1. 下列各式化简后,能与$\sqrt{5}$合并的是()。

A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{0.4}$
C.$\sqrt{20}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{50}}$

1.C

【分析】
要判断哪个式子化简后能与$\sqrt{5}$合并，首先要明确规则：只有化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式才能合并。所以解题思路是先将每个选项的二次根式化为最简形式，再对比化简后的被开方数是否为5，符合要求的即为正确选项。
【解析】
可合并的二次根式的判定依据：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式可以合并，我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{10}$已经是最简二次根式，被开方数为10，与$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能合并；
B. $\sqrt{0.4}=\sqrt{\dfrac{2}{5}}=\sqrt{\dfrac{10}{25}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$，化简后被开方数为10，与$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能合并；
C. $\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，化简后被开方数为5，与$\sqrt{5}$的被开方数相同，可以合并；
D. $\sqrt{\dfrac{1}{50}}=\sqrt{\dfrac{2}{100}}=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能合并。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式判定
【点评】
本题考查同类二次根式的识别，解题核心是先将各选项的二次根式化为最简形式，再对比被开方数是否一致，属于基础题型，掌握二次根式的化简规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2.若式子$\sqrt{x-3}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是()。

A.$x≥3$
B.$x≤3$
C.$x＞3$
D.$x＜3$

2.A

【分析】
这道题的考点是二次根式有意义的条件，解题思路如下：首先回忆二次根式的相关性质，二次根式在实数范围内有意义的要求是被开方数（根号内的代数式）必须为非负数（即大于等于0）；接下来找到本题根号下的式子为x-3，令其满足非负的要求列出不等式；最后解不等式得到x的取值范围，匹配对应选项即可。
【解析】
解：若二次根式$\sqrt{x-3}$在实数范围内有意义，根据二次根式的性质，被开方数需为非负数，可列不等式：
$x-3≥0$
解该不等式，两边同时加3得：
$x≥3$
因此x的取值范围为$x≥3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查二次根式有意义的判定规则，解题时需注意不要遗漏被开方数可以等于0的情况，避免误选。
【难度系数】
0.85

3.如右图,矩形内有两个相邻的白色正方形,其面积分别为32和2,则图中阴影部分的面积为()。

A.$3\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.6
D.8

3.C

【分析】
要计算阴影部分的面积，首先需要根据正方形面积与边长的关系，求出两个白色正方形的边长；再结合图形确定大矩形的长和宽，既可以用“大矩形总面积减去两个白色正方形的面积和”计算阴影面积，也可以将阴影部分拼接为规则长方形直接计算，两种方法均需要用到二次根式的化简与运算规则。
【解析】
解：已知正方形面积等于边长的平方，因此：
面积为32的白色正方形边长为 $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
面积为2的白色正方形边长为 $\sqrt{2}$。
方法一：总面积减空白面积
大矩形的长为两个正方形边长之和：$4\sqrt{2}+\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，
大矩形的宽等于大正方形的边长 $4\sqrt{2}$，
大矩形面积为：$5\sqrt{2} × 4\sqrt{2} = 20 × (\sqrt{2} × \sqrt{2}) = 20 × 2 = 40$，
两个白色正方形的面积和为 $32+2=34$，
因此阴影部分面积为 $40-34=6$。
方法二：割补法
观察图形可将两个阴影部分拼接为一个长方形，该长方形的长为小正方形的边长$\sqrt{2}$，宽为大正方形边长减小正方形边长：$4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
因此阴影部分面积为：$\sqrt{2} × 3\sqrt{2} = 3 × (\sqrt{2} × \sqrt{2}) = 3 × 2 = 6$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式运算，矩形正方形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题属于基础的面积计算类题目，核心是先通过正方形面积求出对应边长，再结合图形特征选择合适的方法计算阴影面积，解题过程中需要注意二次根式的化简和乘法运算的准确性。
【难度系数】
0.7

4. 三角形的一边长是$\sqrt{42}\ \mathrm{cm}$，这条边上的高是$\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$，则这个三角形的面积是()。

A.$6\sqrt{35}\ \mathrm{cm}^2$
B.$3\sqrt{35}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\sqrt{1260}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{1}{3}\sqrt{1260}\ \mathrm{cm}^2$

4.B

【分析】
首先回忆三角形的面积计算公式：三角形面积=1/2×底×这条底对应的高。解题时先将题目给出的底和高代入公式，再根据二次根式的乘法法则计算乘积，最后将结果化为最简二次根式，和选项对比即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}×底×高$
将底为$\sqrt{42}\ \mathrm{cm}$，高为$\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$代入得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×\sqrt{42}×\sqrt{30}\\&=\frac{1}{2}×\sqrt{42×30}\\&=\frac{1}{2}×\sqrt{1260}\\&=\frac{1}{2}×\sqrt{36×35}\\&=\frac{1}{2}×6\sqrt{35}\\&=3\sqrt{35}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算、二次根式乘法、二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，需要注意两点：一是不要遗漏面积公式中的$\frac{1}{2}$，二是二次根式运算的最终结果要化为最简形式，避免误选未化简的选项。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 计算：$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 - \sqrt{40} =$ 。

