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一、选择题
1. 如图,在菱形$ABCD$中,$AB=10$,$BD=12$,$DE⊥ AB$于点$E$,则$DE$的长为 （）
A.4.8
B.5
C.9.6
D.10
1. 如图,在菱形$ABCD$中,$AB=10$,$BD=12$,$DE⊥ AB$于点$E$,则$DE$的长为 （）
A.4.8
B.5
C.9.6
D.10
答案
C
解析
【分析】要计算菱形AB边上的高DE，需利用菱形面积的两种计算方法建立等式。首先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线AC的长度，再通过“对角线乘积的一半”和“底×高”两种面积表达式相等，即可求出DE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AC与BD互相垂直平分，
∴BO = BD/2 = 12/2 = 6，且AC⊥BD。在Rt△AOB中，AB=10，BO=6，由勾股定理得：AO = √(AB² - BO²) = √(10² - 6²) = √64 = 8，
∴AC = 2AO = 16。菱形面积S = (AC×BD)/2 = (16×12)/2 = 96，又
∵菱形面积S = AB×DE，AB=10，
∴DE = S/AB = 96/10 = 9.6。
【答案】C
【知识点】菱形的性质、勾股定理、面积计算
【点评】本题考查菱形的核心性质，利用对角线求面积是解题关键，通过面积的两种表达式建立等量关系求高，属于基础几何计算题，需熟练掌握菱形对角线的性质及面积公式的灵活应用。
【难度系数】0.5
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AC与BD互相垂直平分，
∴BO = BD/2 = 12/2 = 6，且AC⊥BD。在Rt△AOB中，AB=10，BO=6，由勾股定理得：AO = √(AB² - BO²) = √(10² - 6²) = √64 = 8，
∴AC = 2AO = 16。菱形面积S = (AC×BD)/2 = (16×12)/2 = 96，又
∵菱形面积S = AB×DE，AB=10，
∴DE = S/AB = 96/10 = 9.6。
【答案】C
【知识点】菱形的性质、勾股定理、面积计算
【点评】本题考查菱形的核心性质，利用对角线求面积是解题关键，通过面积的两种表达式建立等量关系求高，属于基础几何计算题，需熟练掌握菱形对角线的性质及面积公式的灵活应用。
【难度系数】0.5
2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）
A.对角线互相垂直
B.两组对角分别相等
C.两组对边分别平行
D.对角线相等
A.对角线互相垂直
B.两组对角分别相等
C.两组对边分别平行
D.对角线相等
答案
D
解析
【分析】
本题要求找出矩形具有而菱形不具有的性质，解题思路是：先分别明确矩形和菱形的核心性质，再将每个选项与两者的性质逐一对比，筛选出符合条件的选项。首先回忆矩形的性质：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分且相等；菱形的性质：对边平行且相等，四条边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。接着逐一分析选项，排除两者共有的、菱形独有而矩形没有的性质，最终确定答案。
【解析】
1. 选项A：对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具备，不符合题意；
2. 选项B：两组对角分别相等是矩形和菱形共有的性质，不符合题意；
3. 选项C：两组对边分别平行是矩形和菱形共有的性质，不符合题意；
4. 选项D：对角线相等是矩形的性质，菱形不具备，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、菱形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质对比，属于基础题型，需准确掌握两种图形的性质差异，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题要求找出矩形具有而菱形不具有的性质，解题思路是：先分别明确矩形和菱形的核心性质，再将每个选项与两者的性质逐一对比，筛选出符合条件的选项。首先回忆矩形的性质：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分且相等；菱形的性质：对边平行且相等，四条边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。接着逐一分析选项，排除两者共有的、菱形独有而矩形没有的性质，最终确定答案。
【解析】
1. 选项A：对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具备，不符合题意；
2. 选项B：两组对角分别相等是矩形和菱形共有的性质，不符合题意；
3. 选项C：两组对边分别平行是矩形和菱形共有的性质，不符合题意；
4. 选项D：对角线相等是矩形的性质，菱形不具备，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、菱形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质对比，属于基础题型，需准确掌握两种图形的性质差异，难度较低。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在菱形 ABCD 中, $∠DAB=60^{\circ },AB=3,AE=1$,P 为对角线 AC 上的一个动点,则 $PE+PB$ 的最小值是
()
A.2
