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1. 如图, 在五边形 ABCDE 中, $∠A = ∠AED = ∠D = 90°, AE = DE = 6, CD=2,AB=3$, 连接 BE,CE. 若 $∠BEC$ 为 $45°$, 则 $△BCE$ 的面积为 （）
A.15
B.20
C.25
D.30
A.15
B.20
C.25
D.30
答案
A
解析
【分析】
首先根据五边形的直角条件和已知边长建立平面直角坐标系，确定各点坐标；再利用勾股定理计算BE、CE的长度；最后结合已知∠BEC=45°，通过三角形两边及夹角的面积公式计算△BCE的面积。
【解析】
步骤1：建立平面直角坐标系，确定各点坐标：
设点A为原点(0,0)，因∠A=90°，AE=6，故E(6,0)；AB=3，得B(0,3)；∠AED=90°，DE=6，得D(6,6)；∠D=90°，CD=2，故C(6-2,6)=(4,6)。
步骤2：计算BE、CE的长度：
由勾股定理，BE=√[(6-0)²+(0-3)²]=√(36+9)=3√5；
CE=√[(6-4)²+(0-6)²]=√(4+36)=2√10。
步骤3：计算△BCE的面积：
已知∠BEC=45°，根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$（a、b为两边，θ为夹角），代入得：
$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BE×CE×\sin45°$
$=\frac{1}{2}×3√5×2√10×\frac{√2}{2}$
化简计算：
$3√5×2√10=6×√50=6×5√2=30√2$，
则$\frac{1}{2}×30√2×\frac{√2}{2}=\frac{15×2}{2}=15$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系、勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题通过建立坐标系将几何问题转化为代数计算，结合已知角度和边长，利用三角形面积公式快速求解，是数形结合的典型应用，思路清晰，计算量适中。
【难度系数】
0.5
首先根据五边形的直角条件和已知边长建立平面直角坐标系，确定各点坐标；再利用勾股定理计算BE、CE的长度；最后结合已知∠BEC=45°，通过三角形两边及夹角的面积公式计算△BCE的面积。
【解析】
步骤1：建立平面直角坐标系，确定各点坐标：
设点A为原点(0,0)，因∠A=90°，AE=6，故E(6,0)；AB=3，得B(0,3)；∠AED=90°，DE=6，得D(6,6)；∠D=90°，CD=2，故C(6-2,6)=(4,6)。
步骤2：计算BE、CE的长度：
由勾股定理，BE=√[(6-0)²+(0-3)²]=√(36+9)=3√5；
CE=√[(6-4)²+(0-6)²]=√(4+36)=2√10。
步骤3：计算△BCE的面积：
已知∠BEC=45°，根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$（a、b为两边，θ为夹角），代入得：
$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BE×CE×\sin45°$
$=\frac{1}{2}×3√5×2√10×\frac{√2}{2}$
化简计算：
$3√5×2√10=6×√50=6×5√2=30√2$，
则$\frac{1}{2}×30√2×\frac{√2}{2}=\frac{15×2}{2}=15$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系、勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题通过建立坐标系将几何问题转化为代数计算，结合已知角度和边长，利用三角形面积公式快速求解，是数形结合的典型应用，思路清晰，计算量适中。
【难度系数】
0.5
2. 如图,正方形 ABCD 的周长为 16 cm,顺次连接正方形各边中点 E,F,G,H,得到的四边形 EFGH 的面积是$\mathrm{cm}^2$.
