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4. 解方程：
(1) $ \frac{3x+1}{6x-2}-\frac{5}{2}=\frac{1}{3x-1} $；
(2) $ \frac{3}{x+2}+1=\frac{x}{x-2} $；
(3) $ \frac{3}{x}+\frac{6}{x-1}-\frac{x+5}{x^{2}-x}=0 $；
(4) $ \frac{x-1}{x-2}-\frac{5}{(x+1)(x-2)}=1 $。
(1) $ \frac{3x+1}{6x-2}-\frac{5}{2}=\frac{1}{3x-1} $；
(2) $ \frac{3}{x+2}+1=\frac{x}{x-2} $；
(3) $ \frac{3}{x}+\frac{6}{x-1}-\frac{x+5}{x^{2}-x}=0 $；
(4) $ \frac{x-1}{x-2}-\frac{5}{(x+1)(x-2)}=1 $。
答案
4. (1) 去分母得$3x+1-5(3x-1)=2$，解得$x=\frac {1}{3}$，当$x=\frac {1}{3}$时，$2(3x-1)=0$，$\therefore$ 原方程无解。
(2) 去分母，得$3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2)$。去括号，得$3x-6+x^{2}-4=x^{2}+2x$，解得$x=10$。经检验，$x=10$是原方程的解。
(3) 去分母，得$3(x-1)+6x-(x+5)=0$，去括号，得$3x-3+6x-x-5=0$，移项，得$3x+6x-x=3+5$，合并同类项，得$8x=8$，解得$x=1$。检验：把$x=1$代入$x(x-1)$，得$x(x-1)=0$，$\therefore x=1$是原方程的增根，$\therefore$ 原方程无解。
(4) 去分母，得$(x+1)(x-1)-5=(x+1)(x-2)$，去括号，得$x^{2}-1-5=x^{2}-x-2$，解得$x=4$。检验：当$x=4$时，$(x+1)· (x-2)≠0$，故原方程的解为$x=4$。
(2) 去分母，得$3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2)$。去括号，得$3x-6+x^{2}-4=x^{2}+2x$，解得$x=10$。经检验，$x=10$是原方程的解。
(3) 去分母，得$3(x-1)+6x-(x+5)=0$，去括号，得$3x-3+6x-x-5=0$，移项，得$3x+6x-x=3+5$，合并同类项，得$8x=8$，解得$x=1$。检验：把$x=1$代入$x(x-1)$，得$x(x-1)=0$，$\therefore x=1$是原方程的增根，$\therefore$ 原方程无解。
(4) 去分母，得$(x+1)(x-1)-5=(x+1)(x-2)$，去括号，得$x^{2}-1-5=x^{2}-x-2$，解得$x=4$。检验：当$x=4$时，$(x+1)· (x-2)≠0$，故原方程的解为$x=4$。
5. 解方程： $ \frac{1}{3x}+\frac{1}{15x}+\frac{1}{35x}+\frac{1}{63x}=\frac{1}{x+1} $。
答案
5. $\frac {1}{3x}+\frac {1}{15x}+\frac {1}{35x}+\frac {1}{63x}=\frac {1}{x+1}$，$\frac {1}{x}· (\frac {1}{3}+\frac {1}{15}+\frac {1}{35}+\frac {1}{63})=\frac {1}{x+1}$，$\frac {1}{x}· (\frac {1}{1×3}+\frac {1}{3×5}+\frac {1}{5×7}+\frac {1}{7×9})=\frac {1}{x+1}$，$\frac {1}{2x}(1-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{5}+\frac {1}{5}-\frac {1}{7}+\frac {1}{7}-\frac {1}{9})=\frac {1}{x+1}$，$\frac {1}{2x}(1-\frac {1}{9})=\frac {1}{x+1}$，解得$x=\frac {4}{5}$，检验：$x=\frac {4}{5}$是原分式方程的解，$\therefore$ 原方程的解为$x=\frac {4}{5}$。
解析
解：$\frac{1}{3x}+\frac{1}{15x}+\frac{1}{35x}+\frac{1}{63x}=\frac{1}{x+1}$
$\frac{1}{x}(\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63})=\frac{1}{x+1}$
$\frac{1}{x}(\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9})=\frac{1}{x+1}$
$\frac{1}{2x}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9})=\frac{1}{x+1}$
$\frac{1}{2x}(1-\frac{1}{9})=\frac{1}{x+1}$
$\frac{1}{2x}×\frac{8}{9}=\frac{1}{x+1}$
$\frac{4}{9x}=\frac{1}{x+1}$
$9x=4(x+1)$
$9x=4x+4$
$5x=4$
$x=\frac{4}{5}$
检验：当$x=\frac{4}{5}$时，$3x=3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}≠0$，$15x=15×\frac{4}{5}=12≠0$，$35x=35×\frac{4}{5}=28≠0$，$63x=63×\frac{4}{5}=\frac{252}{5}≠0$，$x+1=\frac{4}{5}+1=\frac{9}{5}≠0$，所以$x=\frac{4}{5}$是原分式方程的解。
$\therefore$ 原方程的解为$x=\frac{4}{5}$。
$\frac{1}{x}(\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63})=\frac{1}{x+1}$
$\frac{1}{x}(\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9})=\frac{1}{x+1}$
$\frac{1}{2x}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9})=\frac{1}{x+1}$
$\frac{1}{2x}(1-\frac{1}{9})=\frac{1}{x+1}$
$\frac{1}{2x}×\frac{8}{9}=\frac{1}{x+1}$
$\frac{4}{9x}=\frac{1}{x+1}$
$9x=4(x+1)$
$9x=4x+4$
$5x=4$
$x=\frac{4}{5}$
检验：当$x=\frac{4}{5}$时，$3x=3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}≠0$，$15x=15×\frac{4}{5}=12≠0$，$35x=35×\frac{4}{5}=28≠0$，$63x=63×\frac{4}{5}=\frac{252}{5}≠0$，$x+1=\frac{4}{5}+1=\frac{9}{5}≠0$，所以$x=\frac{4}{5}$是原分式方程的解。