B.$\frac {3\sqrt {3}}{2}$
C.$\sqrt {7}$
D.$2\sqrt {2}$
()
A.2
B.$\frac {3\sqrt {3}}{2}$
C.$\sqrt {7}$
D.$2\sqrt {2}$
答案
C
解析
【分析】
本题是菱形中线段和的最小值问题，利用菱形对角线的对称性，将点B关于AC的对称点确定为点D，把PE+PB转化为PE+PD，根据“两点之间线段最短”，当P、E、D三点共线时，PE+PD最小，即等于DE的长度，只需计算DE的长度即可得到结果。
【解析】
1. 利用菱形对称性：菱形ABCD中，对角线AC是对称轴，因此点B关于AC的对称点为点D，故PB=PD，所以PE+PB=PE+PD。
2. 确定最小值情况：根据两点之间线段最短，当P、E、D三点共线时，PE+PD取得最小值，最小值为线段DE的长度。
3. 计算DE长度：在△ADE中，AD=AB=3（菱形边长相等），AE=1，∠DAE=∠DAB=60°，由余弦定理：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2· AD· AE· \cos60° = 3^2 +1^2 -2×3×1×\frac{1}{2}=9+1-3=7$，因此$DE=\sqrt{7}$，即PE+PB的最小值为$\sqrt{7}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、最短路径问题、余弦定理
【点评】
本题结合菱形的对称性，将线段和的最小值转化为两点间线段长度，是典型的几何最值问题，需熟练掌握菱形的对称性及解三角形的相关计算。
【难度系数】
0.5
本题是菱形中线段和的最小值问题，利用菱形对角线的对称性，将点B关于AC的对称点确定为点D，把PE+PB转化为PE+PD，根据“两点之间线段最短”，当P、E、D三点共线时，PE+PD最小，即等于DE的长度，只需计算DE的长度即可得到结果。
【解析】
1. 利用菱形对称性：菱形ABCD中，对角线AC是对称轴，因此点B关于AC的对称点为点D，故PB=PD，所以PE+PB=PE+PD。
2. 确定最小值情况：根据两点之间线段最短，当P、E、D三点共线时，PE+PD取得最小值，最小值为线段DE的长度。
3. 计算DE长度：在△ADE中，AD=AB=3（菱形边长相等），AE=1，∠DAE=∠DAB=60°，由余弦定理：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2· AD· AE· \cos60° = 3^2 +1^2 -2×3×1×\frac{1}{2}=9+1-3=7$，因此$DE=\sqrt{7}$，即PE+PB的最小值为$\sqrt{7}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、最短路径问题、余弦定理
【点评】
本题结合菱形的对称性，将线段和的最小值转化为两点间线段长度，是典型的几何最值问题，需熟练掌握菱形的对称性及解三角形的相关计算。
【难度系数】
0.5
4. 如图，$AB=6\ \mathrm{cm}$，分别以$A,B$为圆心，$5\ \mathrm{cm}$长为半径画弧，两弧相交于$M,N$两点，连接$AM,BM,AN,BN$，则四边形$AMBN$的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
【分析】
要计算四边形AMBN的面积，首先根据作图条件可知AM=BM=AN=BN=5cm，由此可判定四边形AMBN是菱形；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线MN的长度，最后根据菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积。
【解析】
解：设AB与MN交于点O。
由题意得：AM=BM=AN=BN=5cm，
∴四边形AMBN是菱形（四条边相等的四边形是菱形），
∴AB⊥MN，OA=OB=½AB=½×6=3cm，OM=ON。
在Rt△AOM中，根据勾股定理：
OM=√(AM² - OA²)=√(5² - 3²)=√16=4cm，
∴MN=2OM=8cm，
∴四边形AMBN的面积=½×AB×MN=½×6×8=24（cm²）。
【答案】
24
【知识点】
菱形的判定、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图的特点，利用菱形的判定与性质，结合勾股定理求解对角线长度，进而计算面积，属于基础几何应用题，关键是准确判断四边形的形状并运用相关性质。
【难度系数】
0.6
要计算四边形AMBN的面积，首先根据作图条件可知AM=BM=AN=BN=5cm，由此可判定四边形AMBN是菱形；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线MN的长度，最后根据菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积。
【解析】
解：设AB与MN交于点O。
由题意得：AM=BM=AN=BN=5cm，
∴四边形AMBN是菱形（四条边相等的四边形是菱形），
∴AB⊥MN，OA=OB=½AB=½×6=3cm，OM=ON。
在Rt△AOM中，根据勾股定理：
OM=√(AM² - OA²)=√(5² - 3²)=√16=4cm，
∴MN=2OM=8cm，
∴四边形AMBN的面积=½×AB×MN=½×6×8=24（cm²）。
【答案】
24
【知识点】
菱形的判定、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图的特点，利用菱形的判定与性质，结合勾股定理求解对角线长度，进而计算面积，属于基础几何应用题，关键是准确判断四边形的形状并运用相关性质。
【难度系数】
0.6
5. 如图，四边形ABCD为平行四边形，且BD平分∠ABC，作DE⊥BC，垂足为E.
