12. 如图，在$ △ ABC $中，$ AD ⊥ BC $，$ BE ⊥ AC $，$ BC = 12 $，$ AC = 9 $，$ AD = 6 $，求$ BE $的长.

12. $ \because $ 在 $ △ ABC $ 中，$ AD ⊥ BC $，$ BE ⊥ AC $，$ \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AD = \frac{1}{2} AC · BE $. $ \therefore BC · AD = AC · BE $. $ \because BC = 12 $，$ AC = 8 $，$ AD = 6 $，$ \therefore BE = \frac{BC · AD}{AC} = \frac{12 × 6}{8} = 9 $

13. 如图，在$ △ ABC $中，$ AE ⊥ BC $于点$ E $，$ AD $为边$ BC $上的中线，$ DF $为$ △ ABD $的边$ AB $上的中线，$ AB = 5\mathrm{cm} $，$ AC = 3\mathrm{cm} $，$ △ ABC $的面积为$ 12\mathrm{cm}^{2} $.求：
（1）$ △ ABD $与$ △ ACD $的周长的差；
（2）$ △ ABD $和$ △ ADF $的面积.

13. (1) $ \because AD $ 为边 $ BC $ 上的中线，$ \therefore BD = CD $，$ \therefore △ ABD $ 与 $ △ ACD $ 的周长的差 $ = ( AB + AD + BD ) - ( AC + AD + CD ) = AB - AC = 2 \mathrm{cm} $ (2) $ \because AD $ 为边 $ BC $ 上的中线，$ \therefore S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × S_{△ ABC} = 6 \mathrm{cm}^2 $，$ S_{△ ADF} = \frac{1}{2} × △ ABD = 3 \mathrm{cm}^2 $

14. 如图，在$ △ AMH $中，$ AN $、$ ME $、$ MF $分别为$ △ AMH $、$ △ AMN $、$ △ MHE $的中线，且$ △ AMH $的面积为$ 80\mathrm{cm}^{2} $.求：
（1）$ △ AME $与$ △ AHE $的面积的和；
（2）$ △ MEF $的面积.

14. (1) $ \because AN $、$ ME $ 分别为 $ △ AMH $、$ △ AMN $ 的中线，$ △ AMH $ 的面积为 $ 80 \mathrm{cm}^2 $，$ \therefore S_{△ AME} = \frac{1}{2} S_{△ AMN} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} S_{△ AMH} = 20 \mathrm{cm}^2 $，$ S_{△ AHE} = \frac{1}{2} S_{△ AHN} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} S_{△ AMH} = 20 \mathrm{cm}^2 $. $ \therefore S_{△ AHE} + S_{△ AME} = 40 \mathrm{cm}^2 $ (2) $ \because MF $ 为 $ △ MHE $ 的中线，$ S_{△ MHE} = S_{△ AMH} - ( S_{△ AHE} + S_{△ AME} ) = 40 \mathrm{cm}^2 $，$ \therefore S_{△ MEF} = \frac{1}{2} S_{△ MEH} = 20 \mathrm{cm}^2 $