一、填空。
1. $2÷7=\frac{(\quad)}{28}=\frac{12}{(\quad)}=20÷(\quad)$。

8、42、70

我们先根据分数与除法的关系，把$2÷7$转化为分数形式$\frac{2}{7}$，再结合分数的基本性质、商不变的规律计算：
1. 分母从7变为28，是$7×4$得到的，要保证分数大小不变，分子也要同时乘4：$2×4=8$，第一个空填8；
2. 分子从2变为12，是$2×6$得到的，要保证分数大小不变，分母也要同时乘6：$7×6=42$，第二个空填42；
3. 被除数从2变为20，是$2×10$得到的，根据商不变的规律，除数也要同时乘10：$7×10=70$，第三个空填70。

2. 如果$5x + 2.5 = 17.5$，那么$2x - 1.8 = (\quad)$。

4.2

我们先通过等式的性质求解方程$5x + 2.5 = 17.5$得到x的数值，再将x代入式子$2x - 1.8$计算结果：
1. 解第一个方程：
等式两边同时减去2.5：$5x = 17.5 - 2.5 = 15$
等式两边同时除以5：$x = 15÷5 = 3$
2. 把$x=3$代入$2x - 1.8$计算：
$2×3 - 1.8 = 6 - 1.8 = 4.2$

3. $\frac{10}{12}$的分数单位是(),至少减去()个这样的单位,才能使它成为一个最简分数,至少增加()个这样的单位,才能使它成为一个质数。

$\frac{1}{12}$；3；14

1. 分数单位的定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数就是分数单位，$\frac{10}{12}$的分母是12，因此它的分数单位是$\frac{1}{12}$。
2. 找至少减去几个单位得到最简分数：最简分数的分子和分母互质，比10小的数里，和12互质的最大数是7，$10-7=3$，也就是减去3个$\frac{1}{12}$得到$\frac{7}{12}$，是最简分数，且减去的单位数量最少。
3. 找至少增加几个单位得到质数：质数是大于1的自然数，1既不是质数也不是合数，比$\frac{10}{12}$大的最小质数是2，$2=\frac{24}{12}$，$24-10=14$，也就是增加14个$\frac{1}{12}$得到质数2。

4. 把一个长12厘米，宽8厘米，高4厘米的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加()平方厘米，最少增加()平方厘米。

192；64

把一个长方体切成两个小长方体，切割一次会新增2个完全相同的切面，因此增加的总表面积等于2倍的切面面积。
1. 先计算长方体三个不同面的面积：
长×宽的面：12×8=96（平方厘米）
长×高的面：12×4=48（平方厘米）
宽×高的面：8×4=32（平方厘米）
2. 要让表面积增加最多，选择面积最大的面作为切面，最多增加：96×2=192（平方厘米）
3. 要让表面积增加最少，选择面积最小的面作为切面，最少增加：32×2=64（平方厘米）

二、选一选。
每天坚持走 6000 步以上，有利于人体健康。昨天爸爸走了12500步,妈妈走的步数是爸爸走的步数的$\frac{3}{5}$,妈妈走的步数够 6000步吗？要解决这个问题,下面思路中正确的是()。
① 将12500步平均分成5份,其中3份是$12500÷5×3=7500$(步),$7500＞6000$,所以妈妈走的步数够6000步。
② 求一个数的几分之几是多少,可以用这个数乘几分之几。列式为$12500×\frac{3}{5}=7500$(步),$7500＞6000$,所以妈妈走的步数够6000步。
③ $12500＞12000$,$\frac{3}{5}＞\frac{1}{2}$,$12000×\frac{1}{2}=6000$(步),$12500×\frac{3}{5}＞6000$(步),所以妈妈走的步数够6000步。

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

D

逐一判断三个思路：
1. 思路①：根据分数的意义，把爸爸的步数平均分成5份，取其中3份就是妈妈的步数，计算得$12500÷5×3=7500$步，$7500＞6000$，思路正确。
2. 思路②：依据求一个数的几分之几用乘法的规则，列式$12500×\frac{3}{5}=7500$步，$7500＞6000$，思路正确。
3. 思路③：通过估算比较，$12500＞12000$，$\frac{3}{5}＞\frac{1}{2}$，可得$12500×\frac{3}{5}＞12000×\frac{1}{2}=6000$，无需精确计算也能得出结论，思路正确。
三个思路全部正确。

三、解决问题。

答案略

1. 要运送1吨货物，第一次运走$\frac{1}{3}$吨，第二次运走$\frac{1}{5}$吨，第三次运走$\frac{7}{15}$吨。这批货物运完了吗？为什么？

这批货物运完了，因为三次一共运走的货物重量是1吨，和需要运送的1吨货物总重量相等。

要判断这批货物有没有运完，我们先把三次运走的货物重量相加，算出总共运走的吨数，再和总货物1吨比较即可。
1. 对异分母分数进行通分，统一分母为15：
$\frac{1}{3}=\frac{5}{15}$，$\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$
2. 计算三次运走的总重量：
$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{7}{15}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}+\frac{7}{15}=\frac{15}{15}=1$（吨）
3. 比较：运走的总重量等于货物总重量1吨，说明货物全部运完。

2. 一个等腰三角形,其中两条边的长度分别是$\frac{3}{5}$分米和$\frac{1}{4}$分米,这个等腰三角形的周长是多少分米?

$\frac{29}{20}$分米

1. 等腰三角形的两条腰长度相等，分两种情况讨论：
情况1：假设腰长为$\frac{3}{5}$分米，三条边长度为$\frac{3}{5}$分米、$\frac{3}{5}$分米、$\frac{1}{4}$分米。
验证三边关系：$\frac{3}{5}+\frac{1}{4}=\frac{17}{20}$分米，$\frac{17}{20}＞\frac{3}{5}$，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以组成三角形。
情况2：假设腰长为$\frac{1}{4}$分米，三条边长度为$\frac{1}{4}$分米、$\frac{1}{4}$分米、$\frac{3}{5}$分米。
验证三边关系：$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=\frac{10}{20}$分米，$\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$分米，$\frac{10}{20}＜\frac{12}{20}$，两边之和小于第三边，无法组成三角形，该情况排除。
2. 计算有效三角形的周长：$\frac{3}{5}+\frac{3}{5}+\frac{1}{4} = \frac{24}{20}+\frac{5}{20} = \frac{29}{20}$分米

如右图,将一些分数写成右面的形式。
观察规律可得,第5行从左到右第4个分数
是(),前6行所有分数的和是()。
$\frac{1}{1}$
$\frac{1}{2}$ $\frac{2}{1}$
$\frac{1}{3}$ $\frac{2}{2}$ $\frac{3}{1}$
$\frac{1}{4}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{4}{1}$
...

第5行从左到右第4个分数：$\frac{4}{2}$
前6行所有分数的和：34.1