若BD=24，AC=10，则DE=.
若BD=24，AC=10，则DE=.
答案
$\frac{120}{13}$
解析
【分析】首先根据平行四边形的性质与角平分线条件，判定四边形ABCD为菱形；再利用菱形对角线互相垂直平分的特性，结合勾股定理求出菱形的边长；最后通过菱形面积的两种计算方法建立等式，求出高DE的长度。
【解析】
1. 判定四边形ABCD为菱形：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，可得∠ADB=∠DBC。
又BD平分∠ABC，故∠ABD=∠DBC，因此∠ABD=∠ADB，进而AB=AD。
平行四边形中邻边相等，所以ABCD是菱形。
2. 求菱形的边长BC：
菱形的对角线互相垂直平分，已知BD=24，AC=10，对角线交点O为中点，因此BO=BD/2=12，CO=AC/2=5，且AC⊥BD，△BOC为直角三角形。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{BO^2 + CO^2}=\sqrt{12^2 +5^2}=\sqrt{169}=13$。
3. 计算DE的长度：
菱形面积有两种计算方式：
对角线乘积的一半：$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×10×24=120$；
底×高：$S=BC×DE$。
联立得$13×DE=120$，解得$DE=\frac{120}{13}$。
【答案】$\frac{120}{13}$
【知识点】菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形性质
【点评】本题综合考查平行四边形、菱形的性质及面积计算，核心是先判定四边形为菱形，再利用面积法建立关系求解，是几何中典型的综合题型。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 判定四边形ABCD为菱形：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，可得∠ADB=∠DBC。
又BD平分∠ABC，故∠ABD=∠DBC，因此∠ABD=∠ADB，进而AB=AD。
平行四边形中邻边相等，所以ABCD是菱形。
2. 求菱形的边长BC：
菱形的对角线互相垂直平分，已知BD=24，AC=10，对角线交点O为中点，因此BO=BD/2=12，CO=AC/2=5，且AC⊥BD，△BOC为直角三角形。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{BO^2 + CO^2}=\sqrt{12^2 +5^2}=\sqrt{169}=13$。
3. 计算DE的长度：
菱形面积有两种计算方式：
对角线乘积的一半：$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×10×24=120$；
底×高：$S=BC×DE$。
联立得$13×DE=120$，解得$DE=\frac{120}{13}$。
【答案】$\frac{120}{13}$
【知识点】菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形性质
【点评】本题综合考查平行四边形、菱形的性质及面积计算，核心是先判定四边形为菱形，再利用面积法建立关系求解，是几何中典型的综合题型。
【难度系数】0.5
三、解答题
6. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AC$ 平分 $∠ BAD$，过点 $D$ 作 $DP // AC$，过点 $C$ 作 $CP // BD$，$DP$，$CP$ 交于点 $P$，连接 $OP$。
（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
（2）若 $AC=12$，$BD=16$，求 $OP$ 的长。
6. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AC$ 平分 $∠ BAD$，过点 $D$ 作 $DP // AC$，过点 $C$ 作 $CP // BD$，$DP$，$CP$ 交于点 $P$，连接 $OP$。
（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
（2）若 $AC=12$，$BD=16$，求 $OP$ 的长。
答案
（1）证明过程如上，四边形$ABCD$是菱形得证；（2）$OP$的长为$\boldsymbol{10}$。
解析
【分析】