1.7

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路可分为三步：第一步，利用完全平方公式将$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$展开；第二步，将$\sqrt{40}$化简为最简二次根式；第三步，合并同类二次根式得到最终结果。计算时要注意完全平方公式的正确运用，以及二次根式化简的规则，避免漏项或计算错误。
【解析】
解：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开第一项：
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$
再化简$\sqrt{40}$：$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=2\sqrt{10}$
将两部分代入原式计算：
原式$=7 + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{10} = 7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式、二次根式化简、二次根式混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握二次根式的运算规则和完全平方公式，计算时注意核对展开项和化简结果，避免因粗心导致运算错误。
【难度系数】
0.85

2.若最简二次根式$\sqrt{x+1}$与$\sqrt{7}$可以合并，则$x=$。

2.6

【分析】
要解答本题，需先明确相关概念的含义：首先，可合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义是“化简后被开方数相同的二次根式”；其次，题目已经说明两个根式都是最简二次根式，说明二者无需再化简，因此它们的被开方数一定相等。我们只需要根据被开方数相等列方程，求解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt{x+1}$与$\sqrt{7}$可以合并
∴二者为同类二次根式，被开方数相等，可得方程：
$x+1=7$
移项计算得：$x=7-1=6$
【答案】
6
【知识点】
1. 最简二次根式
2. 同类二次根式
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题型，核心考查同类二次根式的判定性质，解题关键是抓住“可合并的最简二次根式被开方数相同”这一核心要点，掌握基本概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9

3.若$\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - y} = 0$，则$x + y$的值为。

3.-1

【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的计算结果是非负数（即大于等于0）。两个非负数相加和为0，说明这两个非负数各自都为0，因此我们可以分别令两个算术平方根等于0，列方程求出x、y的值，再代入计算x+y即可。
【解析】
解：
∵算术平方根具有非负性，可得$\sqrt{x+3}≥0$，$\sqrt{2-y}≥0$，
又
∵$\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - y} = 0$，
∴只有$\sqrt{x+3}=0$且$\sqrt{2-y}=0$时等式成立，即：
$\begin{cases}x+3=0\\2-y=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3\\y=2\end{cases}$
将x、y代入得：$x+y=-3+2=-1$
【答案】
-1
【知识点】
算术平方根的非负性；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，解题关键是掌握非负数的性质：若多个非负数的和为0，则每一个非负数都为0，常见的非负数包括算术平方根、绝对值、偶次幂三类，遇到这类题型按照该性质列方程求解即可。
【难度系数】
0.9

4.化简$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$的结果是。

4.$2 + \sqrt{2}$或$\sqrt{2} + 2$

【分析】
这是一道二次根式化简题，解题核心是对分母进行有理化。首先观察分母为$\sqrt{2}-1$，是含二次根式的减法式子，根据平方差公式的特征，它的有理化因式为$\sqrt{2}+1$。接下来依据分式的基本性质，给分子和分母同时乘这个有理化因式，就可以消除分母中的根号，最后化简计算就能得到结果。
【解析】
解：对原式进行分母有理化，分子分母同时乘以$\sqrt{2}+1$（$\sqrt{2}+1≠0$，符合分式基本性质）：
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\&=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×1}{(\sqrt{2})^2-1^2}\\&=\frac{2+\sqrt{2}}{2-1}\\&=2+\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$2+\sqrt{2}$（或$\sqrt{2}+2$）
【知识点】
分母有理化，二次根式运算，平方差公式
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，重点考查分母有理化的操作方法，只要能准确找到分母的有理化因式，结合平方差公式计算即可得分，运算时注意二次根式的乘法规则不要出错。
【难度系数】
0.8

5.如右图,矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4,3,2,则图中阴影部分的面积为。

5.$2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - 5$

【分析】
解题时首先根据正方形面积与边长的关系，求出三个正方形的边长；再观察图形可知，整个大矩形的高等于面积为4的正方形的边长，左侧阴影是宽为$\sqrt{2}$、高为2的矩形减去面积为2的正方形的剩余部分，右侧阴影是宽为$\sqrt{3}$、高为2的矩形减去面积为3的正方形的剩余部分；最后将两部分阴影面积相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算各正方形的边长：
面积为4的正方形边长为$\sqrt{4}=2$，面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$，面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$。
2. 计算左上阴影部分面积：
左侧矩形宽为$\sqrt{2}$，高为2，面积为$2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，减去下方面积为2的正方形，得左上阴影面积为$2\sqrt{2}-2$。
3. 计算右下阴影部分面积：
右侧矩形宽为$\sqrt{3}$，高为2，面积为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，减去上方面积为3的正方形，得右下阴影面积为$2\sqrt{3}-3$。
4. 计算总阴影面积：
总阴影面积$=(2\sqrt{2}-2)+(2\sqrt{3}-3)=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$。
【答案】
$2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - 5$
【知识点】
正方形面积计算，矩形面积计算，二次根式运算
【点评】
本题需要结合图形特征，利用割补法将阴影面积转化为矩形与正方形的面积差求解，重点考查图形观察能力和二次根式的基础运算能力。
【难度系数】
0.7