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9.学校组织植树活动,已知在甲处植树的有6人,在乙处植树的有10人,在丙处植树的有8人,现调来若干人去支援,使在甲、乙、丙三处植树的人数之比为$2:3:4$.设支援后在甲处植树的人数为$2x$.
(1)根据信息填表:
| | 甲处 | 乙处 | 丙处 |
| --- | --- | --- | --- |
| 支援后的人数 | $2x$ | 图1
| 支援的人数 | $2x-6$ |
(2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍,支援甲、乙、丙处各有多少人?
(1)根据信息填表:
| | 甲处 | 乙处 | 丙处 |
| --- | --- | --- | --- |
| 支援后的人数 | $2x$ | 图1
3x
| 4x
|| 支援的人数 | $2x-6$ |
3x-10
| 4x-8
|(2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍,支援甲、乙、丙处各有多少人?
答案
9.(1)$3x$ $4x$ $3x-10$ $4x-8$
(2)解:根据题意,得4x-8=2(3x-10),解得x=6,
所以2x-6=6,3x-10=8,4x-8=16.
答:支援甲、乙、丙处分别有6人,8人和16人.
(2)解:根据题意,得4x-8=2(3x-10),解得x=6,
所以2x-6=6,3x-10=8,4x-8=16.
答:支援甲、乙、丙处分别有6人,8人和16人.
解析
【分析】
(1) 已知支援后甲、乙、丙三处人数比为2:3:4，甲处支援后人数为2x，按照比例即可直接推出乙、丙两处支援后的人数；支援人数等于支援后总人数减去该处原有人数，代入对应数值就能得到乙、丙两处的支援人数表达式。
(2) 题目给出“支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍”的等量关系，将(1)中得到的支援乙、丙处人数的代数式代入等量关系列一元一次方程，求解出x的值后，再分别代入三处支援人数的代数式即可得到结果。
【解析】
(1)
∵支援后甲、乙、丙三处人数之比为$2:3:4$，甲处支援后人数为$2x$
∴乙处支援后人数为$3x$，丙处支援后人数为$4x$
∵乙处原有人数为10人，丙处原有人数为8人
∴乙处支援人数为$3x-10$，丙处支援人数为$4x-8$
(2) 根据题意可得等量关系：$\mathrm{支援丙处人数}=2×\mathrm{支援乙处人数}$
代入代数式得方程：
$4x-8=2(3x-10)$
展开右侧得：$4x-8=6x-20$
移项合并同类项得：$2x=12$
解得：$x=6$
代入支援人数表达式计算：
支援甲处人数：$2x-6=2×6-6=6$（人）
支援乙处人数：$3x-10=3×6-10=8$（人）
支援丙处人数：$4x-8=4×6-8=16$（人）
【答案】
(1) $3x$；$4x$；$3x-10$；$4x-8$
(2) 支援甲处有6人，支援乙处有8人，支援丙处有16人。
【知识点】
列代数式；比的应用；一元一次方程的实际应用
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题核心是先根据比例关系正确写出对应量的代数式，再找准题目给出的等量关系列方程求解，计算难度较低，掌握基础列方程步骤即可完成。
【难度系数】
0.7
(1) 已知支援后甲、乙、丙三处人数比为2:3:4，甲处支援后人数为2x，按照比例即可直接推出乙、丙两处支援后的人数；支援人数等于支援后总人数减去该处原有人数，代入对应数值就能得到乙、丙两处的支援人数表达式。
(2) 题目给出“支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍”的等量关系，将(1)中得到的支援乙、丙处人数的代数式代入等量关系列一元一次方程，求解出x的值后，再分别代入三处支援人数的代数式即可得到结果。
【解析】
(1)
∵支援后甲、乙、丙三处人数之比为$2:3:4$，甲处支援后人数为$2x$
∴乙处支援后人数为$3x$，丙处支援后人数为$4x$
∵乙处原有人数为10人，丙处原有人数为8人
∴乙处支援人数为$3x-10$，丙处支援人数为$4x-8$
(2) 根据题意可得等量关系：$\mathrm{支援丙处人数}=2×\mathrm{支援乙处人数}$
代入代数式得方程：
$4x-8=2(3x-10)$
展开右侧得：$4x-8=6x-20$
移项合并同类项得：$2x=12$
解得：$x=6$
代入支援人数表达式计算：
支援甲处人数：$2x-6=2×6-6=6$（人）
支援乙处人数：$3x-10=3×6-10=8$（人）
支援丙处人数：$4x-8=4×6-8=16$（人）
【答案】
(1) $3x$；$4x$；$3x-10$；$4x-8$
(2) 支援甲处有6人，支援乙处有8人，支援丙处有16人。
【知识点】
列代数式；比的应用；一元一次方程的实际应用
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题核心是先根据比例关系正确写出对应量的代数式，再找准题目给出的等量关系列方程求解，计算难度较低，掌握基础列方程步骤即可完成。
【难度系数】
0.7
10. 如图为2025年1月的日历，其中有一个“H”形框，“H”形框内包含7个数.