$\therefore$ 原方程的解为$x=\frac{4}{5}$。
6. 计算：
(1) $ \sqrt{54}-5-\sqrt{6}+(3\sqrt{2})^{2} $；
(2) $ (\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+\sqrt{24}-\sqrt{54}÷\sqrt{6} $；
(3) $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}×(\sqrt{15}-2\sqrt{3}) $；
(4) $ (\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷\sqrt{27} $；
(5) $ \sqrt{ab^{5}}·(-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b})÷\sqrt{\frac{b}{a}} $。
(1) $ \sqrt{54}-5-\sqrt{6}+(3\sqrt{2})^{2} $；
(2) $ (\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+\sqrt{24}-\sqrt{54}÷\sqrt{6} $；
(3) $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}×(\sqrt{15}-2\sqrt{3}) $；
(4) $ (\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷\sqrt{27} $；
(5) $ \sqrt{ab^{5}}·(-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b})÷\sqrt{\frac{b}{a}} $。
答案
1. （1）
解：
先化简各项：
$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，$\vert5 - \sqrt{6}\vert=5-\sqrt{6}$，$(3\sqrt{2})^{2}=3^{2}×(\sqrt{2})^{2}=9×2 = 18$。
然后代入原式计算：
$\sqrt{54}-\vert5 - \sqrt{6}\vert+(3\sqrt{2})^{2}=3\sqrt{6}-(5 - \sqrt{6})+18$
$=3\sqrt{6}-5+\sqrt{6}+18$
$=(3\sqrt{6}+\sqrt{6})+(18 - 5)$
$=4\sqrt{6}+13$。
（2）
解：
先分别计算各项：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{2})^{2}-2\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=2-2\sqrt{6}+3=5 - 2\sqrt{6}$；
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$；
$\sqrt{54}÷\sqrt{6}=\sqrt{\frac{54}{6}}=\sqrt{9}=3$。
然后代入原式计算：
$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+\sqrt{24}-\sqrt{54}÷\sqrt{6}=(5 - 2\sqrt{6})+2\sqrt{6}-3$
$=5 - 2\sqrt{6}+2\sqrt{6}-3$
$=2$。
（3）
解：
先将$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$分母有理化，$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$。
然后计算$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}×(\sqrt{15}-2\sqrt{3})$：
$\frac{\sqrt{15}}{3}×(\sqrt{15}-2\sqrt{3})=\frac{\sqrt{15}×\sqrt{15}}{3}-\frac{2\sqrt{15}×\sqrt{3}}{3}$
因为$\sqrt{15}×\sqrt{15}=15$，$\sqrt{15}×\sqrt{3}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，所以$\frac{\sqrt{15}×\sqrt{15}}{3}-\frac{2\sqrt{15}×\sqrt{3}}{3}=\frac{15}{3}-\frac{2×3\sqrt{5}}{3}$
$=5 - 2\sqrt{5}$。
（4）
解：
先化简各项：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$。
然后计算$(\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷\sqrt{27}$：
$(\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷\sqrt{27}=(4\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷3\sqrt{3}$
根据除法分配律$(a + b)÷ c=a÷ c + b÷ c$，则$(4\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷3\sqrt{3}=4\sqrt{3}÷3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{4}÷3\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}÷3\sqrt{3}=\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}÷3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{4}×\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{12\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{12}$。
所以$(\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷\sqrt{27}=\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{16 + \sqrt{2}}{12}$。
（5）
解：
先化简各项：
$\sqrt{ab^{5}}=b^{2}\sqrt{ab}$，$-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b}=-\frac{3}{2}a\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{a}(a＞0,b＞0)$。