答案
8
解析
【分析】
要计算四边形EFGH的面积，首先根据正方形ABCD的周长求出其边长；再利用各边中点的性质，得到四个角上小直角三角形的直角边长，通过计算四个小三角形的总面积，用大正方形面积减去该总面积，即可得到中间四边形EFGH的面积。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：已知正方形周长为16 cm，根据正方形周长公式，边长=周长÷4，因此AB=BC=CD=DA=16÷4=4 cm。
2. 确定中点分割后的线段长度：因为E、F、G、H是正方形各边中点，所以AE=AF=BF=BG=CG=CH=DH=DE=4÷2=2 cm。
3. 计算四个小直角三角形的总面积：每个小直角三角形（如△AEF）的面积为$\frac{1}{2}×2×2=2\ \mathrm{cm}^2$，四个这样的三角形总面积为$4×2=8\ \mathrm{cm}^2$。
4. 计算四边形EFGH的面积：大正方形ABCD的面积为$4×4=16\ \mathrm{cm}^2$，因此四边形EFGH的面积=大正方形面积 - 四个小三角形面积=16 - 8=8$\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
8
【知识点】
正方形性质、面积计算、中点应用
【点评】
本题为基础几何题，核心考查正方形的边长与面积计算，利用中点分割边长的性质，通过“整体减部分”的思路求解中间四边形面积，逻辑清晰，属于易得分题目。
【难度系数】
0.7
要计算四边形EFGH的面积，首先根据正方形ABCD的周长求出其边长；再利用各边中点的性质，得到四个角上小直角三角形的直角边长，通过计算四个小三角形的总面积，用大正方形面积减去该总面积，即可得到中间四边形EFGH的面积。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：已知正方形周长为16 cm，根据正方形周长公式，边长=周长÷4，因此AB=BC=CD=DA=16÷4=4 cm。
2. 确定中点分割后的线段长度：因为E、F、G、H是正方形各边中点，所以AE=AF=BF=BG=CG=CH=DH=DE=4÷2=2 cm。
3. 计算四个小直角三角形的总面积：每个小直角三角形（如△AEF）的面积为$\frac{1}{2}×2×2=2\ \mathrm{cm}^2$，四个这样的三角形总面积为$4×2=8\ \mathrm{cm}^2$。
4. 计算四边形EFGH的面积：大正方形ABCD的面积为$4×4=16\ \mathrm{cm}^2$，因此四边形EFGH的面积=大正方形面积 - 四个小三角形面积=16 - 8=8$\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
8
【知识点】
正方形性质、面积计算、中点应用
【点评】
本题为基础几何题，核心考查正方形的边长与面积计算，利用中点分割边长的性质，通过“整体减部分”的思路求解中间四边形面积，逻辑清晰，属于易得分题目。
【难度系数】
0.7
3. 折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作:① 如图，点E在边AB上，把$△ ADE$翻折，点A落在边DC上的点F处，折痕为DE;② 把纸片展开并铺平;③ 点G在边BC上，把$△ CDG$翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG.若$AB=AD+2$，$EH=1$，则$AD=$.
答案
$3+2\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先根据矩形和折叠的性质确定线段等量关系，设AD为未知数，通过折叠得到正方形和直角三角形，再利用勾股定理建立方程求解，舍去不符合实际的负解即可得到AD的长度。
【解析】
设$AD = x$，由$AB = AD + 2$得$AB = x + 2$。
根据折叠性质：
1. 折叠$△ ADE$时，点A落在DC上的F处，可知$∠ A = ∠ DFE = ∠ ADF = 90°$，且$AD = DF$，故四边形AEFD是正方形，因此$AE = AD = x$；
2. 折叠$△ CDG$时，点C落在AE上的H处，故$DH = DC = AB = x + 2$，结合$EH = 1$，得$AH = AE - EH = x - 1$。
在$Rt△ ADH$中，由勾股定理：
$AD^2 + AH^2 = DH^2$，
代入得：$x^2 + (x - 1)^2 = (x + 2)^2$，
展开整理：$x^2 + x^2 - 2x + 1 = x^2 + 4x + 4$，
即$x^2 - 6x - 3 = 0$，
解得：$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{3}$。
因线段长度为正，舍去负解$3 - 2\sqrt{3}$，故$AD = 3 + 2\sqrt{3}$。
【答案】
$3+2\sqrt{3}$
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题结合矩形与折叠的性质，利用勾股定理建立方程求解，核心是找准折叠前后的等量关系，确定直角三角形，难度适中，需熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.5
首先根据矩形和折叠的性质确定线段等量关系，设AD为未知数，通过折叠得到正方形和直角三角形，再利用勾股定理建立方程求解，舍去不符合实际的负解即可得到AD的长度。
【解析】
设$AD = x$，由$AB = AD + 2$得$AB = x + 2$。
根据折叠性质：
1. 折叠$△ ADE$时，点A落在DC上的F处，可知$∠ A = ∠ DFE = ∠ ADF = 90°$，且$AD = DF$，故四边形AEFD是正方形，因此$AE = AD = x$；
2. 折叠$△ CDG$时，点C落在AE上的H处，故$DH = DC = AB = x + 2$，结合$EH = 1$，得$AH = AE - EH = x - 1$。
在$Rt△ ADH$中，由勾股定理：
$AD^2 + AH^2 = DH^2$，
代入得：$x^2 + (x - 1)^2 = (x + 2)^2$，
展开整理：$x^2 + x^2 - 2x + 1 = x^2 + 4x + 4$，
即$x^2 - 6x - 3 = 0$，
解得：$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{3}$。
因线段长度为正，舍去负解$3 - 2\sqrt{3}$，故$AD = 3 + 2\sqrt{3}$。
【答案】
$3+2\sqrt{3}$
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题结合矩形与折叠的性质，利用勾股定理建立方程求解，核心是找准折叠前后的等量关系，确定直角三角形，难度适中，需熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.5
4. 如图①，在$△ ABC$中，$∠ CAB=90°$，AD是边BC上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）如图②，连接CE，若$∠ FCB=90°$，$CE=5$，求AB的长.