(1)将“H”形框上下左右平移，但一定要框住2025年1月的日历中的7个数，若设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为$ a $，用含$ a $的式子表示“H”形框内的7个数字的和为________；
(2)将“H”形框上下左右平移，设“H”形框内的7个数字之和为112. 请求出此时“H”形框中的7个数中最小的数.
(1)将“H”形框上下左右平移，但一定要框住2025年1月的日历中的7个数，若设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为$ a $，用含$ a $的式子表示“H”形框内的7个数字的和为________；
(2)将“H”形框上下左右平移，设“H”形框内的7个数字之和为112. 请求出此时“H”形框中的7个数中最小的数.
答案
10.(1)$7a$
(2)解:由题意,得7a=112,解得a=16,所以a-8=8,
所以此时“H”形框中的7个数中最小的数为8.
(2)解:由题意,得7a=112,解得a=16,所以a-8=8,
所以此时“H”形框中的7个数中最小的数为8.
解析
【分析】
首先明确日历的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。H形框中从小到大排第4个数是正中间的数$a$，可根据规律将其余6个数用含$a$的式子表示：左上数比$a$小8，右上数比$a$小6，中间左数比$a$小1，中间右数比$a$大1，左下数比$a$大6，右下数比$a$大8。第一问将7个式子相加即可得到和的表达式；第二问利用第一问的和的公式列一元一次方程，求出$a$后，最小数为$a-8$，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设中间数为$a$，其余6个数分别为$a-8$、$a-6$、$a-1$、$a+1$、$a+6$、$a+8$，则7个数的和为：
$(a-8)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+8)=7a$
(2) 根据题意，7个数的和为112，结合(1)的结论列方程：
$7a=112$
解得$a=16$
H形框中最小的数为$a-8=16-8=8$
【答案】
(1)$7a$；(2)$8$
【知识点】
日历数字规律，一元一次方程应用，整式加减运算
【点评】
本题结合日历场景考查数字规律探索与方程的应用，解题核心是找到H形框内各数与中间数的数量关系，掌握日历中数字的变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先明确日历的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。H形框中从小到大排第4个数是正中间的数$a$，可根据规律将其余6个数用含$a$的式子表示：左上数比$a$小8，右上数比$a$小6，中间左数比$a$小1，中间右数比$a$大1，左下数比$a$大6，右下数比$a$大8。第一问将7个式子相加即可得到和的表达式；第二问利用第一问的和的公式列一元一次方程，求出$a$后，最小数为$a-8$，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设中间数为$a$，其余6个数分别为$a-8$、$a-6$、$a-1$、$a+1$、$a+6$、$a+8$，则7个数的和为：
$(a-8)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+8)=7a$
(2) 根据题意，7个数的和为112，结合(1)的结论列方程：
$7a=112$
解得$a=16$
H形框中最小的数为$a-8=16-8=8$
【答案】
(1)$7a$；(2)$8$
【知识点】
日历数字规律，一元一次方程应用，整式加减运算
【点评】
本题结合日历场景考查数字规律探索与方程的应用，解题核心是找到H形框内各数与中间数的数量关系，掌握日历中数字的变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11.对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是$3:2$，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$.某人要装裱一副对联，对联的长为96 cm，宽为26 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.