（1）要证明平行四边形ABCD是菱形，需利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定定理。结合平行四边形对边平行的性质，通过角平分线条件推导邻边相等即可。
（2）求OP的长，先由两组对边平行判定四边形OCPD是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质，判定该平行四边形为矩形，利用矩形对角线相等得OP=CD；最后通过菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理计算CD的长度，从而得到OP的长。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAC = ∠BCA。
又
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠DAC = ∠BAC，
∴ ∠BAC = ∠BCA，
∴ AB = BC。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，
∴ 四边形ABCD是菱形。
（2）解：
∵ DP//AC，CP//BD，
∴ 四边形OCPD是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴ AC⊥BD，OC = ½AC = 6，OD = ½BD = 8，
∴ ∠COD = 90°，
∴ 平行四边形OCPD是矩形，
∴ OP = CD。
在Rt△COD中，由勾股定理得：
CD = √(OC² + OD²) = √(6² + 8²) = √100 = 10，
∴ OP = 10。
【答案】
（1）证明见解析；（2）10
【知识点】
菱形的判定、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查了菱形、平行四边形、矩形的判定与性质，解题时需熟练运用相关定理，结合图形的性质逐步推导，逻辑清晰即可完成解答。
【难度系数】
0.5
（1）要证明平行四边形ABCD是菱形，需利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定定理。结合平行四边形对边平行的性质，通过角平分线条件推导邻边相等即可。
（2）求OP的长，先由两组对边平行判定四边形OCPD是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质，判定该平行四边形为矩形，利用矩形对角线相等得OP=CD；最后通过菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理计算CD的长度，从而得到OP的长。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAC = ∠BCA。
又
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠DAC = ∠BAC，
∴ ∠BAC = ∠BCA，
∴ AB = BC。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，
∴ 四边形ABCD是菱形。
（2）解：
∵ DP//AC，CP//BD，
∴ 四边形OCPD是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴ AC⊥BD，OC = ½AC = 6，OD = ½BD = 8，
∴ ∠COD = 90°，
∴ 平行四边形OCPD是矩形，
∴ OP = CD。
在Rt△COD中，由勾股定理得：
CD = √(OC² + OD²) = √(6² + 8²) = √100 = 10，
∴ OP = 10。
【答案】
（1）证明见解析；（2）10
【知识点】
菱形的判定、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查了菱形、平行四边形、矩形的判定与性质，解题时需熟练运用相关定理，结合图形的性质逐步推导，逻辑清晰即可完成解答。
【难度系数】
0.5
7. 如图,在矩形 ABCD 中,E 是 DC 的中点,延长 DC 至点 G,使得 $ CG=\frac{1}{2}CD $,连接 AE,AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 F,连接 BG,FG.
(1) 求证:四边形 BEFG 是菱形;
(2) 若 EB 平分 $ ∠ AEG $,AB=4,求菱形 BEFG 的面积.
(1) 求证:四边形 BEFG 是菱形;
(2) 若 EB 平分 $ ∠ AEG $,AB=4,求菱形 BEFG 的面积.