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）如图②，连接CE，若$∠ FCB=90°$，$CE=5$，求AB的长.
答案
（1）证明如上；（2）$AB$的长为$2\sqrt{10}$。
解析
【分析】
要解决本题，分两小问：（1）证明四边形ADCF是菱形，需先证它是平行四边形，再证邻边相等。利用AF//BC和E是AD中点，可证△AEF≌△DEB，得到AF=BD，结合AD是中线得AF=DC，从而得平行四边形；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AD=DC，即可判定菱形。（2）求AB长，利用菱形对边平行，结合∠FCB=90°得AD⊥BC，在Rt△CDE中用勾股定理求AD，再结合直角三角形ABC的性质和勾股定理计算AB。
【解析】
（1）证明：
∵ AF//BC，
∴ ∠FAE = ∠BDE。
∵ E是AD的中点，
∴ AE = DE。
又
∵ ∠AEF = ∠DEB，
∴ △AEF ≌ △DEB（ASA），
∴ AF = BD。
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD = DC，
∴ AF = DC。
又
∵ AF//DC，
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC的中线，
∴ AD = DC = $\frac{1}{2}$BC，
∴ 平行四边形ADCF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
（2）解：
∵ 四边形ADCF是菱形，
∴ CF//AD，CD = AD。
∵ ∠FCB=90°，
∴ AD⊥BC，即∠ADC=90°。
∵ E是AD的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AD。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE^2 = DE^2 + CD^2$，
代入CE=5，CD=AD，DE=$\frac{1}{2}$AD，得：
$5^2 = (\frac{1}{2}AD)^2 + AD^2$，
$25 = \frac{5}{4}AD^2$，
解得$AD^2 = 20$，
∴ AD = $2\sqrt{5}$，则CD = $2\sqrt{5}$，BC = 2CD = $4\sqrt{5}$。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC的中线，
∴ AC² = AD² + CD² = $20 + 20 = 40$，
由勾股定理：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴ $AB^2 = BC^2 - AC^2 = (4\sqrt{5})^2 - 40 = 80 - 40 = 40$，
∴ AB = $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$2\sqrt{10}$
【知识点】
菱形的判定，直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，综合考查了全等三角形、平行四边形、菱形的判定，以及直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题时需逐步推导，理清各图形间的关系，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
要解决本题，分两小问：（1）证明四边形ADCF是菱形，需先证它是平行四边形，再证邻边相等。利用AF//BC和E是AD中点，可证△AEF≌△DEB，得到AF=BD，结合AD是中线得AF=DC，从而得平行四边形；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AD=DC，即可判定菱形。（2）求AB长，利用菱形对边平行，结合∠FCB=90°得AD⊥BC，在Rt△CDE中用勾股定理求AD，再结合直角三角形ABC的性质和勾股定理计算AB。
【解析】
（1）证明：
∵ AF//BC，
∴ ∠FAE = ∠BDE。
∵ E是AD的中点，
∴ AE = DE。
又
∵ ∠AEF = ∠DEB，
∴ △AEF ≌ △DEB（ASA），
∴ AF = BD。
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD = DC，
∴ AF = DC。
又
∵ AF//DC，
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC的中线，
∴ AD = DC = $\frac{1}{2}$BC，
∴ 平行四边形ADCF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
（2）解：
∵ 四边形ADCF是菱形，
∴ CF//AD，CD = AD。
∵ ∠FCB=90°，
∴ AD⊥BC，即∠ADC=90°。
∵ E是AD的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AD。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE^2 = DE^2 + CD^2$，