然后计算$\sqrt{ab^{5}}·(-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b})÷\sqrt{\frac{b}{a}}$：
$b^{2}\sqrt{ab}·(-\frac{3}{2}a\sqrt{ab})÷\frac{\sqrt{ab}}{a}$
$=-\frac{3}{2}ab^{2}· ab÷\frac{\sqrt{ab}}{a}$
$=-\frac{3}{2}a^{2}b^{3}·\frac{a}{\sqrt{ab}}$
$=-\frac{3}{2}a^{3}b^{3}·\frac{\sqrt{ab}}{ab}$
$=-\frac{3}{2}a^{2}b^{2}\sqrt{ab}$。
综上，答案依次为：（1）$4\sqrt{6}+13$；（2）$2$；（3）$5 - 2\sqrt{5}$；（4）$\frac{16+\sqrt{2}}{12}$；（5）$-\frac{3}{2}a^{2}b^{2}\sqrt{ab}(a＞0,b＞0)$。
解：
先化简各项：
$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，$\vert5 - \sqrt{6}\vert=5-\sqrt{6}$，$(3\sqrt{2})^{2}=3^{2}×(\sqrt{2})^{2}=9×2 = 18$。
然后代入原式计算：
$\sqrt{54}-\vert5 - \sqrt{6}\vert+(3\sqrt{2})^{2}=3\sqrt{6}-(5 - \sqrt{6})+18$
$=3\sqrt{6}-5+\sqrt{6}+18$
$=(3\sqrt{6}+\sqrt{6})+(18 - 5)$
$=4\sqrt{6}+13$。
（2）
解：
先分别计算各项：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{2})^{2}-2\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=2-2\sqrt{6}+3=5 - 2\sqrt{6}$；
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$；
$\sqrt{54}÷\sqrt{6}=\sqrt{\frac{54}{6}}=\sqrt{9}=3$。
然后代入原式计算：
$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+\sqrt{24}-\sqrt{54}÷\sqrt{6}=(5 - 2\sqrt{6})+2\sqrt{6}-3$
$=5 - 2\sqrt{6}+2\sqrt{6}-3$
$=2$。
（3）
解：
先将$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$分母有理化，$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$。
然后计算$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}×(\sqrt{15}-2\sqrt{3})$：
$\frac{\sqrt{15}}{3}×(\sqrt{15}-2\sqrt{3})=\frac{\sqrt{15}×\sqrt{15}}{3}-\frac{2\sqrt{15}×\sqrt{3}}{3}$
因为$\sqrt{15}×\sqrt{15}=15$，$\sqrt{15}×\sqrt{3}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，所以$\frac{\sqrt{15}×\sqrt{15}}{3}-\frac{2\sqrt{15}×\sqrt{3}}{3}=\frac{15}{3}-\frac{2×3\sqrt{5}}{3}$
$=5 - 2\sqrt{5}$。
（4）
解：
先化简各项：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$。
然后计算$(\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷\sqrt{27}$：
$(\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷\sqrt{27}=(4\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷3\sqrt{3}$
根据除法分配律$(a + b)÷ c=a÷ c + b÷ c$，则$(4\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷3\sqrt{3}=4\sqrt{3}÷3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{4}÷3\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}÷3\sqrt{3}=\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}÷3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{4}×\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{12\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{12}$。
所以$(\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷\sqrt{27}=\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{16 + \sqrt{2}}{12}$。
（5）
解：
先化简各项：
$\sqrt{ab^{5}}=b^{2}\sqrt{ab}$，$-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b}=-\frac{3}{2}a\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{a}(a＞0,b＞0)$。
然后计算$\sqrt{ab^{5}}·(-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b})÷\sqrt{\frac{b}{a}}$：
$b^{2}\sqrt{ab}·(-\frac{3}{2}a\sqrt{ab})÷\frac{\sqrt{ab}}{a}$
$=-\frac{3}{2}ab^{2}· ab÷\frac{\sqrt{ab}}{a}$
$=-\frac{3}{2}a^{2}b^{3}·\frac{a}{\sqrt{ab}}$
$=-\frac{3}{2}a^{3}b^{3}·\frac{\sqrt{ab}}{ab}$
$=-\frac{3}{2}a^{2}b^{2}\sqrt{ab}$。
综上，答案依次为：（1）$4\sqrt{6}+13$；（2）$2$；（3）$5 - 2\sqrt{5}$；（4）$\frac{16+\sqrt{2}}{12}$；（5）$-\frac{3}{2}a^{2}b^{2}\sqrt{ab}(a＞0,b＞0)$。