答案
(1) 证明如上；(2) 菱形BEFG的面积为$\boldsymbol{8\sqrt{3}}$。
解析
【分析】
要证明四边形BEFG是菱形，需先证其为平行四边形，再证邻边相等。利用矩形对边平行且相等的性质，结合E是DC中点、CG=1/2 CD，通过全等三角形得到线段关系，进而证得平行四边形；再结合角平分线与平行线的性质推出邻边相等，完成菱形判定。求面积时，先根据已知边长算出菱形的对角线长度，用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//DC，AB=CD，∠ADE=∠ECF=90°，
∵ E是DC中点，
∴ DE=EC=1/2 CD，
又
∵ CG=1/2 CD，
∴ DE=EC=CG，
在△ADE和△FCE中：
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠CFE \\∠ADE=∠FCE \\DE=EC\end{array} $
∴ △ADE≌△FCE（AAS），
∴ AE=FE，AD=CF，
∵ 矩形中AD=BC，
∴ BC=CF，即C为BF中点，
又
∵ EG=EC+CG=1/2 CD +1/2 CD=CD=AB，且AB//EG，
∴ AB平行且等于EG，故四边形ABGE是平行四边形，
∴ BG//AE，即BG//EF，且BG=AE，
又
∵ AE=FE，
∴ BG平行且等于EF，
∴ 四边形BEFG是平行四边形，
∵ AB//EG，
∴ ∠ABE=∠GEB，
又
∵ EB平分∠AEG，
∴ ∠AEB=∠GEB，
∴ ∠ABE=∠AEB，
∴ AB=AE，
在Rt△BCE中，EC=1/2 AB，BC=AD，结合AB=AE，可推得BE=EG，
∴ 平行四边形BEFG是菱形。
(2) 解：
∵ AB=4，
∴ CD=AB=4，EC=1/2 CD=2，CG=1/2 CD=2，EG=EC+CG=4，
∵ EB平分∠AEG，AB//EG，
∴ ∠ABE=∠BEG=∠AEB，故AB=AE=4，
在Rt△ADE中，DE=2，AE=4，
∴ AD=√(AE² - DE²)=√(16-4)=2√3，
∴ BC=AD=2√3，又
∵ BC=CF，
∴ BF=BC+CF=4√3，
菱形BEFG的面积=$\frac{1}{2}×BF×EG=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
矩形性质、菱形判定、全等三角形
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的性质与判定，结合全等三角形推导线段关系，需熟练运用平行线、角平分线的性质，难度中等，是几何综合题的典型题型。
【难度系数】
0.5
要证明四边形BEFG是菱形，需先证其为平行四边形，再证邻边相等。利用矩形对边平行且相等的性质，结合E是DC中点、CG=1/2 CD，通过全等三角形得到线段关系，进而证得平行四边形；再结合角平分线与平行线的性质推出邻边相等，完成菱形判定。求面积时，先根据已知边长算出菱形的对角线长度，用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//DC，AB=CD，∠ADE=∠ECF=90°，
∵ E是DC中点，
∴ DE=EC=1/2 CD，
又
∵ CG=1/2 CD，
∴ DE=EC=CG，
在△ADE和△FCE中：
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠CFE \\∠ADE=∠FCE \\DE=EC\end{array} $
∴ △ADE≌△FCE（AAS），
∴ AE=FE，AD=CF，
∵ 矩形中AD=BC，
∴ BC=CF，即C为BF中点，
又
∵ EG=EC+CG=1/2 CD +1/2 CD=CD=AB，且AB//EG，
∴ AB平行且等于EG，故四边形ABGE是平行四边形，
∴ BG//AE，即BG//EF，且BG=AE，
又
∵ AE=FE，
∴ BG平行且等于EF，
∴ 四边形BEFG是平行四边形，
∵ AB//EG，
∴ ∠ABE=∠GEB，
又
∵ EB平分∠AEG，
∴ ∠AEB=∠GEB，
∴ ∠ABE=∠AEB，
∴ AB=AE，
在Rt△BCE中，EC=1/2 AB，BC=AD，结合AB=AE，可推得BE=EG，
∴ 平行四边形BEFG是菱形。
(2) 解：
∵ AB=4，
∴ CD=AB=4，EC=1/2 CD=2，CG=1/2 CD=2，EG=EC+CG=4，
∵ EB平分∠AEG，AB//EG，
∴ ∠ABE=∠BEG=∠AEB，故AB=AE=4，
在Rt△ADE中，DE=2，AE=4，
∴ AD=√(AE² - DE²)=√(16-4)=2√3，
∴ BC=AD=2√3，又
∵ BC=CF，
∴ BF=BC+CF=4√3，
菱形BEFG的面积=$\frac{1}{2}×BF×EG=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
矩形性质、菱形判定、全等三角形
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的性质与判定，结合全等三角形推导线段关系，需熟练运用平行线、角平分线的性质，难度中等，是几何综合题的典型题型。
【难度系数】
0.5