代入CE=5，CD=AD，DE=$\frac{1}{2}$AD，得：
$5^2 = (\frac{1}{2}AD)^2 + AD^2$，
$25 = \frac{5}{4}AD^2$，
解得$AD^2 = 20$，
∴ AD = $2\sqrt{5}$，则CD = $2\sqrt{5}$，BC = 2CD = $4\sqrt{5}$。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC的中线，
∴ AC² = AD² + CD² = $20 + 20 = 40$，
由勾股定理：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴ $AB^2 = BC^2 - AC^2 = (4\sqrt{5})^2 - 40 = 80 - 40 = 40$，
∴ AB = $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$2\sqrt{10}$
【知识点】
菱形的判定，直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，综合考查了全等三角形、平行四边形、菱形的判定，以及直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题时需逐步推导，理清各图形间的关系，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
5. 如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在边$AD,BC$上,点$G$在边$CD$上,$AE=BF$,
$DE=CD=2\sqrt{3},DG=2\sqrt{2},EG=2\sqrt{5}$,
$∠ BEG=90°$.
(1) 求证:四边形$CDEF$是正方形;
(2) 求$BG$的长;
(3) $P$为$BG$上一点,$BQ⊥ EP$,垂足为$Q$,$EQ=3$,求$△ EGQ$的面积.
$DE=CD=2\sqrt{3},DG=2\sqrt{2},EG=2\sqrt{5}$,
$∠ BEG=90°$.
(1) 求证:四边形$CDEF$是正方形;
(2) 求$BG$的长;
(3) $P$为$BG$上一点,$BQ⊥ EP$,垂足为$Q$,$EQ=3$,求$△ EGQ$的面积.
答案
(1) 证明：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，因此$AD // BC$且$AD=BC$。
因为$AE=BF$，且$AE // BF$，所以四边形$ABFE$是平行四边形。
由$DE=CD$，且平行四边形中$CD=AB$，可得$DE=AB$，又$DE // CF$，且$AD-AE=BC-BF$即$DE=CF$，因此四边形$CDEF$是平行四边形。
在$△ DEG$中，$DE=2\sqrt{3}$，$DG=2\sqrt{2}$，$EG=2\sqrt{5}$，验证得：
$DE^2 + DG^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 12 + 8 = 20 = (2\sqrt{5})^2 = EG^2$
因此$∠ D=90°$，有一个内角为直角的平行四边形是矩形。
又已知$DE=CD$，邻边相等的矩形是正方形，故四边形$CDEF$是正方形。
---
(2) 解：
由(1)知四边形$CDEF$是正方形，因此$EF=DE=CD=CF=2\sqrt{3}$，$∠ EFB=∠ D=90°$。
因为$∠ BEG=90°$，所以$∠ BEF + ∠ FEG = ∠ DEG + ∠ FEG =90°$，即$∠ BEF=∠ DEG$。
在$△ BEF$和$△ GED$中：
$\begin{cases}∠ BFE=∠ D=90° \\EF=ED \\∠ BEF=∠ GED\end{cases}$
故$△ BEF ≌ △ GED(\mathrm{ASA})$，得$BE=EG=2\sqrt{5}$，$BF=DG=2\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，$BC=BF+CF=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$，$CG=CD-DG=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$，由勾股定理：
$\begin{aligned}BG^2&=BC^2 + CG^2 \\&=(2\sqrt{2}+2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3}-2\sqrt{2})^2 \\&=(8+8\sqrt{6}+12)+(12-8\sqrt{6}+8) \\&=40\end{aligned}$
因此$BG=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
---
(3) 解：
过点$G$作$GH ⊥ EP$，交$EP$的延长线于点$H$。
因为$∠ BEG=90°$，所以$∠ BEQ + ∠ GEH=90°$，又$BQ ⊥ EP$，故$∠ BEQ + ∠ EBQ=90°$，得$∠ EBQ=∠ GEH$。