答案
11.解:设天头长为6x cm,地头长为4x cm,则左、右边的宽为x cm,
根据题意,得96+(6x+4x)=4×(26+2x),
解得x=4,则6x=6×4=24.
答:边的宽为4 cm,天头长为24 cm.
根据题意,得96+(6x+4x)=4×(26+2x),
解得x=4,则6x=6×4=24.
答:边的宽为4 cm,天头长为24 cm.
解析
【分析】
首先梳理题目中的数量关系：已知天头长与地头长的比为3:2，边的宽是天头长与地头长之和的$\frac{1}{10}$，且装裱后的长是装裱后宽的4倍，对联本身长96cm、宽26cm。为了避免分数计算，可根据比例关系设参数：将天头长设为6x cm，地头长设为4x cm，二者比例仍为3:2，此时天头与地头的长度和为10x cm，可直接得出边的宽为x cm。接下来分别表示出装裱后的总长度和总宽度：装裱后的长=对联原长+天头长+地头长，装裱后的宽=对联原宽+左右两边的宽度，最后根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”这一等量关系列一元一次方程，求解后即可得到对应数值。
【解析】
解：设天头长为$6x$ cm，地头长为$4x$ cm，则左、右边的宽为$\frac{1}{10}×(6x+4x)=x$ cm。
装裱后的长为：$96 + 6x + 4x = 96 + 10x$（cm）
装裱后的宽为：$26 + x + x = 26 + 2x$（cm）
根据题意列方程得：
$96 + 10x = 4×(26 + 2x)$
展开计算得：$96 + 10x = 104 + 8x$
移项合并同类项得：$2x = 8$
解得：$x = 4$
则边的宽为$x=4$ cm，天头长为$6x=6×4=24$ cm。
【答案】
边的宽为4 cm，天头长为24 cm
【知识点】
一元一次方程应用，比例问题，和差倍分问题
【点评】
本题以对联装裱这一传统文化场景为背景，考查了用一元一次方程解决实际问题的能力，解题的关键是根据比例关系合理设未知数，准确提取等量关系列方程，题目贴近生活，能够锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目中的数量关系：已知天头长与地头长的比为3:2，边的宽是天头长与地头长之和的$\frac{1}{10}$，且装裱后的长是装裱后宽的4倍，对联本身长96cm、宽26cm。为了避免分数计算，可根据比例关系设参数：将天头长设为6x cm，地头长设为4x cm，二者比例仍为3:2，此时天头与地头的长度和为10x cm，可直接得出边的宽为x cm。接下来分别表示出装裱后的总长度和总宽度：装裱后的长=对联原长+天头长+地头长，装裱后的宽=对联原宽+左右两边的宽度，最后根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”这一等量关系列一元一次方程，求解后即可得到对应数值。
【解析】
解：设天头长为$6x$ cm，地头长为$4x$ cm，则左、右边的宽为$\frac{1}{10}×(6x+4x)=x$ cm。
装裱后的长为：$96 + 6x + 4x = 96 + 10x$（cm）
装裱后的宽为：$26 + x + x = 26 + 2x$（cm）
根据题意列方程得：
$96 + 10x = 4×(26 + 2x)$
展开计算得：$96 + 10x = 104 + 8x$
移项合并同类项得：$2x = 8$
解得：$x = 4$
则边的宽为$x=4$ cm，天头长为$6x=6×4=24$ cm。
【答案】
边的宽为4 cm，天头长为24 cm
【知识点】
一元一次方程应用，比例问题，和差倍分问题
【点评】
本题以对联装裱这一传统文化场景为背景，考查了用一元一次方程解决实际问题的能力，解题的关键是根据比例关系合理设未知数，准确提取等量关系列方程，题目贴近生活，能够锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
