数为$7abc$，$c=0$，根据3的倍数特征，各位数字之和$7+a+b+c=7+a+b+0=7+a+b$必须是3的倍数。要使四位数最小，百位$a$取最小的非负整数0，此时$7+0+b=7+b$，$7÷3=2······1$，则$b$最小取2（$1+2=3$，能被3整除），即$a=0$，$b=2$，符合条件的最小四位数是7020。
【答案】
1.0 2.0 2 7020
【知识点】
2、5、3的倍数特征
【点评】
本题综合考查2、5、3的倍数特征的应用，解题关键是先利用2和5的倍数特征快速锁定个位，再结合3的倍数特征和“最小数”的要求确定其他数位，需要灵活运用数的倍数特征，同时明确要让数最小需优先让高位数字尽可能小。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要结合2、5、3的倍数特征逐步推导：
1. 先根据2和5的倍数特征确定个位数字：2的倍数个位为偶数，5的倍数个位为0或5，同时满足两个条件的数个位只能是0，由此可确定c的值。
2. 再根据3的倍数特征和“最小四位数”的要求确定百位和十位：要得到最小的四位数，高位数字应尽可能小，先让百位取最小的0，再计算各位数字之和，找到最小的十位数字使得总和是3的倍数，进而确定最终的四位数。
【解析】
1. 同时是2和5的倍数的数，个位数字必须是0（2的倍数个位为0、2、4、6、8，5的倍数个位为0或5，两者的公共特征是个位为0），所以$c=0$。
2. 已知四位数为$7abc$，$c=0$，根据3的倍数特征，各位数字之和$7+a+b+c=7+a+b+0=7+a+b$必须是3的倍数。要使四位数最小，百位$a$取最小的非负整数0，此时$7+0+b=7+b$，$7÷3=2······1$，则$b$最小取2（$1+2=3$，能被3整除），即$a=0$，$b=2$，符合条件的最小四位数是7020。
【答案】
1.0 2.0 2 7020
【知识点】
2、5、3的倍数特征
【点评】
本题综合考查2、5、3的倍数特征的应用，解题关键是先利用2和5的倍数特征快速锁定个位，再结合3的倍数特征和“最小数”的要求确定其他数位，需要灵活运用数的倍数特征，同时明确要让数最小需优先让高位数字尽可能小。
【难度系数】
0.6