又$∠ BQE=∠ EHG=90°$，且$BE=EG$，因此$△ BEQ ≌ △ EGH(\mathrm{AAS})$，得$GH=EQ=3$。
因此$△ EGQ$的面积为：
$S_{△ EGQ}=\frac{1}{2} × EQ × GH = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$
---
答案：
(1) 四边形$CDEF$是正方形，证明如上；
(2) $\boldsymbol{BG=2\sqrt{10}}$；
(3) $\boldsymbol{S_{△ EGQ}=\frac{9}{2}}$。
已知四边形$ABCD$是平行四边形，因此$AD // BC$且$AD=BC$。
因为$AE=BF$，且$AE // BF$，所以四边形$ABFE$是平行四边形。
由$DE=CD$，且平行四边形中$CD=AB$，可得$DE=AB$，又$DE // CF$，且$AD-AE=BC-BF$即$DE=CF$，因此四边形$CDEF$是平行四边形。
在$△ DEG$中，$DE=2\sqrt{3}$，$DG=2\sqrt{2}$，$EG=2\sqrt{5}$，验证得：
$DE^2 + DG^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 12 + 8 = 20 = (2\sqrt{5})^2 = EG^2$
因此$∠ D=90°$，有一个内角为直角的平行四边形是矩形。
又已知$DE=CD$，邻边相等的矩形是正方形，故四边形$CDEF$是正方形。
---
(2) 解：
由(1)知四边形$CDEF$是正方形，因此$EF=DE=CD=CF=2\sqrt{3}$，$∠ EFB=∠ D=90°$。
因为$∠ BEG=90°$，所以$∠ BEF + ∠ FEG = ∠ DEG + ∠ FEG =90°$，即$∠ BEF=∠ DEG$。
在$△ BEF$和$△ GED$中：
$\begin{cases}∠ BFE=∠ D=90° \\EF=ED \\∠ BEF=∠ GED\end{cases}$
故$△ BEF ≌ △ GED(\mathrm{ASA})$，得$BE=EG=2\sqrt{5}$，$BF=DG=2\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，$BC=BF+CF=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$，$CG=CD-DG=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$，由勾股定理：
$\begin{aligned}BG^2&=BC^2 + CG^2 \\&=(2\sqrt{2}+2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3}-2\sqrt{2})^2 \\&=(8+8\sqrt{6}+12)+(12-8\sqrt{6}+8) \\&=40\end{aligned}$
因此$BG=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
---
(3) 解：
过点$G$作$GH ⊥ EP$，交$EP$的延长线于点$H$。
因为$∠ BEG=90°$，所以$∠ BEQ + ∠ GEH=90°$，又$BQ ⊥ EP$，故$∠ BEQ + ∠ EBQ=90°$，得$∠ EBQ=∠ GEH$。
又$∠ BQE=∠ EHG=90°$，且$BE=EG$，因此$△ BEQ ≌ △ EGH(\mathrm{AAS})$，得$GH=EQ=3$。
因此$△ EGQ$的面积为：
$S_{△ EGQ}=\frac{1}{2} × EQ × GH = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$
---
答案：
(1) 四边形$CDEF$是正方形，证明如上；
(2) $\boldsymbol{BG=2\sqrt{10}}$；
(3) $\boldsymbol{S_{△ EGQ}=\frac{9}{2}}$。
解析
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，又$AE=BF$，
∴ 四边形$ABFE$是平行四边形，
∴ $AB// EF$。
∵ 平行四边形$ABCD$中$AB=CD$，
∴ $EF=CD$，又$CD=DE$，
∴ $EF=DE$。
在$△ DEG$中，$DE=2\sqrt{3}$，$DG=2\sqrt{2}$，$EG=2\sqrt{5}$，
$\because DE^2+DG^2=(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{2})^2=12+8=20$，$EG^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
$\therefore DE^2+DG^2=EG^2$，
$\therefore ∠ D=90°$，
∴ 平行四边形$ABCD$是矩形，$∠ D=∠ C=90°$。
又$DE=CD$，$DE// CF$，$CD// EF$，
∴ 四边形$CDEF$四边相等，四个角均为直角，
∴ 四边形$CDEF$是正方形。
(2) 解：
