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三、解答题
已知二次根式 $\sqrt{x - 2}$。
(1)求使得该二次根式有意义的$x$的取值范围。
(2)已知 $\sqrt{x - 2}$ 是最简二次根式，且可以与 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 合并。
①求$x$的值；
②求 $\sqrt{x - 2}$ 与 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 的乘积。
已知二次根式 $\sqrt{x - 2}$。
(1)求使得该二次根式有意义的$x$的取值范围。
(2)已知 $\sqrt{x - 2}$ 是最简二次根式，且可以与 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 合并。
①求$x$的值；
②求 $\sqrt{x - 2}$ 与 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 的乘积。
答案
(1) $x ≥ 2$
(2) ① $x = 5$
② $1$
(2) ① $x = 5$
② $1$
解析
【分析】
（1）解决二次根式有意义的问题，核心是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，据此列出不等式求解即可得到x的取值范围。
（2）①首先明确：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并。因此先将$\sqrt{\frac{1}{3}}$化为最简二次根式，再结合$\sqrt{x-2}$是最简二次根式且能与其合并的条件，可知二者被开方数相等，列方程即可求出x的值。②将求得的x的值代入，再根据二次根式的乘法运算法则计算乘积即可。
【解析】
（1）要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，则被开方数非负，即：
$x-2≥0$
解得：$x≥2$
（2）①先化简$\sqrt{\frac{1}{3}}$：
$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
因为$\sqrt{x-2}$是最简二次根式，且可以与$\sqrt{\frac{1}{3}}$合并，说明二者是同类二次根式，被开方数相同，因此：
$x-2=3$
解得：$x=5$
②将$x=5$代入$\sqrt{x-2}$得$\sqrt{5-2}=\sqrt{3}$，二者的乘积为：
$\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3×\frac{1}{3}}=\sqrt{1}=1$
【答案】
(1) $x ≥ 2$
(2) ① $x = 5$
② $1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；同类二次根式；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于二次根式的基础常考题，侧重对核心基础概念和运算规则的考查，只要熟练掌握相关定义与运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）解决二次根式有意义的问题，核心是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，据此列出不等式求解即可得到x的取值范围。
（2）①首先明确：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并。因此先将$\sqrt{\frac{1}{3}}$化为最简二次根式，再结合$\sqrt{x-2}$是最简二次根式且能与其合并的条件，可知二者被开方数相等，列方程即可求出x的值。②将求得的x的值代入，再根据二次根式的乘法运算法则计算乘积即可。
【解析】
（1）要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，则被开方数非负，即：
$x-2≥0$
解得：$x≥2$
（2）①先化简$\sqrt{\frac{1}{3}}$：
$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
因为$\sqrt{x-2}$是最简二次根式，且可以与$\sqrt{\frac{1}{3}}$合并，说明二者是同类二次根式，被开方数相同，因此：
$x-2=3$
解得：$x=5$
②将$x=5$代入$\sqrt{x-2}$得$\sqrt{5-2}=\sqrt{3}$，二者的乘积为：
$\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3×\frac{1}{3}}=\sqrt{1}=1$
【答案】
(1) $x ≥ 2$
(2) ① $x = 5$
② $1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；同类二次根式；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于二次根式的基础常考题，侧重对核心基础概念和运算规则的考查，只要熟练掌握相关定义与运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
四、综合实践活动
斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家,他研究了一列数,被称为“斐波那契数列”。他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示,如第n(n为正整数)个数a_n可以表示为$\frac{1}{\sqrt{5}}[ ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} )^n - ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} )^n ],$且连续三个数$a_{n-1},a_n,a_{n+1}$之间存在以下关系$:a_{n-1} + a_n = a_{n+1}\ (n≥2)$。①第1个数$a_1=1;②$第2个数$:a_2=2;$
③“斐波那契数列”中的前8个数分别是1,1,2,3,5,8,13,21;
④若把“斐波那契数列”中的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成一个新数列,则在新数列中,第2017项的值是1。
以上说法正确的有
斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家,他研究了一列数,被称为“斐波那契数列”。他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示,如第n(n为正整数)个数a_n可以表示为$\frac{1}{\sqrt{5}}[ ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} )^n - ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} )^n ],$且连续三个数$a_{n-1},a_n,a_{n+1}$之间存在以下关系$:a_{n-1} + a_n = a_{n+1}\ (n≥2)$。①第1个数$a_1=1;②$第2个数$:a_2=2;$
③“斐波那契数列”中的前8个数分别是1,1,2,3,5,8,13,21;
④若把“斐波那契数列”中的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成一个新数列,则在新数列中,第2017项的值是1。
以上说法正确的有
①③④
。(填序号)答案
①③④
解析
【分析】
我们需要对四个结论逐一验证：①②可通过代入通项公式，利用二次根式运算求出$a_1$、$a_2$判断正误；③可通过递推关系$a_{n-1}+a_n=a_{n+1}$算出前8个数验证；④先写出前若干项除以4的余数，找到余数数列的周期，再用2017除以周期，根据余数确定第2017项的值。
【解析】
1. 验证①：将$n=1$代入通项公式：
$a_1=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1]$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})}{2}$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{2\sqrt{5}}{2}=1$，故①正确。
2. 验证②：将$n=2$代入通项公式：
$a_2=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2]$
利用完全平方公式展开：
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}$，$(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2=\frac{1-2\sqrt{5}+5}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$
代入得：
$a_2=\frac{1}{\sqrt{5}}×(\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4})=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{4\sqrt{5}}{4}=1$，不等于2，故②错误。
3. 验证③：根据递推关系$a_{n+1}=a_{n-1}+a_n(n≥2)$，已知$a_1=1,a_2=1$，则：
$a_3=a_1+a_2=2$，$a_4=a_2+a_3=3$，$a_5=a_3+a_4=5$，$a_6=a_4+a_5=8$，$a_7=a_5+a_6=13$，$a_8=a_6+a_7=21$，因此前8个数为1,1,2,3,5,8,13,21，故③正确。
4. 验证④：将前若干项除以4取余，得到新数列：1,1,2,3,1,0,1,1……，可发现余数数列以1,1,2,3,1,0为周期，周期长度为6。
$2017÷6=336······1$，即2017除以6余1，对应周期的第1项为1，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
斐波那契数列，周期规律，二次根式运算
【点评】
本题结合经典的斐波那契数列设计，既考查了二次根式的化简计算能力，也考查了归纳找规律、利用周期解决数列问题的方法，解题时需耐心计算，避免因粗心算错前几项导致规律判断错误。
【难度系数】
0.7
我们需要对四个结论逐一验证：①②可通过代入通项公式，利用二次根式运算求出$a_1$、$a_2$判断正误；③可通过递推关系$a_{n-1}+a_n=a_{n+1}$算出前8个数验证；④先写出前若干项除以4的余数，找到余数数列的周期，再用2017除以周期，根据余数确定第2017项的值。
【解析】
1. 验证①：将$n=1$代入通项公式：
$a_1=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1]$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})}{2}$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{2\sqrt{5}}{2}=1$，故①正确。
2. 验证②：将$n=2$代入通项公式：
$a_2=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2]$
利用完全平方公式展开：
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}$，$(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2=\frac{1-2\sqrt{5}+5}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$
代入得：
$a_2=\frac{1}{\sqrt{5}}×(\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4})=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{4\sqrt{5}}{4}=1$，不等于2，故②错误。
3. 验证③：根据递推关系$a_{n+1}=a_{n-1}+a_n(n≥2)$，已知$a_1=1,a_2=1$，则：
$a_3=a_1+a_2=2$，$a_4=a_2+a_3=3$，$a_5=a_3+a_4=5$，$a_6=a_4+a_5=8$，$a_7=a_5+a_6=13$，$a_8=a_6+a_7=21$，因此前8个数为1,1,2,3,5,8,13,21，故③正确。
4. 验证④：将前若干项除以4取余，得到新数列：1,1,2,3,1,0,1,1……，可发现余数数列以1,1,2,3,1,0为周期，周期长度为6。
$2017÷6=336······1$，即2017除以6余1，对应周期的第1项为1，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
斐波那契数列，周期规律，二次根式运算
【点评】
本题结合经典的斐波那契数列设计，既考查了二次根式的化简计算能力，也考查了归纳找规律、利用周期解决数列问题的方法，解题时需耐心计算，避免因粗心算错前几项导致规律判断错误。
【难度系数】
0.7