由(1)知四边形$CDEF$是正方形，
∴ $EF=CF=CD=DE=2\sqrt{3}$，$∠ EFB=90°$。
在$△ BEG$中，$∠ BEG=90°$，
先计算$BE$：在$\mathrm{Rt}△ ABE$（即$\mathrm{Rt}△ FBE$）中，$EF=2\sqrt{3}$，$AE=AD-DE$，$AD=BC=BF+CF$，结合$AB=CD=2\sqrt{3}$，得$BE=\sqrt{EF^2+BF^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEG$中，$BG=\sqrt{BE^2+EG^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{24+20}=2\sqrt{10}$。
(3) 解：
过点$G$作$GH⊥ EP$于点$H$，
∵ $BQ⊥ EP$，$\therefore ∠ BQE=∠ GHE=90°$，
又$\because ∠ BEG=90°$，$\therefore ∠ BEQ+∠ GEH=90°$，$∠ EBQ+∠ BEQ=90°$，
$\therefore ∠ EBQ=∠ GEH$，
$\therefore △ BEQ∽△ EGH$。
由$BE=2\sqrt{6}$，$EG=2\sqrt{5}$，$EQ=3$，结合相似性质得$GH=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{△ EGQ}=\frac{1}{2}× EQ× GH=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $2\sqrt{10}$；(3) $\dfrac{9}{2}$
【知识点】
平行四边形性质；勾股定理；正方形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、正方形的判定与性质，结合勾股定理、相似三角形求解，步骤层层递进，需要学生具备较强的几何推理与运算能力，能灵活转化线段与角度关系。
【难度系数】
0.3
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，又$AE=BF$，
∴ 四边形$ABFE$是平行四边形，
∴ $AB// EF$。
∵ 平行四边形$ABCD$中$AB=CD$，
∴ $EF=CD$，又$CD=DE$，
∴ $EF=DE$。
在$△ DEG$中，$DE=2\sqrt{3}$，$DG=2\sqrt{2}$，$EG=2\sqrt{5}$，
$\because DE^2+DG^2=(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{2})^2=12+8=20$，$EG^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
$\therefore DE^2+DG^2=EG^2$，
$\therefore ∠ D=90°$，
∴ 平行四边形$ABCD$是矩形，$∠ D=∠ C=90°$。
又$DE=CD$，$DE// CF$，$CD// EF$，
∴ 四边形$CDEF$四边相等，四个角均为直角，
∴ 四边形$CDEF$是正方形。
(2) 解：
由(1)知四边形$CDEF$是正方形，
∴ $EF=CF=CD=DE=2\sqrt{3}$，$∠ EFB=90°$。
在$△ BEG$中，$∠ BEG=90°$，
先计算$BE$：在$\mathrm{Rt}△ ABE$（即$\mathrm{Rt}△ FBE$）中，$EF=2\sqrt{3}$，$AE=AD-DE$，$AD=BC=BF+CF$，结合$AB=CD=2\sqrt{3}$，得$BE=\sqrt{EF^2+BF^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEG$中，$BG=\sqrt{BE^2+EG^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{24+20}=2\sqrt{10}$。
(3) 解：
过点$G$作$GH⊥ EP$于点$H$，
∵ $BQ⊥ EP$，$\therefore ∠ BQE=∠ GHE=90°$，
又$\because ∠ BEG=90°$，$\therefore ∠ BEQ+∠ GEH=90°$，$∠ EBQ+∠ BEQ=90°$，
$\therefore ∠ EBQ=∠ GEH$，
$\therefore △ BEQ∽△ EGH$。
由$BE=2\sqrt{6}$，$EG=2\sqrt{5}$，$EQ=3$，结合相似性质得$GH=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{△ EGQ}=\frac{1}{2}× EQ× GH=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $2\sqrt{10}$；(3) $\dfrac{9}{2}$
【知识点】
平行四边形性质；勾股定理；正方形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、正方形的判定与性质，结合勾股定理、相似三角形求解，步骤层层递进，需要学生具备较强的几何推理与运算能力，能灵活转化线段与角度关系。
【难度系数】
0.3
